PF Moduł 16

From Studia Informatyczne

Spis treści

Wykład

Grafika:PF_M16_Slajd1.png

Grafika:PF_M16_Slajd2.png Wstęp

Falowa natura światła była znana znacznie wcześniej niż odkryto, że jest ono falą elektromagnetyczną. Świadczyły o tym typowe zjawiska falowe, takie jak interferencja, czyli nakładanie się fal, czy dyfrakcja, czyli ugięcie na szczelinie. Warunkiem powstania trwałego obrazu interferencyjnego jest spójność światła, czyli niezmienna w czasie różnica faz między nakładającymi się falami. Naturalne źródła światła emitują światło niespójne, o przypadkowo zmieniającej się fazie. Z tego powodu nie możemy zaobserwować na ścianie wzmocnień i wygaszeń światła pochodzącego na przykład od dwóch żarówek. Takie wzmocnienia i wygaszenia wprawdzie powstają, ale ich położenia chaotycznie i szybko się zmieniają tak, że nasze oko rejestruje tylko jednolicie oświetloną płaszczyznę. Warunek spójności będzie spełniony, jeśli światło rozdzieli się, na przykład, podczas przejścia przez układ szczelin. Wtedy każda szczelina zgodnie zasadą Huyghensa będzie źródłem światła i będzie to światło spójne.

W module tym omówimy zjawiska interferencji i dyfrakcji, a także efekty wynikające ze złożenia tych dwóch zjawisk. Pokażemy, jak opisane efekty można wykorzystać w siatce dyfrakcyjnej, a także do badania sieci krystalicznej przez wywołanie zjawiska dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego na krysztale. Omówione zostanie również zjawisko Dopplera, dobrze każdemu znane z obserwacji dźwięków towarzyszących ruchowi ulicznemu.


thumbs Interferencja światła
Doświadczenie Younga

Z zasady superpozycji fal wynika, że jeśli dwie fale przemieszczają się w tym samym ośrodku, to powodowane przez nie zaburzenia w danym punkcie przestrzeni nakładają się, to znaczy, dodają lub odejmują się w zależności od tego, czy są tego samego czy różnego znaku. Zjawiska związane z nakładaniem się fal noszą nawę interferencji.

Zjawisko interferencji dla fal świetlnych zostało po raz pierwszy zaobserwowane i zinterpretowane jako przejaw falowej natury światła przez Thomasa Younga w 1801 roku. Uproszczony schemat doświadczenia Younga przedstawia rysunek. Światło w postaci fali płaskiej pada na układ dwóch szczelin S_1\, i S_2\, w przesłonie P\,. Interesuje nas rezultat nałożenia się fal w punkcie A\, na ekranie E\, ustawionym za szczelinami. Światło padające symbolizują równoległe niebieskie linie (powierzchnie falowe) i strzałki (promienie) z lewej strony. Promienie świetlne, które przeszły przez szczeliny S_1\, i S_2\, docierają do punktu A\,, ale drogi ich r_1\, i r_2\, nie są takie same. Jeśli więc faza fali świetlnej była w płaszczyźnie szczelin taka sama, to w punkcie A\, będzie różna wskutek różnicy dróg. Warunek wzmocnienia lub wygaszenia wynika z geometrycznych zależności zilustrowanych na rysunku. Trzeba tu zwrócić uwagę, że w rzeczywistości odległość ekranu od przesłony jest o wiele większa niż odległość pomiędzy szczelinami tzn. H>>d . W takim przypadku promienie r_1\, i r_2\, są z dobrym przybliżeniem równoległe, a trójkąty SBA\, i S_1aS_2\, możemy uznać za podobne, co z kolei oznacza, że kąty ASB\, i S_2S_1a\, są sobie równe. Kąt ASB\,, który może być łatwo zmierzony, oznaczyliśmy symbolem \theta\,. Różnica dróg promieni od szczelin do punktu A\, równa jest d sin\theta\,. Jeśli różnica ta będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali, to nastąpi wzmocnienie, jeśli równa będzie równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali - nastąpi wygaszenie. Warunek uzyskania maksimum natężenia fali wypadkowej zapiszemy w postaci: d sin\theta=n\lambda , warunek uzyskania minimum, czyli wygaszenia:

\displaystyle d sin\theta=\left(2n+1\right) \frac{\lambda}{2}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda

Grafika:PF_M16_Slajd4.png Z postaci wzorów widzimy, że im mniejsza jest odległość pomiędzy szczelinami tym większa będzie wartość kąta, dla którego wystąpi wzmocnienie (lub wygaszenie) i tym większa będzie różnica kątowa pomiędzy maksimami bądź minimami. Rysunek przedstawia ilustrację interferencji w doświadczeniu Younga dla dwóch różnych odległości pomiędzy szczelinami; z lewej - mniejszej, z prawej - większej.

Grafika:PF_M16_Slajd5.png Uogólnijmy nasze rozważania. Rozpatrzmy dwie fale o tych samych amplitudach i częstościach, ale różniące się fazą: \displaystyle y_1=y_0 sin(kx-\omega t) oraz \displaystyle y_1=y_0 sin(kx-\omega t-\varphi). Jak wspominaliśmy już, w przypadku fal elektromagnetycznych, jako zaburzenie y traktujemy zazwyczaj wartość wektora natężenia pola elektrycznego.

Zgodnie z zasadą superpozycji fal, zaburzenie wypadkowe w danym punkcie przestrzeni i momencie czasu będzie sumą zaburzeń pochodzących od obu fal \displaystyle y_{12}=y_1+y_2. Po zastosowaniu trygonometrycznego wzoru na sumę sinusów, otrzymujemy:

\displaystyle y_{12}=y_0 \left [2sin(kx-\omega t -\varphi)cos{\frac{\varphi}{2}} \right]

Grafika:PF_M16_Slajd6.png We wzorze na y_{12}\, możemy wyodrębnić czynnik niezależny od czasu i położenia. Jest to amplituda równa \displaystyle 2y_0 cos{\frac{\varphi}{2}}\,. Amplituda ta zależy od \varphi\,, czyli różnicy faz pomiędzy falami. Maksymalna amplituda równa będzie podwojonej amplitudzie fal składowych, co nastąpi, kiedy różnica faz będzie równa zeru. Amplituda równa zeru będzie dla różnicy faz równej \pi\,, wtedy przeciwne w fazie zaburzenia będą się wzajemnie znosić. Dla innych różnic faz amplituda będzie przyjmować wartości pośrednie.

