PF Moduł 3

From Studia Informatyczne

Enlarge
Dotychczas zajmowaliśmy się opisem ruchu nie wnikając w to, jakie przyczyny ruch ten wywołują. Dynamika bada związki pomiędzy czynnikami wywołującymi ruch, a właściwościami tego ruchu. Przyczyną wywołującą ruch ciał materialnych i powodującą zmianę stanu ich ruchu są siły działające na to ciało. Stan ruchu ciała określają jego współrzędne i prędkości. Znając stan ruchu ciała w danym momencie oraz działające nań siły możemy wyznaczyć stan jego ruchu w chwilach późniejszych. Jest to wyrazem zasady przyczynowości w fizyce klasycznej. Siła jest wielkością wektorową. Posiada określoną wartość, punkt przyłożenia, kierunek i zwrot.

Enlarge
Popatrzmy bliżej na relacje pomiędzy siłą i ruchem. Stojący na szafie wazon nie porusza się (nie spada) choć wiemy, że działa na niego wszechobecna na Ziemi siła ciężkości. Owszem - spada, kiedy pozbawimy go podpory jaką jest górna ścianka szafy. Pod wpływem siły ciężkości prędkość jego się zwiększa. Jeśli wazon jest ciężki i spada z wysoka, może uszkodzić stojącą na stole lampę, a przy tym i sam może ulec rozbiciu. W końcu jednak zatrzymuje się na stole lub na podłodze pomimo istnienia siły ciężkości.

Przykład ten, choć banalny, dobrze ilustruje relacje pomiędzy siłą i ruchem. Zamiast wazonu można rozważać ruch innych przedmiotów, można odmienić spadanie w dół - wyrzucaniem do góry, a siłę ciężkości zamienić ciśnieniem gazów wybuchowych w lufie armatniej. Stąd tylko jeden krok by gazy te były nie w lufie armaty, ale w dyszy rakiety lub komorze spalania samolotu odrzutowego. Z kolei - zderzenie wazonu z lampą nie różni się w swej naturze od zderzeń pojazdów czy wreszcie - zderzeń jąder atomowych lub cząstek elementarnych. Są cechy wspólne, są różnice. Zadaniem fizyki jest określenie i zbadanie jednych i drugich.


Enlarge
Wszelkie zmiany charakteru ruchu zachodzą pod wpływem sił wywieranych na ciało, zaś stan spoczynku jest rezultatem równowagi tych sił. Kiedy więc na ciało działają siły równoważące się lub nie działają żadne siły, charakter ruchu nie może się zmieniać - jeśli ciało jest w spoczynku, powinno w spoczynku pozostać, jeśli jest w ruchu - powinno pozostać w ruchu. Stwierdzenie to wydaje się oczywiste, a przecież przez wieki uważano, że to właśnie dla podtrzymania ruchu potrzebne jest przyłożenie zewnętrznej siły, bo w przeciwnym przypadku ciało zatrzyma się. Nie brano pod uwagę, że we wszystkich obserwowanych przypadkach działała siła zewnętrzna w postaci oporów ruchu.

Izaak Newton sformułował trzy prawa, które w sposób jakościowy i ilościowy pokazują relacje miedzy siłą i ruchem.


Enlarge
Zasadniczą wartością pierwszej zasady dynamiki jest wprowadzenie równoważności stanu spoczynku i stanu ruchu jednostajnego prostoliniowego. Układy, w których pierwsza zasada dynamiki jest spełniona, nazywamy układami inercjalnymi; układy, w których jest spełniona nie jest - układami nieinercjalnymi. Zauważmy, że kiedy znany jest jeden układ inercjalny, to znanych jest ich nieskończenie wiele. Każdy bowiem układ poruszający się względem układu inercjalnego z dowolną ale stałą co do wartości i kierunku prędkością jest też układem inercjalnym. Przykładowo, jadący pociąg też może być układem inercjalnym, ale tylko wtedy gdy wektor jego prędkości zachowuje stałą wartość, kierunek i zwrot. Pierwsza zasada dynamiki stanowi więc definicję układu inercjalnego.

Enlarge
Związek ilościowy pomiędzy siłą działającą na dane ciało i zmiana jego ruchu określa ilościowo druga zasada dynamiki Newtona. Równanie wyrażające treść drugiej zasady dynamiki pomimo swej prostoty opisuje wszelkie ruchy ciał makroskopowych.

