PS Moduł 12

From Studia Informatyczne

Enlarge

• Stosowane obecnie cyfrowe systemy modulacji sygnałów mogą być wąskopasmowe, szerokopasmowe lub ultraszerokopasmowe. W przypadku omawianych modulacji cyfrowych wąskopasmowy charakter transmitowanych sygnałów wynika z samej istoty zastosowanego sposobu modulacji.

• W cyfrowych systemach modulacji informacja o sygnale jest zakodowana w sekwencji znaków binarnych „1” i „0” lub w sekwencji grup tych znaków (słów binarnych) o zadanej długości.

• Informacja ta jest kodowane w zmianach amplitudy, fazy lub częstotliwości harmonicznej fali nośnej. W bardziej złożonych systemach modulacji cyfrowych uzmienniane mogą być jednocześnie dwa parametry fali nośnej.


Enlarge

• Przyporządkowanie symbolom m_i wektorów liczbowych y_i odpowiada odwzorowaniu tych symboli w pewne punkty -wymiarowej przestrzeni wektorowej. Odwzorowaniem tego typu posługujemy się w geometrycznych metodach reprezentacji sygnałów.

• Postać impulsu y_i(t) odpowiadającego symbolowi m transmitowanemu w aktualnym przedziale symbolowym zależy od zastosowanego rodzaju modulacji cyfrowej.


Enlarge

• Kanał, w którym na transmitowany sygnał oddziałuje addytywnie gaussowski szum biały nazywamy kanałem AWGN (ang. Additive White Gaussian Noise). Poziom (moc) szumu może nawet znacznie przewyższać poziom (moc) sygnału użytecznego.

• Odbiornik sygnałów transmitowanych w systemach modulacji cyfrowej stanowi w istocie rzeczy detektor sygnałów y_i(t) faktycznie transmitowanych w kolejnych przedziałach symbolowych, a tym samym detektor odpowiadających im symboli m_i W kategoriach teorii optymalnego podejmowania decyzji oznacza to, że w każdym przedziale symbolowym musi być wyznaczona optymalna estymata \hat{m} transmitowanego symbolu .



Enlarge

• W systemach PSK i FSK amplituda transmitowanych sygnałów jest jednakowa w każdym przedziale symbolowym, a zatem ich moc jest stała i są one mniej narażone na zniekształcenia nieliniowe w odbiorniku. Z tego względu systemy te są częściej stosowane w praktyce, niż system ASK.

• Istnieje wiele różnych wariantów systemów ASK, PSK i FSK. Omawiać będziemy tylko ich wersje podstawowe.

• W systemach QAM amplituda i faza poszczególnych impulsów harmonicznych mogą przybierać skokowo klika różnych wartości. Np. w standardzie modulacji QAM stosowanym w transmisji modemowej amplituda może przybrać 4, a faza 8 różnych wartości


Enlarge

• W przypadku skończonej N-elementowej bazy każdy sygnał y_i(t) można przedstawić jako kombinację liniową, o współczynnikach y_i_j, i=1,...,M,j=1,...,N sygnałów bazowych {\varpi_1(t),...,\varpi_N(t)} (wzór 12.1). Wektor y_i=[y_i_1,...,y_i_N]^T tych współczynników stanowi reprezentację sygnału y_i(t) w przestrzeni sygnałów rozpiętej na bazie {\varpi_1(t),...,\varpi_N(t)} .

• Przestrzeń P jest podprzestrzenią przestrzeni l^2(0,T), a więc iloczyny skalarne we wzorach (12.2) i (12.3) są określone tak jak w przestrzeni l^2(0,T), .


Enlarge

• Przypomnijmy, że w przypadku 4-wartościowej modulacji fazy QPSK baza jest dwuelementowa. Konstelację sygnałów QPSK można zatem przedstawić na płaszczyźnie. Tworzą ją cztery punkty przedstawione na rysunku.


Enlarge

• Odwzorowanie P\rigtarrow\Box^N zachowuje normę, tzn. normy w przestrzeniach P i \Box^N są sobie równe. Oznacza to, że przestrzenie te są izometryczne. Ponadto odwzorowanie to zachowuje iloczyn skalarny. Wynika stąd, że analizę sygnałów w przestrzeni można przenieść do przestrzeni \Box^N.

• Wektor x=[x_1,...,x_N]^T stanowi zatem reprezentację sygnału x(t) zarówno w przestrzeni P , jak i w przestrzeni\Box^N .

• Konsekwencją izometryczności przestrzeni P i \Box^N jest równość miar odległości w obu przestrzeniach. Tak więc, za miarę odległości między sygnałami x(t) i y(t) w przestrzeni P można przyjąć zwykłą miarę euklidesowską odległości między odpowiadającymi im wektorami w przestrzeni \Box^N . Jest to bardzo ważna właściwość z punktu widzenia opracowania odpowiedniej metody detekcji sygnałów w odbiorniku.


Enlarge

• Sygnałowi odebranemu v(t)=y_i(t)+w(t) odpowiada wektor v=y_i+w . Ponieważ szum w(t) jest losowy, zatem długość i kierunek wektora są też losowe. Przyjmiemy upraszczające założenie, że w przedziale T szum w(t)\in P . Przy tym założeniu także sygnał odebrany v(t)\in P .