Grafika:PF_M16_Slajd7.png Ilustracja przedstawia złożenie dwóch fal różniących się fazą. Kiedy inne parametry fal (na przykład częstość, amplituda) będą się różnić, fala wypadkowa nie musi być falą sinusoidalną.

Grafika:PF_M16_Slajd8.png Na zakończenie dwie uwagi:
  1. W praktyce, dla spełnienia zarówno warunków równoległości promieni jak i skończonej odległości H\, pomiędzy przesłoną i ekranem, stosuje się zwykle soczewkę skupiającą równoległe promienie w płaszczyźnie ogniskowej, gdzie umieszcza się ekran;
  2. Założyliśmy tu milcząco, że szerokość szczeliny jest zaniedbywanie mała w stosunku do odległości pomiędzy szczelinami.

Przypadek ogólny, kiedy obie te wielkości są porównywalne, rozpatrzymy w następnej części tej lekcji omawiając zjawiska dyfrakcji.


Grafika:PF_M16_Slajd9.png Czy możliwa jest interferencja światła przechodzącego przez pojedynczą szczelinę lub otwór? Odruchowa odpowiedź jest - że nie, bo przechodzące światło nie ma z czym interferować. Zasada Hyghensa mówi jednak, że każdy punkt, do którego dochodzi fala staje się źródłem nowej fali kulistej. Fale pochodzące z różnych punktów szczeliny mogą więc także interferować. Kiedy szczelina jest bardzo szeroka, to w rezultacie tworzy się czoło fali płaskiej i efektu interferencji nie obserwujemy. Kiedy jednak rozmiary szczeliny stają się porównywalne z długością fali, efekt interferencji powinien być możliwy do zaobserwowania. Rzeczywiście, efekty takie się obserwuje i choć w swej naturze nie różnią się one od znanej nam już interferencji otrzymały inną nazwę - dyfrakcji, czyli "uginania się" fal.

Na rysunku pokazano dwa przykładowe promienie, które będą z sobą interferować. Szerokość szczeliny oznaczamy symbolem h\,. Podobnie jak poprzednio, zakładamy, że H>>h\, i możemy uznać promienie biegnące z różnych punktów szczeliny za równoległe, co jest na ogół z niezłym przybliżeniem spełnione i upraszcza opis ilościowy. Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fraunhofera w odróżnieniu od dyfrakcji Fresnela, gdzie zakłada się, że odległość pomiędzy źródłem i ekranem ma skończoną wartość. Rozważmy na początek dwa promienie wybiegające z punktów szczeliny odległych o h/2\,. Warunek ich wygaszania się \displaystyle \frac{h}{2}sin\theta=\left(n+\frac{1}{2} \right)\lambda dla n=0 (pierwsze minimum) wyraża się wzorem:

\displaystyle \frac{h}{2}sin\theta=\frac{1}{2} \right)\lambda

Grafika:PF_M16_Slajd10.png Na poprzednim rysunku rozważaliśmy jeden promień z górnego krańca szczeliny, drugi z jej środka. Możemy jednak przemieszczać się w dół z położeniami obu promieni odnajdując dla każdego promienia z górnej połowy szczeliny odpowiadający mu promień z połowy dolnej. Warunek na wygaszenie będzie dla tych przesuniętych promieni identyczny jak poprzednio.

Grafika:PF_M16_Slajd11.png Możliwe są i inne kombinacje. Gdyby odległość pomiędzy rozważanymi promieniami była równa jednej czwartej szerokości szczeliny, to warunek na wygaszanie byłby:


\displaystyle \frac{1}{4}h sin\theta=\frac{1}{2} \right)\lambda , czyli \displaystyle h sin\theta=2\lambda


Uogólniając, można napisać, że warunek na wygaszanie się promieni biegnących z różnych punktów szczeliny ma postać:


\displaystyle h sin\theta=n\lambda , gdzie n=1, 2, 3,...\,



Grafika:PF_M16_Slajd12.png Minimów i leżących pomiędzy nimi maksimów może więc być bardzo wiele. Powstaje pytanie, jaki będzie rozkład natężeń w obrazie dyfrakcyjnym, jak natężenie wypadkowej fali zależeć będzie od kąta odchylenia promieni od pierwotnego kierunku? Największe wzmocnienie natężenia fali uzyskujemy, gdy obie fale mają taką sama fazę, największe osłabienie, gdy faza jest przeciwna. Pomiędzy tymi skrajnymi przypadkami mamy wszystkie przypadki pośrednie, zależne od różnicy faz.

Podzielmy w myśli całą szerokość szczeliny na n pasków. Ilustruje to rysunek obok, gdzie n=5\,. (Wskaźnik n\, odgrywa tu pomocniczą rolę i nie należy go mylić ani ze współczynnikiem załamania, ani z numeracją maksimów i minimów interferencyjnych.) Różnica faz \Delta  \varphi\, dla fal biegnących od dwóch sąsiednich pasków zależy od różnicy dróg \Delta r, jak pokazano na rysunku. Kiedy różnica dróg równa jest długości fali, to odpowiadająca różnica faz równa jest 2\pi\,.

Mamy więc proporcję:


\displaystyle \frac{\Delta r}{\lambda}=\frac{\Delta \varphi}{2\pi} czyli \displaystyle \Delta \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta r=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta h sin\theta


gdzie \Delta h\, jest odległością pomiędzy punktami w płaszczyźnie przesłony, to jest szerokością myślowo wyodrębnionego jednego paska. Otrzymaliśmy wzór na różnicę fazy między falami pochodzącymi od kolejnych części szczeliny. Musimy teraz dodać wszystkie fale, aby znaleźć falę wypadkową, czyli jej amplitudę i fazę.


