PF Moduł 2

From Studia Informatyczne

Enlarge
Ruch należy do najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych. Z wieloma przejawami ruchu mamy do czynienia w naszym bezpośrednim otoczeniu; wiele innych możemy oglądać na ekranach odbiorników telewizyjnych. Jesteśmy także świadomi zarówno ruchu planet, gwiazd i galaktyk jak i ruchu molekuł, atomów i cząstek elementarnych, pomimo że nie możemy tych ruchów obserwować bezpośrednio. Ruch jest też odpowiedzialny za wiele innych zjawisk fizycznych, jak zjawiska termiczne, akustyczne, cy elektryczne.

Enlarge
W nauce o ruchu najpierw zdefiniujemy podstawowe pojęcia, które potem będziemy konsekwentnie używać przy wprowadzaniu wielkości fizycznych służących do opisu zjawisk ruchu. Za pojęciami tymi kryją się określone zależności ilościowe wynikające z praw fizyki, które poznawać będziemy w dalszejczęści kursu mechaniki. Ważne jest by umieć łączyć kolejno poznawane pojęcia w logiczną całość uzyskując ten sposób spójny opis zjawisk ruchu

Enlarge
W pierwszej części kursu mechaniki zajmiemy się opisem ruchu bez wnikania w to, jakie przyczyny ten ruch wywołują. Potem powiążemy związkami przyczynowymi siły wywołujące ruch w właściwościami ruchu i zdefiniujemy podstawowe prawa zachowania obowiązujące w mechanice. Omówimy też najczęściej występujące rodzaje ruchów

Enlarge
Przy opisie ruchu posługujemy się pojęciem układu współrzędnych, który wiążemy z wybranym przez nas układem odniesienia. Opis ruchu polega na przyporządkowaniu danemu punktowi P zespołu liczb określających w każdej chwili czasu w jednoznaczny sposób jego położenie w przestrzeni oraz kierunek i wartość jego prędkości i przyspieszenia. Wybór układu odniesienia oraz odpowiedniego układu współrzędnych zależy od rodzaju opisywanego ruchu. Specyfika ruchu często sugeruje wybór odpowiedniego układu współrzędnych. Najczęściej stosujemy układ współrzędnych prostokątnych

Enlarge
Układ współrzędnych sferycznych jest szczególnie przydatny do badania ruchów po powierzchniach zbliżonych do sfery, np. po powierzchni Ziemi.



Enlarge
Układ współrzędnych cylindrycznych znajduje zastosowanie do badania ruchów o symetrii osiowej, np. ruchu po powierzchni walca, ruchu cząstek naładowanych w polu magnetycznym itp..



Enlarge
Układ współrzędnych biegunowych jest szczególnie przydatny do badania

ruchów po okręgu. Opis ruchu dotyczy w tym przypadku tylko dwóch wymiarów.


Enlarge
Prędkość jest podstawową wielkością charakteryzującą ruch; jest wektorem. Prędkość chwilowa zdefiniowana jest jako pochodna wektora położenia ciała względem czasu

Enlarge
Ważną własnością wektora prędkości jest, że w każdym punkcie toru poruszającego się ciała, jego kierunek pokrywa się ze styczną do toru.

Enlarge
Zapisując wektor położenia w układzie współrzędnych biegunowych rozkładamy wektor prędkości na dwie składowe. Jedna z nich, skierowana wzdłuż aktualnego kierunku wektora położenia, wskazuje szybkość oddalania się lub zbliżania do punktu wyznaczającego początek układu współrzędnych, druga składowa wyraża szybkość poruszania się wokół tego punktu. Zauważmy, że wartość tej składowej zależy nie tylko od szybkości zmiany kata, ale także od odległości poruszającego się punktu od początku układu współrzędnych.

Enlarge
Prędkość ciała jest złożeniem obu składowych, które są wzajemnie do siebie prostopadłe. Wartość wektora prędkości równa jest wiec pierwiastkowi z sumy ich kwadratów

Enlarge
Przyspieszenie wyraża zmianę w czasie prędkości poruszającego się ciała i zdefiniowane jest jako pochodna wektora prędkości względem czasu. Pamiętając definicję wektora prędkości zauważamy, że przyspieszenie jest druga pochodna wektora położenia względem czasu. Analogicznie do wektora prędkości można rozłożyć wektor przyspieszenia na składowe w układzie współrzędnych prostokątnych.