(Uwaga praktyczna - dla uproszczenia wypowiedzi, słowo „ciało” odnosić będziemy do obiektów, których rozmiary własne nie są istotne dla opisu ich ruchu i które nazywamy też „punktami materialnymi”. Będziemy zwracać uwagę na przypadki, kiedy takiego założenia przyjąć nie można, opisując ruchy układu punktów materialnych oraz obiektów o ciągłym rozkładzie masy.)


Enlarge
Zakładając, że ciało porusza się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła możemy druga zasadę dynamiki wyrazić w postaci wzoru znanego dobrze ze szkolnego kursu fizyki. Wzór ten łączy trzy wielkości: siłę, masę ciała i jego przyspieszenie. Gdyby wzór ten miał inna postać, świat nasz wyglądałby inaczej lub po prostu nie mógłby istnieć.

Enlarge
Trzecia zasada dynamiki dotyczy wzajemnego oddziaływania ciał. Nie jest możliwe oddziaływanie „w jedna stronę”. Ciało oddziałujące doznaje także skutków swego oddziaływania. Zasada ta wiąże się ściśle z prawem zachowania pędu.

Enlarge
Masa i ciężar ciała, to nie to samo, są to dwie różne wielkości fizyczne, choć pozostające w określonym związku wynikającym z prawa powszechnej grawitacji. Masa jest własnością ciała, zaś jego ciężar zależy od warunków zewnętrznych. Ciężar ciała o danej masie jest inny na Ziemi, inny na Księżycu, zaś może znikać w warunkach kosmicznych. Bezwładność ciała określona jest przez jego masę i od warunków zewnętrznych nie zależy.



Enlarge
(Uwaga: prezentowana fotografia jest elementem animacji demonstrującej rolę bezwładności. Przyjęta tu konwencja, nie umożliwia niestety włączania animacji, ani sekwencji filmowych. Tym bardziej zachęcamy do samodzielnego wykonania doświadczeń, które będziemy tu prezentować.)

Przed czytaniem dalej proponujemy odpowiedzieć na zawarte przy fotografii pytanie, a co ważniejsze – uzasadnić swą odpowiedź. Kiedy ciągniemy za dolną nić w dół powoli, można zaniedbać związany z tym ruch i cale zagadnienie rozpatrywać statycznie. Dolna nić poddana jest jedynie wywieranej przez nas na nią sile, zaś na górną dodatkowo wywierana jest siła ciężkości arbuza. Oczywiście – zerwie się nić górna. W przypadku szybkiego szarpnięcia, nić górna jedynie wtedy je odczuje, jeśli zostanie ono przeniesione z dolnej nici za pośrednictwem arbuza. W tym celu arbuzowi musimy nadać pewne przyspieszenie. Jego masa jest jednak duża i do tego potrzeba jest siła większa od tej, która umożliwia zerwanie się nici. W konsekwencji nic górna praktycznie „nie odczuje” szarpnięcia, natomiast nić dolna ulegnie zerwaniu. A teraz sprawdź to sam.


Enlarge
Załóżmy dla uproszczenia, że ruch młotka jest ruchem jednostajnie opóźnionym. Wartość opóźnienia uzyskujemy dzieląc różnicę \Delta\nuprędkości początkowej \nu_0 i końcowej (zero) przez czas wbijania \Delta t. Weźmy dla przykładu masę młotka m=0.5kg, prędkość w momencie uderzenia \nu_0=10m/s i zagłębienie gwoździa, 1cm. Czas wbijania będzie ilorazem zagłębienia przez średnią prędkość równą połowie prędkości początkowej, czyli \Delta t = 0.002s. W rezultacie uzyskujemy siłę, która ponad trzykrotnie przekracza średni ciężar ciała człowieka.

Czynności codzienne mogą niekiedy wywoływać zdumienie. Uderzając młotkiem wywieramy siły, których w żaden sposób nie ośmielalibyśmy się sobie przypisać. Nic dziwnego, że nie miałem szans wcisnąć gwóźdź palcem. Cała „tajemnica” zawarta jest w ogromnej wartości, 5000m/s2, opóźnienia (czyli ujemnego przyspieszenia) wynikającego z krótkiego czasu ruchu. To dlatego przy wbijaniu gwoździa deska musi spoczywać na twardym podłożu. To dlatego spadające na kamienną posadzkę naczynia na ogół kończą stłuczeniem się. To dlatego tak tragiczne bywają skutki zderzenia samochodu z drzewem i znacznie lepiej jest "wylądować w rowie" wyhamowując w dłuższym czasie. To dlatego w konstrukcji samochodu tworzy się "strefę zgniecenia". Przykłady można mnożyć.