Grafika:PF_M16_Slajd13.png Dla wyznaczenia sumarycznej fazy oraz amplitudy wypadkowej fali wykorzystamy tu metodę tak zwanych strzałek fazowych. Metoda ta umożliwia graficzne dodawanie wielkiej liczby fal o tej samej amplitudzie E_0\, i częstości \omega\,, a różniących się fazą. Ilustruje to rysunek. Niech pierwsza fala wynosi \displaystyle E_1=E_0 sin(\omega t) , kolejna - różniąca się od pierwszej przesunięciem w fazie o \varphi\, będzie \displaystyle E_2=E_0 sin(\omega t+\varphi), kolejna niech będzie przesunięta o 2\varphi\, itd. Każda strzałka reprezentuje falę o danej amplitudzie, której odpowiada długość strzałki. Faza fali określona jest przez kąt między osią x a kierunkiem strzałki. Wypadkową amplitudę i fazę otrzymujemy sumując wektorowo strzałki (kolejna strzałka ma swój początek w miejscu, gdzie kończy się poprzednia). Na rysunku pokazane są przykładowo różnymi kolorami cztery fale i ich złożenie pokazane kolorem czerwonym.

Grafika:PF_M16_Slajd14.png W naszym przypadku fali przechodzącej przez szczelinę, sumaryczna amplituda i sumaryczna faza będzie złożeniem n składowych i zależeć będzie, zgodnie ze wzorem \displaystyle \Delta \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta h sin\theta od kąta \theta\, określającego położenie danego punktu na ekranie względem szczeliny.

Jeśli kąt ten jest równy zeru, czyli punkt obserwacji leży na wprost szczeliny, to i \Delta \varphi będzie równe zeru i sumaryczna amplituda będzie algebraiczną sumą n\, jednakowych składników. Jeśli kąt \theta\, będzie inny, musimy sumować n\, fal składowych zgodnie z metodą strzałek fazowych. Ilustruje to rysunek, gdzie n=16\,. Przypadek 1) odpowiada sytuacji, gdy \theta=0, a więc i różnica faz \Delta \varphi=0. Sumaryczna amplituda jest tu maksymalna, oznaczyliśmy ją E_0\,. Kolejne przypadki 2), 3) i 4) odpowiadają wzrastającej wartości kąta obserwacji \theta\,. Przypadek 2) ilustruje sytuację, gdy \theta\, nieco większe od zera. Suma algebraiczna wszystkich 16 składników (długość łuku) jest taka sama, jak poprzednio, równa E_0\,, ale wypadkowa amplituda (wartość sumy wektorowej) jest mniejsza od E_0\,. W przypadku 3) sumaryczna amplituda wynosi zero, czyli będzie to pierwsze minimum. Przy dalszym wzroście kąta \theta\, amplituda znów będzie różna od zera, ale jej wartość stanie się o wiele mniejsza. Liczba pasków, na które podzieliliśmy w myśli szczelinę może być dowolna. Im będzie większa, tym węższe będą paski, ale końcowe przesunięcie fazowe i zmiana amplitudy będą, dla danej długości fali, określone tylko wartością kąta odchylenia \theta\,. (Pomocniczy wskaźnik n\, przestaje więc być istotny i dalej potrzebny.) Związek pomiędzy wartością kąta \theta\,, a amplitudą wypadkowej fali możemy znaleźć rozpatrując zależności geometryczne zilustrowane na rysunku.


Grafika:PF_M16_Slajd15.png Kiedy liczba pasków będzie zmierzać do nieskończoności, a ich szerokość do zera, to łuk strzałek fazowych będzie można przybliżyć łukiem okręgu. Długość łuku jest równa E_0\,, a kąt \varphi\, pomiędzy stycznymi do łuku na obu jego końcach równy jest różnicy faz pomiędzy promieniami biegnącymi z obu krańców szczeliny. Kąt ten, mierzony w radianach, równy jest z definicji stosunkowi długości łuku, czyli E_0\,, do promienia R\, to znaczy \varphi=E_0/R\,. Z kolei, jak widać na rysunku, wypadkowa amplituda fali obserwowanej pod kątem \theta\, wynosi E_{\theta}=2Rsin\alpha , zaś \alpha=\varphi/2 . Wynika z tego, że \displaystyle E_{\theta}=E_0 \frac{sin\alpha}{\alpha}.

Wypadkowa różnica faz odpowiada promieniom biegnącym z dwóch krańców szczeliny i określona jest tak samo, jak różnica faz dla dwóch sąsiednich pasków, jeśli szerokość paska zamienimy szerokością szczeliny: \displaystyle \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}h sin\theta=2\alpha , czyli \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{\lambda}h sin\theta .

W ten sposób różnica faz \varphi\, określona została przez mierzalne wielkości: szerokość szczeliny h\,, długość fali \lambda\, i kąt obserwacji \theta\,. Podstawiając wyznaczoną wypadkową różnicę faz do wzoru \displaystyle E_{\theta}=E_0 \frac{sin\alpha}{\alpha} , otrzymujemy wyrażenie na amplitudę fali wypadkowej. Intensywność obrazu dyfrakcyjnego proporcjonalna jest do kwadratu amplitudy. Zapiszmy więc kompletny wzór na rozkład intensywności obrazu dyfrakcyjnego zależny jedynie od mierzalnych wielkości, czyli umożliwiający weryfikację doświadczalną. Przez I_{wzgl}\, oznaczamy względną intensywność określoną jako stosunek intensywności dla danego kąta do intensywności maksymalnej, czyli dla kąta \theta\, równego zeru.

\displaystyle I_{\theta}=I_0 \left(\frac{sin\alpha}{\alpha} \right)^2 , lub \displaystyle I_{wzgl}=\frac{I_{\theta}}{I_0} =\left(\frac{sin\alpha}{\alpha} \right)^2 , gdzie \displaystyle \alpha=\pi \left(\frac{h}{\lambda} \right)sin\theta


Grafika:PF_M16_Slajd16.png Warto zobaczyć, jak zmiana intensywności zależy od szerokości szczeliny i długości fali. Z postaci wzoru na I_{wzgl}\, widać, że zależy nie tyle od samych tych wartości, ale od ich stosunku h/{\lambda}\, . Szerokość głównego maksimum dyfrakcyjnego jest tym większa, im węższa jest szczelina. Gdy szerokość szczeliny jest dużo większa od długości fali (dolny wykres) zjawiska dyfrakcji, czyli ugięcia na szczelinie, praktycznie nie obserwujemy.