Enlarge
Pamiętamy, że wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru poruszającego się ciała. Zmiana prędkości w funkcji czasu to zmiana wartości wektora prędkości oraz zmiana jego kierunku. Celowe jest wiec rozłożyć wektor przyspieszenia na dwie składowe: jedna wzdłuż stycznej do toru w danym jego punkcie (tzw. przyspieszenie styczne), drugą do kierunku toru prostopadłą (przyspieszenie normalne). Składowa styczna przyspieszenia jest tym większa im większa jest zmiana bezwzględnej wartości prędkości w czasie. Składowa normalna proporcjonalna jest do kwadratu prędkości ciała i odwrotnie proporcjonalna do wartości promienia krzywizny toru w danym jego punkcie.

Enlarge
Biorąc jako przykład ruch samochodu widzimy, że pierwszy składnik jest konsekwencją naciśnięcia pedału gazu lub pedału hamulca, drugi jest rezultatem obrócenia koła kierownicy. Podkreślić należy, że wartość składowej normalnej zależy nie tylko od tego, o jaki kąt obrócimy kierownicę, ale od tego przy jakiej prędkości zmiana kierunku ruchu następuje, Zależność zaś jest nie od samej wartości prędkości, ale od jej drugiej potęgi

Enlarge
W rezultacie ruchu następuje zmiana położenia poruszającego się ciała. Zmiana ta jest tym większa im większa jest prędkość ciała oraz im dłużej trwa ruch. W czasie trwania ruchu może następować zmiana kierunku poruszania się ciała. Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni. Przebytą drogę wyraża całka po czasie, ale z wartości bezwzględnej wektora prędkości.

Enlarge
Jako przykład rozpatrzymy ruch, w którym przyspieszenie zachowuje wartość stałą. Tego typu ruchy, to wszelkiego rodzaju rzuty w polu grawitacyjnym, ruch naładowanych cząstek w polu elektrycznym, ruch pod wpływem stałej siły ciągu itp.

Określmy warunki początkowe. Wektor stałego przyspieszenia skierowany jest wzdłuż osi Z, zaś w chwili początkowej, ciało znajduje się w płaszczyźnie (Y,Z), oraz, że porusza się z pewną prędkością także w tej płaszczyźnie. Składowe wzdłuż osi X wynoszą zero. Należy określić wartości składowych wektora prędkości w funkcji czasu oraz znaleźć równanie toru ciała.


Enlarge
Składowe przyspieszenia pozostają bez zmian, co wynika z warunków zadania. Składowa wektora prędkości w kierunku Z zmienia się liniowo z czasem, składowa w kierunku Y pozostaje bez zmian, składowa w kierunku X też pozostaje bez zmian i wynosi zero.

Enlarge
Kolejne całkowanie umożliwia wyznaczenie składowych położenia w funkcji czasu. Składowa w kierunku X nie zmienia się i równa jest zeru, bowiem w tym kierunku składowa prędkości wynosi zero. W kierunku Y ciało porusza się ze stałą prędkością, wiec położenie zmienia się liniowo z czasem. W kierunku osi Z ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czemu odpowiada kwadratowa zależność położenia od czasu.

Enlarge
W kierunku osi X nie ma ruchu, Oznacza to, że ruch jest płaski i zachodzi w płaszczyźnie (Y,Z). Równanie toru otrzymujemy eliminując czas i wyrażając wartości współrzędnej Z w funkcji przyrostu współrzędnej Y. Otrzymujemy równanie paraboli, znane z kursu fizyki w szkole dla rzutu ukośnego.

Enlarge
Załączony rysunek obrazuje podstawowe zależności w analizowanym ruchu. Jeśli składowa przyspieszania w kierunku osi Z ma wartość ujemną, a prędkość początkowa – dodatnią, to ciało najpierw porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, po czym porusza się w doł ruchem jednostajnie przyspieszonym. Ruch w kierunku osi Y jest ruchem jednostajnym, w kierunku osi X nie ma ruchu

Enlarge
Na zakończenie dwa przykłady. Trudno jest pokazać kształt toru ciała w rzucie ukośnym. Można to jednak łatwo zademonstrować z użyciem strumienia wody. Podobnie, strumień wody skierowany pionowo w słynnej fontannie genewskiej o wysokości 130 m stanowi przykład rzutu pionowego.