Enlarge
Prezentujemy kelnerską sztuczkę wyciągania obrusa spod półmisków pełnych potraw w restauracji. To proste doświadczenie demonstruje szereg zagadnień związanych z siłami tarcia. Dzięki tym siłom mogłem przesunąć talerz po stole nie dotykając go. Siły tarcia mają jednak pewną wartość graniczną, która w drugiej części naszego doświadczenia okazała się za mała i talerz pozostał na miejscu.

Siły tarcia odgrywają ogromną rolę w zjawiskach, które obserwujemy, i w których uczestniczymy codziennie. To dzięki siłom tarcia poruszamy się oraz funkcjonuje komunikacja drogowa i kolejowa. Z drugiej strony, siły te są niepożądane na przykład w pracy silników i w tym celu stosuje się specjalne układy smarowania zmniejszające tarcie. Siły tarcia w sensie omówionym wyżej nie występują w czasie ruchu poduszkowców czy samolotów w locie. Występują wtedy jednak opory ośrodka, w którym porusza się pojazd. Siły te nazywamy siłami tarcia wewnętrznego.



Enlarge
Siła tarcia pojawia się, kiedy działamy na ciało pewną siłą w celu przemieszczenie go. Siła ta skierowana jest w przeciwną stronę i przeciwdziała ruchowi. W rezultacie ciało pozostaje w spoczynku. Siła tarcia ma jednak pewną wartość graniczną, zwaną siłą tarcia statycznego. Ciało pozostaje więc w spoczynku dopóki siła działająca na ciało jest mniejsza od siły tarcia statycznego. Kiedy staje się większa, ciało zaczyna się poruszać ale wówczas działa nań także siła tarcia kinetycznego, które zmniejsza przyspieszenie tego ciała.

Siła tarcia proporcjonalna jest do nacisku ciała na powierzchnię, po której ciało się przesuwa. Współczynnik proporcjonalności zwany jest współczynnikiem tarcia. Wartość tego współczynnika zależy od własności trących się powierzchni.


Enlarge
Współczynnik tarcia statycznego można łatwo wyznaczyć za pomocą równi pochyłej.

W tym calu kładziemy badane ciało na równi, której powierzchnia stanowi badane podłoże, po czym zmieniamy jej kąt nachylenia względem poziomu. Z relacji geometrycznych dla takiego kąta nachylenia, przy którym ciało zaczyna się zsuwać z równi można wyznaczyć współczynnik tarcia


Enlarge
Kiedy interesuje nas ruch układu punktów materialnych, wprowadzamy pojęcie środka masy układu. Wektor położenia środka masy dla układu punktów związany jest z masami oraz promieniami wodzącymi wszystkich punktów wchodzących w skład układu.



Enlarge
W przypadku obiektów o ciągłym rozkładzie masy wyznaczamy położenie środka masy obliczając całkę po wszystkich wartościach promienia wodzącego w uwzględnieniem lokalnej gęstości obiektu

Enlarge
Wektor pędu dla układu punktów materialnych wyznaczamy obliczając wektorową sumę pędów wszystkich punktów wchodzących w skład układu.

Enlarge
Pęd układu punktów materialnych równy jest pędowi środka masy układu.

Enlarge
Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jakby działała na niego wypadkowa wszystkich sił działających na poszczególne punkty materialne układu

Enlarge
Wśród sił działających na poszczególne punkty układu wyróżnić można siły pochodzące od innych punktów tego układu oraz siły zewnętrzne. Zauważmy, że zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, jeśli jeden punkt układu oddziałuje na drugi, to drugi działa na pierwszy z tą samą siłą, ale przeciwnie skierowaną. Suma sił działających na i-ty punkt pochodzi od pozostałych (N-1) punktów układu. Kiedy zsumujemy te siły, to każdej ze składowych sił będzie odpowiadać inna - przeciwnie skierowana. Suma wszystkich sił wewnętrznych wyniesie więc zero. Środek masy układu punktów materialnych porusza się będzie tak, jak poruszałby się punkt materialny o pędzie równym pędowi całego układu punktów, gdyby działała na niego wypadkowa siła wszystkich zewnętrznych sił działających na wszystkie punkty układu.