Grafika:PF_M16_Slajd17.png Złożenie interferencji i dyfrakcji

Uzyskaliśmy interferencyjne efekty na pojedynczej szczelinie, zaś poprzednio rozważaliśmy układ dwóch szczelin, gdzie również określiliśmy warunki na wzmacnianie i wygaszanie wypadkowej fali interferencyjnej. Można się więc spodziewać, że w układzie dwóch szczelin, uzyskamy superpozycje obu dyskutowanych tu efektów. Przypomnijmy sobie wzór na falę, będącą rezultatem nałożenia się dwóch fal o tych samych częstościach i amplitudach. Uzyskujemy fale wypadkową, y_{12}\,, której amplituda zależy od różnicy faz fal składowych. W naszym przypadku możemy wzór na amplitudę zapisać następująco:


\displaystyle E_i=2E_{0i}cos \left(\frac{\varphi_i}{2} \right)=E_m cos\alpha_i


gdzie przez E_i\, (i – od interferencji) oznaczyliśmy amplitudę fali zależną od różnicy faz promieni przechodzących przez dwie szczeliny, a przez E_{0i}\, amplitudę fali biegnącej z każdej szczeliny. Amplituda maksymalna E_m\, jest sumą obu amplitud składowych E_m=2E_{0i}. Podobnie jak w przypadku dyfrakcji \alpha_i=\varphi_i /2. Należy jeszcze powiązać różnicę faz z kątem odchylenia promieni od pierwotnego kierunku fali padającej na układ szczelin. Wykorzystamy tu otrzymaną dla pojedynczej szczeliny zależność \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{\lambda}h sin\theta , gdzie zamiast szerokości szczeliny h wstawiamy odległość pomiędzy dwoma szczelinami d\, : \displaystyle \alpha_i \frac{\pi d}{\lambda} sin\theta.

Natężenie fali (intensywność) jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Intensywność obrazu interferencyjnego możemy więc zapisać w postaci:

\displaystyle I_i=I_{mi}cos^2 \alpha_i


gdzie I_{mi}\, jest maksymalną intensywnością promieni biegnących z każdej szczeliny.


Grafika:PF_M16_Slajd18.png Ta maksymalna intensywność zależna jest jednak od efektów dyfrakcyjnych I_{mi}=I_0 \left(\frac{sin\alpha}{\alpha} \right)^2. Intensywność łączna zawierająca w sobie oba efekty wyrazi się więc wzorem:

\displaystyle I_{\theta_{id}}=I_m (cos\alpha_i)^2\cdot \left(\frac{sin\alpha_d}{\alpha_d} \right)^2 , gdzie \alpha_i= \frac{\pi d}{\lambda} sin\theta , \alpha_d= \frac{\pi h}{\lambda} sin\theta

Jest to końcowy wzór zależny wyłącznie od wielkości mierzalnych. Indeksami "i" i "d" oznaczyliśmy kąty odpowiadające interferencji i dyfrakcji. Symbolem d oznaczona jest odległość pomiędzy szczelinami, a symbolem h, szerokość każdej ze szczelin. I_m\, jest maksymalną intensywnością odpowiadającą promieniom biegnącym na wprost.


Grafika:PF_M16_Slajd19.png Obraz interferencyjno - dyfrakcyjny określony powyższym wzorem pokazany jest na rysunku. Widzimy tu szereg maksimów interferencyjnych (fioletowa linia), których intensywność określona jest przez efekty dyfrakcyjne (czerwona linia). Dolny wykres odpowiada trzy razy mniejszej odległości między szczelinami d niż górny. Zmniejszenie odległości wpłynęło na poszerzenie linii.

Grafika:PF_M16_Slajd20.png Szerokość szczelin h\, wpływa natomiast na zależność intensywności linii od kąta odchylenia \theta\,. Dla szerokich szczelin intensywność szybko maleje wraz z kątem \theta\,, dla szczelin wąskich możemy obserwować stosunkowo silne linie przy dużych kątach odchylenia.

Grafika:PF_M16_Slajd21.png Siatka dyfrakcyjna

Siatką dyfrakcyjną nazywamy układ wielu szczelin. Charakteryzuje ją wielkość zwana stałą siatki d\,, która równa jest odległości pomiędzy dwiema sąsiednimi szczelinami, szerokość szczeliny h\, oraz liczba szczelin N\,. Oczekujemy, że w przypadku siatki dyfrakcyjnej efekt interferencyjny będzie silniejszy, bo sumować się będą składniki pochodzące od każdej pary sąsiednich szczelin. Wystąpią też efekty dodatkowe związane z interferencją pomiędzy innymi kombinacjami dwóch szczelin w siatce. Warunek wzmocnienia dla par sąsiednich szczelin będzie taki sam jak dla układu dwóch szczelin, czyli kąt odchylenia określony będzie stosunkiem długości fali padającej do stałej siatki. Podobnie jak w przypadku dwóch szczelin o określonych szerokościach wystąpią też efekty dyfrakcyjne zależne od szerokości samych szczelin h\,. Zapiszmy więc warunek wzmocnienia w postaci: sin\theta=n\frac{\lambda}{d} , gdzie n=1, 2, 3,...\,

Wielkość n\, nazywamy rzędem widma.


Grafika:PF_M16_Slajd22.png Dla znalezienia warunków określających położenia minimów postąpimy analogicznie do znajdowania minimów dyfrakcyjnych w pojedynczej szczelinie. Znajdziemy warunek wygaszania się promieni z pierwszej i drugiej części siatki, odległych od siebie o Nd/2\, . Jeśli rozpatrujemy promienie odchylone względem pierwotnego kierunku o kąt \theta\,, to ich różnica dróg \Delat r\, wynosić będzie:
\displaystyle \Delta r=\frac{Nd}{2}sin\theta

Pierwsze wygaszenie nastąpi, kiedy ta różnica równa będzie połowie długości fali, czyli kiedy

\displaystyle \frac{Nd}{2}sin\theta_1=\frac{\lambda}{2} ,a więc \displaystyle sin\theta_1=\frac{\lambda}{Nd}

Kolejne minima dane będą zależnością:

\displaystyle sin\theta_i=i\cdot \frac{\lambda}{Nd} , gdzie i=1, 2, 3,...\,

Kiedy jednak i stanie się równe N\, to zamiast minimum, spełniony zostanie warunek na pierwsze boczne maksimum.