• Przy tych założeniach reguła decyzyjna polega na detekcji wektora y_i , którego odległość p(v,y_i) jest najmniejsza. Reguła ta dzieli przestrzeń sygnałów na obszary decyzyjne, których interpretacja dla przypadku M=2 i N=2 jest przedstawiona na rysunku.

• Zakładamy, że oba transmitowane sygnały y_1(t) i y_2(t) mają te same amplitudy, a więc odpowiadające im wektory y_1 i y_2 mają jednakowe długości. Przestrzeń (w omawianym przykładzie płaszczyzna) sygnałów jest dzielona na dwa obszary Z_1 i Z_2 prostą decyzyjną, która w tym przypadku jest przekątną kąta między wektorami y_1 i y_2 . Jeśli punkt v odpowiadający odebranemu zakłóconemu sygnałowi należy do obszaru Z_1 (leży po prawej stronie przekątnej) podejmujemy decyzję, że nadany był sygnał . W przeciwnym przypadku podejmujemy decyzję, że nadany został sygnał y_2(t) . Odbiornik powinien być oczywiście wyposażony w odpowiedni układ decyzyjny rozstrzygający, do którego z obszarów Z_1 czy Z_2 należy punkt v .


Enlarge

• W modulacjach binarnych przedział symbolowy T jest równy przedziałowi bitowemu T_b (czasowi transmisji jednego bitu). Zakłada się, że przedział ten obejmuje całkowitą liczbę okresów fali nośnej, tj. T_b=k/F , gdzie k jest dużą liczbą całkowitą.

• W zapisie sygnałów zmodulowanych cyfrowo wygodnie jest posługiwać się energią impulsu E_b, a nie jego amplitudą. Energia E_b jest związana z amplitudą Y_0 i czasem T_b transmisji impulsu zależnością E_b=Y_0T_b/2 .

• Oba impulsy y_1(t) i y_2(t) transmitowane w systemie 2PSK są odcinkami fali harmonicznej o przeciwnych fazach. Informacja binarna jest zatem zakodowana w fazie. Faza zerowa odpowiada znakowi binarnemu „1”, a faza 180_o– znakowi binarnemu „0”.


Enlarge

• Ponieważ baza przestrzeń sygnałów 2PSK jest jednoelementowa, przestrzeń ta jest linią prostą. Oba sygnały odpowiadają punktom tej prostej o współrzędnych y_{11}=\sqrt{E_b} i y_{21}=-\sqrt{E_b} .

• W przypadku przestrzeni sygnałów 2PSK prostą decyzyjną jest prosta prostopadła do prostej przestrzeni przechodząca przez punkt zerowy. Dzieli ona tę prostą na dwa obszary Z_1 i Z_2 , w tym przypadku półproste: 0<v<\inft oraz -\infty <v<0 .

• Jeśli punkt v , odpowiadający odebranemu sygnałowi v(t) w przestrzeni 2PSK, leży po prawej stronie prostej decyzyjnej , tzn. jeśli jego współrzędna v_1 należy do półprostej Z_1 , w odbiorniku zostaje podjęta decyzja, że przesłany został sygnał y_1(t) (znak binarny ”1”). W przeciwnym przypadku zostaje podjęta decyzja o nadaniu sygnału y_2(t) (znaku binarnego „0”).


Enlarge

• W modulatorze 2PSK dane binarne (ciąg znaków „1” i „0”) są doprowadzone do układu kodującego je kodem sygnałowym NRZ. Na wyjściu kodera otrzymujemy sygnał prostokątny bipolarny przybierający w poszczególnych przedziałach bitowych wartość \sqrt{E_b}, gdy transmitowane są znaki „1”, oraz -\sqrt{E_b} , gdy transmitowane są znaki „0”.

• W celu wytworzenia sygnału 2PSK wystarczy tak uformowany sygnał prostokątny podać na układ mnożący, na którego drugie wejście jest podawany sygnał bazowy \omega _1(t)=\sqrt{2/T_b}cos\Omega t , pełniący zarazem funkcję fali nośnej.

• W układzie demodulatora sygnału 2PSK odebrany sygnał \nu (t)=y_i(t)+w(t) jest mnożony w każdym przedziale bitowym przez koherentny sygnał nośny \omega _1(t) wytwarzany przez lokalny generator. Sygnał iloczynowy jest następnie podawany na integrator na którego wyjściu pobierana jest w chwili T_b próbka \nu _1=(\nu,\omega)_{L^2(0,T_b)}=\int_{0}^{T_b}\nu(t)\omega_1(t)dt . Generator lokalny, układ mnożący, integrator i układ próbkujący tworzą detektor korelacyjny.

• Liczba jest porównywana z progiem równym zeru. Gdy \nu_1>0 , zostaje podjęta decyzja o przesłaniu znaku „1”, a gdy \nu_1<0 – decyzja o przesłaniu znaku „0”.