Enlarge
Przyspieszenie jest drugą pochodną przemieszczenia względem czasu. Uwzględniając to możemy zapisać drugie prawo dynamiki Newtona w postaci równania różniczkowego, którego rozwiązanie umożliwia opisanie ruchu obiektów materialnych. Równanie to po rozpisaniu na składowi stanowi dla trójwymiarowej przestrzeni układ trzech równań skalarnych zapisanych w określonym (np. prostokątnym) układzie współrzędnych

Enlarge
Z ruchem obrotowym spotykamy się równie często jak z ruchem postępowym - zaczynając od otwierania drzwi, poprzez obracające się koła rowerów, samochodów czy pociągów, kręcące się wirniki silników elektrycznych, wirujące śmigła samolotów i helikopterów... aż po ruch planet i innych ciał niebieskich.

Do ruchów obrotowych stosuje się specyficzny formalizm, gdzie przemieszczenia wyraża się raczej w mierze kątowej niż liniowej.


Enlarge
Prędkość kątowa wyraża ilościowo kąt zakreślony przez ciało poruszające się ruchem obrotowym w jednostce czasu. Wartość wektora prędkości kątowej równa jest pochodnej przemieszczenia kątowego względem czasu, zaś jego kierunek pokrywa się z osią obrotu. Zwrot wektora zgodny jest z regułą śruby prawoskrętnej. Przy zmianie kierunku ruchu obrotowego zwrot tego wektora zmieni się na przeciwny. Prędkość liniowa punktu poruszającego się ruchem obrotowym równa jest iloczynowi jego prędkości kątowej i odległości od osi obrotu.

Enlarge
Wielkościami często używanymi do opisu ruchu obrotowego jest: okres obrotu, częstotliwość i częstość kołowa

Enlarge
Przyspieszenie kątowe jest pochodna prędkości kątowej względem czasu i drugą pochodną przemieszczenia kątowego względem czasu

Enlarge
Moment siły określony jest jako iloczyn wektorowy promienia skierowanego od osi obrotu ku danemu punktowi poruszającemu się ruchem obrotowym i siły działającej na ten punkt.

Enlarge
Równanie Newtona dla ruchu obrotowego – moment siły równy jest iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego.

Enlarge
Moment bezwładności dla bryły sztywnej otrzymuje się przez całkowanie kwadratu odległości od osi obrotu po wszystkich elementach masy wchodzących w skład bryły.

Enlarge
Momenty bezwładności różnych brył zależą od rozmieszczenia masy ciała względem osi obrotu i dla brył o kształtach regularnych mogą być wyrażone prostymi formułami.

Enlarge
W przypadku, kiedy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała, moment bezwładności może być wyrażony z pomocą tzw. twierdzenia Steinera.

Enlarge
Moment pędu zdefiniowany jest analogicznie jak moment siły. Jest to iloczyn wektorowy promienia skierowanego od osi obrotu ku danemu punktowi poruszającemu się ruchem obrotowym i wektora pędu tego punktu. Może być też wyrażony jako iloczyn momentu bezwładności tego punktu i wektora jego prędkości kątowej.

Enlarge
Równanie Newtona dla ruchu obrotowego wiąże moment siły działającej na punkt materialny będący w ruchu obrotowym z pochodną po czasie jego momentu pędu. Zauważ analogię ze sformułowaniem drugiej zasady dynamiki Newtona.

Enlarge
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym to połowa iloczynu momentu bezwładności przez kwadrat prędkości kątowej. Jak pamiętamy, moment bezwładności, to iloczyn masy ciała przez kwadrat jego odległości od osi obrotu. Aby więc zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu duża prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności. Można to zrealizować zwiększając masę ciała, co nie zawsze jest wygodne w praktyce, a można też (i to skuteczniej, bo zależność od kwadratu) poprzez rozmieszczenie masy w możliwie dużej odległości od osi obrotu. Na tej właśnie zasadzie skonstruowane jest urządzenie zwane sieczkarnią, które można jeszcze dziś spotkać w gospodarstwach wiejskich.

Enlarge
Konsekwencja odpowiedniego rozmieszczenia masy w funkcji odległości od osi obrotu jest test, który często pokazywany jest jako rodzaj zabawki fizycznej. Dwa walce o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej z różnymi prędkościami. Co jest powodem tej różnicy? Wprawdzie masa i średnica są te same, ale rozmieszczenie masy względem osi obrotu jest w nich różne. Różne są więc ich momenty bezwładności, a w konsekwencji także prędkości staczania się.