Uzyskaliśmy bardzo ciekawy rezultat. Główne maksima, dla których jest spełniony warunek \displaystyle sin\theta=n \frac{\lambda}{d} , oddzielone będą szeregiem minimów rozdzielających wtórne maksima o wiele słabsze od głównych. Im więcej będzie szczelin, tym więcej będzie minimów, w rezultacie tym węższe będą maksima główne. Dla określonych długości fal uzyskamy silne i wąskie linie widmowe.


Grafika:PF_M16_Slajd23.png Na ilustracji górnej, dla liczby szczelin N=4\,, widzimy maksima główne o dużej intensywności i znacznie słabsze maksima wtórne. Już dla N=20\,, dolna ilustracja, maksima wtórne stają się praktycznie niewidoczne, a maksima główne to wąskie linie. Zauważmy, że typowa siatka dyfrakcyjna zawiera tysiące szczelin tak, że obraz z niej uzyskany to praktycznie tylko maksima główne występujące jako wąskie linie.

Grafika:PF_M16_Slajd24.png Na zdjęciu pokazane są prążki interferencyjne uzyskane na ekranie za siatką dyfrakcyjną oświetloną światłem lampy sodowej. Lampa taka emituje żółte światło monochromatyczne o długości fali 589,3 nm. Widzimy najmocniejszy prążek rzędu zerowego, obserwowany pod kątem \theta=0^\circ\,, trochę słabsze prążki rzędu pierwszego i najsłabsze prążki rzędu drugiego.

Grafika:PF_M16_Slajd25.png Jeśli oświetlimy siatkę światłem, które jest mieszaniną fal o różnych długościach, to zgodnie ze wzorem \displaystyle sin\theta=n\frac{\lambda}{d} , otrzymamy wzmocnienia dla różnych długości fal pod różnymi kątami. Światło zostanie rozdzielone według długości fal – otrzymamy widmo światła. Na zdjęciu widzimy widmo światła lampy neonowej Prążek rzędu zerowego jest jeden, bo dla każdej barwy pojawia się pod kątem \theta=0^\circ\,. Widzimy mieszaninę barw, którą odbieramy jako barwę różową. Natomiast prążków rzędu pierwszego jest tyle, ile poszczególnych barw składowych. Światło o najmniejszej długości fali, fioletowe, ma maksimum pod najmniejszym kątem \theta\,.

Grafika:PF_M16_Slajd26.png Zastanówmy się, jak duża musi być różnica długości fal, aby można było rozdzielić je za pomocą siatki dyfrakcyjnej. Gdyby źródło emitowało dwie fale takie, że różnica ich długości byłaby równa \Delta \lambda=\lambda' -\lambda , to możemy je rozróżnić, jeśli maksimum dla jednej fali przypada na pierwsze minimum drugiej. Położenie n-tego maksimum i pierwszego przy nim minimum dla fali o długości \lambda\, określają zależności:
\displaystyle sin\theta_n=n\frac{\lambda}{d} , \displaystyle sin{\theta_n}^{min}=n\frac{\lambda}{d}+\frac{\lambda}{Nd}

Maksimum drugiej fali o długości \lambda'\, musi być nie bliżej niż pierwsze minimum pierwszej fali, czyli musi być spełniony warunek:

\displaystyle n\frac{\lambda'}{d}=n\frac{\lambda}{d}+\frac{\lambda}{Nd} , czyli \displaystyle n(\lambda'-\lambda)=\frac{\lambda}{N}

Wielkość R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda} nazywamy zdolnością rozdzielczą siatki dyfrakcyjnej. Widzimy, że:

\displaystyle R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=nN

Wniosek stąd, że dla uzyskania dużej zdolności rozdzielczej należy stosować siatki o wielkiej liczbie szczelin i analizować widma wysokiego rzędu.


Grafika:PF_M16_Slajd27.png Prawo Bragga

Efekty dyfrakcyjne możemy obserwować nie tylko dla światła widzialnego i dla fal przechodzących przez szczeliny. Ważną i wartościową z punktu widzenia badania struktur krystalicznych jest dyfrakcja odbiciowa wiązek promieni Roentgena na kryształach. Zjawisko dyfrakcji zachodzi na zbudowanej z atomów sieci krystalicznej i polega na nałożeniu się fal odbitych od płaszczyzn utworzonych przez atomy. Kryształ stanowi rodzaj trójwymiarowej siatki dyfrakcyjnej dla promieniowania o długościach fal porównywalnych z odległościami międzyatomowymi w krysztale.

Przykład struktury sieci, przedstawiony w dwóch wymiarach, pokazuje rysunek. Kolorem czerwonym zaznaczone są węzły sieci, na których zachodzi zjawisko dyfrakcji. Odległość pomiędzy płaszczyznami poziomymi wynosi d\,. Kąt między płaszczyzną kryształu a promieniami padającymi równy jest \theta\,. Padające na kolejne płaszczyzny fale płaskie ulegają odbiciu i jeśli różnica dróg optycznych fal odbitych od poszczególnych warstw równa jest całkowitej wielokrotności długości fali padającej, to wypadkowa fala odbita ma maksymalną amplitudę. Warunek powstawania maksimów dyfrakcyjnych zwany jest prawem Bragga i wynika bezpośrednio z zależności geometrycznych widocznych na rysunku. Aby po odbiciu uformowane zostało czoło zgodnych w fazie fal musi być spełniony warunek 2d sin\theta=n\lambda , gdzie n=1, 2, 3,...\,

Prawo Bragga znajduje zastosowanie do badania struktury sieci krystalicznej, na przykład określania odległości międzypłaszczyznowych. Z drugiej strony, umożliwia także analizę składu widmowego promieniowania Roentgena, stanowiąc element metod spektroskopii rentgenowskiej. Stosując kryształy o znanych parametrach sieci krystalicznej, można określić długość padającej fali, stosując promieniowanie o znanej długości można określić odległości pomiędzy płaszczyznami struktury krystalicznej. Z kolei, jeśli na określony kryształ rzucimy wiązkę promieniowania o różnych długościach fali (niemonochromatycznego), to w wyniku odbicia braggowskiego możemy otrzymać promieniowanie monochromatyczne o długościach fali spełniających prawo Bragga.