Enlarge

• W przypadku modulacji 2FSK informacja jest przesyłana w częstotliwości fali nośnej. Częstotliwość F_1 reprezentuje znak binarny „1”, a częstotliwość F_2>F_1 – znak binarny „0”.

• Rozstaw częstotliwości w modulacji Sunde’a, równy 1/T_b , zapewnia ciągłość fazy sygnału 2FSK w chwilach kluczowania, a ponadto ortogonalność obu impulsów FSK y_1(t) i y_2(t) .


Enlarge

• Przy założeniu tej samej energii impulsów E_b odległość między sygnałami y_1(t) i y_2(t) w systemie 2FSK jest \sqrt{2} razy mniejsza niż w systemie 2PSK i wynosi \sqrt{2E_b} .

• Prosta decyzyjna jest symetralną odcinka łączącego punkty y_1 i y_2 reprezentujące na płaszczyźnie sygnałowej oba sygnały FSK. Dzieli ona tę płaszczyznę na dwa obszary (półpłaszczyzny) decyzyjne Z_1 i Z_2 . Jeśli punkt \nu odpowiadający odebranemu sygnałowi \nu(t) leży poniżej prostej decyzyjnej zostaje podjęta decyzja o przesłaniu znaku „1”. W przeciwnym przypadku jest podejmowana decyzja o przesłaniu znaku „0”.


Enlarge

• Unipolarny sygnał prostokątny generowany w modulatorze sygnału 2FSK przebiera stałą wartość dodatnią \sqrt{E_b} w tych przedziałach bitowych, w których jest transmitowany znak „1” i wartość równą zeru, gdy transmitowany jest znak „0”. W górnym torze sygnał unipolarny jest mnożony przez falę nośną o częstotliwości F_1 . Tym samym w torze górnym są generowane impulsy harmoniczne o częstotliwości F_1 tylko wtedy, gdy transmitowany jest znak „1”.

• W dolnym torze powinny być transmitowane impulsy harmoniczne o częstotliwości F_2 w tych przedziałach bitowych, w których transmitowane są znaki „0”. W tym celu unipolarny sygnał prostokątny podawany jest w tym torze na układ inwertera, który zamienia jego poziomy, tzn. wytwarza sygnał unipolarny przybierający poziom zero, gdy na wyjściu kodera występuje poziom \sqrt(E_b) , i odwrotnie. Sygnał z wyjścia inwertera jest mnożony przez falę nośną o częstotliwości F_2 . Tym samym w torze dolnym są generowane impulsy harmoniczne o częstotliwości F_2 tylko wtedy, gdy transmitowany jest znak „0”. Wypadkowy sygnał 2FSK otrzymujemy po zsumowaniu sygnałów w obu torach.

• Innym sposobem generacji sygnału 2FSK jest zastosowanie oscylatora VCO kluczowanego unipolarnym sygnałem prostokątnym z wyjścia kodera.


Enlarge

• W koherentnym demodulatorze dwa korelatory obliczają w każdym przedziale bitowym T_b współrzędne \nu_1 i \nu_2 punktu \nu odpowiadającego na płaszczyźnie sygnałowej odebranemu sygnałowi .

• Jeśli \Delta\nu=\nu_1-\nu_2>0 (punkt leży poniżej prostej decyzyjnej), podejmowana jest decyzja o przesłaniu znaku „1”. Jeśli natomiast \Delta\nu=\nu_1-\nu_2<0 (punkt leży powyżej prostej decyzyjnej) zapada decyzja o przesłaniu znaku „0”.

• W demodulatorze koherentnym sygnału 2FSK wymagane są po stronie odbiorczej lokalne generatory fal harmonicznych o częstotliwościach nośnych \F_1 i F_2 , które muszą być bardzo precyzyjnie zsynchronizowane z generatorami tych fal w nadajniku, a także między sobą. Stanowi to wadę odbioru koherentnego sygnałów 2FSK.


Enlarge

• W niekoherentnym demodulatorze sygnału 2FSK sygnał odebrany \nu(t) jest podawany na dwa tory, w których występują filtry dopasowane do sygnałów bazowych oraz detektory obwiedni. Sygnały na wyjściach detektorów obwiedni są próbkowane na końcu przedziału bitowego i spróbkowane wartości są porównywane w układzie komparatora.

• Filtrem dopasowanym do sygnału x(t), t\ge 0 , nazywamy filtr o odpowiedzi impulsowej h(t)=x(T-t) , gdzie T jest czasem obserwacji sygnału. Filtr dopasowany zapewnia maksymalny stosunek sygnał-szum SNR na swoim wyjściu w chwili T. Odpowiedzi impulsowe filtrów w obu torach demodulatora niekoherentnego sygnału 2FSK mają zatem postać: h_i=\sqrt{2/T_b\omega(T_b-t)} .

• Jeśli wartość próbki l_1 w chwili t+T_b na wyjściu górnego toru jest większa od wartości próbki l_2 w tej chwili na wyjściu dolnego toru, podejmowana jest decyzja o przesłaniu znaku „1”. W przeciwnym przypadku podejmowana jest decyzja o przesłaniu znaku „0”.