Grafika:PF_M16_Slajd28.png Warto dodać, że prawo Bragga ma charakter ogólny i nie ogranicza się wyłącznie do promieniowania rentgenowskiego. Przykładem pokazującym funkcjonowanie prawa Bragga dla długości fal różniących się o wiele rzędów wielkości od długości fal promieni Roentgena jest jedno z ćwiczeń laboratoryjnych w Laboratorium Fizyki I na Wydziale Fizyki PW, gdzie prawo Bragga demonstrowane jest na przykładzie odbicia mikrofal od makroskopowej struktury "kryształu" zbudowanego z kulek o średnicy kilku centymetrów. Typowa długość fali dla używanych mikrofal wynosi około 3 cm. To jeszcze jeden przykład przypominający nam, że efekty interferencyjne i dyfrakcyjne obserwujemy tylko wtedy, gdy rozmiary obiektu są tego samego rzędu, co długość fali.

Grafika:PF_M16_Slajd29.png Efekt Dopplera

Kiedy stoimy przy drodze i mija nas samochód, zauważamy, że wysokość dźwięku silnika nagle zmniejsza się - dźwięk staje się "niższy", kiedy samochód zaczyna się od nas oddalać. Zjawisko to, zwane efektem Dopplera, obserwowane jest nie tylko dla fali dźwiękowej, ale także dla fal elektromagnetycznych. Najpierw omówimy mechanizm tego zjawiska na przykładzie podłużnej fali dźwiękowej.

Kiedy fala dźwiękowa o długości \lambda\, rozchodzi się z prędkością v\,, a my nie poruszamy się względem źródła, to w czasie t\, dociera do nas n=vt/{\lambda} pełnych długości fal. Odpowiada to częstotliwości dźwięku \nu=v/{\lambda}=n/t. Kiedy zbliżamy się do źródła dźwięku z prędkością v_0\,, to dodatkowo dociera do nas jeszcze n_0=v_0t/{\lambda} długości fal. Odpowiada to częstotliwości:

\displaystyle \nu'=\frac{(n+n_0)}{t}=\frac{\frac{vt}{\lambda}+\frac{v_0 t}{\lambda}}{t}=\frac{v+v_0}{\lambda}

Grafika:PF_M16_Slajd30.png Ponieważ \lambda=v/{\nu} otrzymujemy:
\displaystyle \nu'=\frac{\nu}{v}(v+v_0)=\nu\left(1+\frac{v_0}{v} \right)

a więc częstotliwość dźwięku odbierana przez obserwatora zbliżającego się do nieruchomego źródła, \nu'\,, jest większa od częstotliwości wysyłanej przez źródło, \nu\,. Odbierany dźwięk jest wyższy.

Kiedy oddalamy się od nieruchomego źródła dźwięku to zmniejsza się liczba fal docierających do nas w danym czasie i ton słyszanego dźwięku jest niższy. Rozumując jak wyżej, mamy bowiem:

\displaystyle \nu'=\nu \left(1-\frac{v_0}{v} \right)

a więc częstotliwość dźwięku odbieranego jest mniejsza od częstotliwości dźwięku wysyłanego.


Grafika:PF_M16_Slajd31.png Kiedy my się nie poruszamy, ale porusza się w naszym kierunku źródło dźwięku (na przykład zbliżający się samochód), to obrazowo możemy powiedzieć, że źródło (samochód) stara się dogonić uciekającą falę. W czasie jednego okresu fala przesunie się o odcinek vT=\lambda , ale źródło przesunie się o odcinek s_z=v_z T , gdzie v_z\, jest prędkością źródła. Długość fali będzie więc zmniejszona o odcinek jaki przebywa źródło w czasie jednego okresu:
\lambda'=\lambda-s_z=(v-v_z)T=\frac{v-v_z}{\nu}

Mniejsza długość fali odpowiada większej częstotliwości dźwięku. Częstotliwość docierającej do nas fali dźwiękowej będzie więc:

\displaystyle \nu'=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v\nu}{v-v_z}=\nu\frac{v}{v-v_z}

czyli \nu'>\nu , co oznacza, że dźwięk odbierany jest wyższy niż wysyłany. Z postaci wyrażenia po prawej stronie wzoru, widać, że kiedy prędkość źródła będzie zbliżać się do prędkości fali, to częstotliwość będzie dążyć do nieskończoności, a kiedy będzie większa, to całe wyrażenie traci sens fizyczny. W takich przypadkach nie można stosować podanych wyżej wzorów na zmianę częstotliwości, bowiem sama fala zmienia się w czasie, a jej kształt jest inny. Dla prędkości większych od prędkości fazowej fali w danych ośrodku występuje zjawisko fali uderzeniowej, które ma miejsce, kiedy na przykład samoloty poruszają się z prędkością większą od prędkości dźwięku w powietrzu. Gdy samolot przekracza prędkość dźwięku, dochodzącą do nas falę uderzeniową, odbieramy jako grzmot.


Grafika:PF_M16_Slajd32.png Kiedy źródło dźwięku się oddala, to ton dźwięku staje się niższy. W czasie jednego okresu źródło oddala się od nas o odcinek równy s_z\, i o tyle powiększona jest długość fali. Rozumując analogicznie jak w przypadku zbliżania się źródła dźwięku otrzymujemy wyrażenie na częstotliwość fali docierającej do nas od oddalającego się źródła:
\displaystyle \nu'=\nu\frac{v}{v+v_z} ,

czyli \nu'<\nu.

Obydwa przypadki, ruchu źródła i ruchu obserwatora, można ująć w postaci jednego wzoru:

\displaystyle \nu'=\nu\frac{v\pm v_0}{v\mp v_z} ,

gdzie górne znaki odpowiadają zbliżaniu, a dolne oddalaniu się obiektów.


Grafika:PF_M16_Slajd33.png Ilustracja pokazuje mechanizm zmiany długości fali dźwiękowej, gdy źródło porusza się. Na górnym rysunku źródło jest nieruchome i powierzchnie falowe wyemitowane w równych odstępach czasu T\, we wszystkich kierunkach odległe są o \lambda\,. Na dolnym rysunku źródło porusza się w prawo i kolejne powierzchnie falowe wyemitowane są w punktach przesuniętych o s_z=v_z T , co daje efekt zmniejszenia długości fali z prawej strony i zwiększenia z lewej.

Grafika:PF_M16_Slajd34.png Dopplerowska zmiana częstotliwości dla fal dźwiękowych zależna jest od prędkości ruchu źródła i obserwatora względem ośrodka, w którym rozchodzą się fale dźwiękowe. Efekt Dopplera występuje również dla fal elektromagnetycznych. Ale naszego rozumowania dla fal dźwiękowych nie możemy powtórzyć dla fal elektromagnetycznych, bo nie istnieje żaden ośrodek, który byłby nośnikiem fal elektromagnetycznych. Fala elektromagnetyczna rozchodzi się w próżni, a jej prędkość jest w każdym układzie taka sama i wynosi c\,.

Prędkości źródła i obserwatora względem ośrodka musimy zastąpić prędkością względną tych dwóch układów. Załóżmy, że fala o częstotliwości \nu\, emitowana jest w układzie U\,. Jaka częstotliwość \nu'\, będzie obserwowana w układzie U'\, poruszającym się względem U\, z prędkością względną v_{wzgl}\, ? Aby rozwiązać ten problem, należy zastosować transformację Lorentza, czyli wyrazić współrzędne w układzie U'\,: x'\, i t'\, przez współrzędne w układzie U\,: x\, i t\,. Pominiemy szczegółowe rachunki i podamy od razu wynik końcowy.

\displaystyle \nu'=\nu\sqrt{\frac{1\mp\frac{v_{wzgl}}{c}}{1\pm\frac{v_{wzgl}}{c}}}

gdzie górne znaki odpowiadają oddalaniu się obserwatora i źródła (dając \nu'<\nu), a dolne - zbliżaniu (dając \nu'>\nu).

Zauważmy, że we wzorach na akustyczny efekt Dopplera forma zależności od prędkości obserwatora i prędkości źródła jest różna. Można więc na tej podstawie stwierdzić czy porusza się obserwator, czy źródło. Jest to możliwe, bo obserwator, czy też źródło poruszają się względem ośrodka przenoszącego fale dźwiękowe. W przypadku fali elektromagnetycznej takiego ośrodka nie ma i zgodnie z zasadą względności nie można rozstrzygnąć, który układ porusza się, a który spoczywa. Dlatego zmianę częstości dla fali elektromagnetycznej opisuje jeden wzór, w którym występuje prędkość względna źródła i obserwatora.

Zjawisko Dopplera umożliwia nam zdobycie wielu cennych informacji o Wszechświecie. Obserwowane przesunięcie w stronę czerwieni światła emitowanego przez odległe galaktyki, wskazuje, że galaktyki te oddalają się od nas i to tym szybciej, im są od nas dalej. Tak zwana „ucieczka galaktyk” będąca przejawem rozszerzania się Wszechświata, jest silnym argumentem za hipotezą „Wielkiego Wybuchu”, z którego powstał Wszechświat.


Podsumowanie

Zjawiska związane z nakładaniem się fal noszą nazwę interferencji fal. Jeśli fala przechodzi przez dwie szczeliny, to na ekranie za przesłoną powstają jasne i ciemne prążki. Warunek na powstanie jasnego prążka, czyli na wzmocnienie, to: d sin\theta=n\lambda , gdzie d\, jest odległością między szczelinami, \lambda\, - długością fali, \theta\, - kątem obserwacji, a n=1, 2, 3,...\, nazywamy rzędem widma. Ogólnie, dwie nakładające się fale wzmacniają się, jeśli różnica ich faz wynosi zero, natomiast całkowicie wygaszają się, gdy różnica faz równa jest \pi\,.

Kiedy światło przechodzi przez otwór obserwujemy dyfrakcję, czyli ugięcie światła. W tym przypadku również powstają za otworem jasne i ciemne prążki. Całkowite wygaszenie, czyli ciemne prążki, obserwujemy pod kątem \theta\, danym wzorem: h sin\theta=n\lambda , gdzie h\, jest szerokością szczeliny. Intensywność prążków dyfrakcyjnych zależna jest od stosunku szerokości szczeliny do długości fali i wyraża się wzorem: \displaystyle I_{\theta}=I_0 \left(\frac{sin\alpha}{\alpha} \right)^2 , gdzie \alpha=\frac{\pi}{\lambda}h sin\theta

W układzie dwóch szczelin występuje superpozycja obu efektów: dyfrakcji i interferencji. Obserwuje się szereg maksimów interferencyjnych, których intensywność określona jest przez efekty dyfrakcyjne. Intensywność prążków opisuje wzór: \displaystyle I_{\theta_{id}}=I_m (cos\alpha_i)^2\cdot \left(\frac{sin\alpha_d}{\alpha_d} \right)^2 , gdzie \displaystyle \alpha_i= \frac{\pi d}{\lambda} sin\theta a \displaystyle \alpha_d= \frac{\pi h}{\lambda} sin\theta .Czynnik (cos\alpha_i)^2\, jest związany z efektami interferencyjnymi, a czynnik \displaystyle \left(\frac{sin\alpha_d}{\alpha_d} \right)^2 z efektami dyfrakcyjnymi.

Siatka dyfrakcyjna to układ wielu szczelin. Światło przechodząc przez siatkę tworzy wąskie prążki interferencyjne, których położenie określone jest wzorem sin\theta=n\frac{\lambda}{d} .Zdolność rozdzielczą siatki definiujemy \displaystyle R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda} , gdzie \lambda\, to długość fali, a \Delta \lambda=\lambda'-\lambda jest najmniejszą różnicą długości fal, które można rozdzielić za pomocą siatki. Zdolność rozdzielcza jest tym większa, im większą liczbę szczelin zawiera siatka i im dalsze rzędy widma analizujemy.

Prawo Bragga określa warunek powstawania maksimów dyfrakcyjnych promieniowania rentgenowskiego odbitego od płaszczyzny kryształu: 2d sin\theta=n\lambda , gdzie d\, jest odległością między płaszczyznami sieci krystalicznej, \theta\, - kąt między kierunkiem promieniowania a płaszczyzną kryształu, \lambda\, - długością fali, a n=1, 2, 3,...\, Prawo Bragga znajduje zastosowanie do badania struktury sieci krystalicznej.

Efekt Dopplera polega na zależności częstości fali od prędkości źródła fali i prędkości obserwatora. Dla fali dźwiękowej zależność ta jest następująca:

\displaystyle \nu'=\nu\frac{v\pm v_0}{v\mp v_z} ,

gdzie v_0\, to prędkość obserwatora, v_z\, – prędkość źródła fali, v\, - prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku, \nu\, - częstość emitowana, \nu'\, – częstość obserwowana. Górne znaki odpowiadają zbliżaniu, a dolne oddalaniu się obiektów.

Dla fal elektromagnetycznych efekt Dopplera opisuje wzór:

\displaystyle \nu'=\nu\sqrt{\frac{1\mp\frac{v_{wzgl}}{c}}{1\pm\frac{v_{wzgl}}{c}}}

gdzie v_{wzgl}\, jest prędkością względną obserwatora i źródła światła. Górne znaki odpowiadają oddalaniu się obserwatora i źródła (dając \nu'<\nu), a dolne - zbliżaniu (dając \nu'>\nu).


Materiały do ćwiczeń

Zadanie 1

Wiązka żółtego światła monochromatycznego o długości fali 589,3 nm pada prostopadle na siatkę dyfrakcyjną. Widmo dyfrakcyjne drugiego rzędu ( m = 2 ) obserwuje się pod kątem 28^\circ 9' . Obliczyć stałą siatki dyfrakcyjnej oraz ocenić pod jakim kątem ugięcia obserwuje się prążki pierwszego rzędu ( m = 1 ).


Rozwiązanie

Warunek na wzmocnienie: m\lambda=d sin\alpha_m (*)

gdzie: d\, - stała siatki, l\, - długość fali, a_m\, - kąt ugięcia, a m=1, 2, 3...\, jest rzędem widma, które można obserwować na ekranie w postaci jasnych prążków rozłożonych symetrycznie względem prążka zerowego (m = 0).

W naszym zadaniu stałą siatki obliczymy z warunku (*). Ponieważ \displaystyle d=\frac{m\lambda}{sin\alpha_m} , to dla m = 2, \displaystyle d=\frac{2\cdot 589,6nm}{sin28^\circ 9'} , więc stała siatki d=2500 nm\,.

Z warunku (*) sinusy kątów ugięcia są sin\alpha_m=\frac{m\lambda}{d} , a dla prążków pierwszego rzędu (m = 1)

\displaystyle \alpha_1=arc sin\frac{\lambda}{d}=13^\circ 38' .


Zadanie 2

Dwa pociągi poruszają się po torach równoległych. Pierwszy z prędkością 72 km/godz, a drugi z prędkością 54 km/godz. Gwizdek lokomotywy pierwszego pociągu wytwarza sygnał o częstotliwości 500 Hz. Jaką częstotliwość dźwięku słyszy maszynista drugiego pociągu, gdy pociągi:

  • zbliżają się do siebie,
  • oddalają się od siebie


Rozwiązanie

Jeżeli źródło fali i obserwator, zbliżają się do siebie w ośrodku przenoszącym falę, to obserwator słyszy dźwięk o częstotliwości:

\displaystyle \nu'=\nu \left(\frac{v+v_0}{v-v_z} \right)

gdzie: \nu\, - częstotliwość fali emitowanej przez źródło, v\, - prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku, v_0\, - prędkość obserwatora, v_z\, - prędkość źródła.

Jeżeli źródło fali i obserwator, oddalają się od siebie w ośrodku przenoszącym falę, to obserwator odbiera dźwięk o częstotliwości:

\displaystyle \nu'=\nu \left(\frac{v-v_0}{v+v_z} \right)

Do obliczenia częstotliwości fali słyszanej przez maszynistę drugiego pociągu podstawiamy do podanych wzorów dane liczbowe: \nu=500Hz , v=340 m/s , v_0=54 km/godz = 15 m/s , v_z=72 km/godz  = 20 m/s .

Maszynista drugiego pociągu odbiera falę o częstotliwości:

  • 555 Hz, gdy pociągi zbliżają się,
  • 451 Hz, gdy pociągi oddalają się.


Zadanie 3

Jeśli równoległa wiązka światła pada na szeroką szczelinę o szerokości h, na ekranie odległym o D pojawi się pasmo o szerokości y = h. Jeśli szczelinę stopniowo zmniejszamy, pasmo staje się coraz węższe, aż do momentu pojawienia się efektów dyfrakcyjnych. Wtedy pasmo znów się poszerza. Przy jakiej szerokości szczeliny otrzymamy najwęższe pasmo na ekranie?

Grafika:PF1_M16_Rys1.png


Rozwiązanie

Dodatkowa szerokość pasma związana z dyfrakcją wynosi: y_d=\theta_{min}D . \theta_{min}\, to kąt pod jakim obserwujemy pierwsze minimum, które wyznacza szerokość głównego maksimum.

Korzystamy z warunku na pierwsze minimum: \displaystyle sin\theta_{min}=\frac{\lambda}{h} . Ponieważ dla małych kątów sin\alpha \approx \alpha możemy zapisać: \displaystyle y_d=\theta_{min}D=\left(\frac{\lambda}{h} \right)D. Całkowita szerokość jest równa: \displaystyle y=h+\frac{\lambda D}{h}.

Szukamy minimum funkcji y(h):

\frac{dy}{dh}=0 , stąd \displaystyle \left(1-\frac{\lambda D}{h^2} \right)=0 . Szerokość pasma jest najmniejsza przy szerokości szczeliny: \displaystyle h=\sqrt{\lambda D} .


Zadanie 4

Światło lampy neonowej przepuszczono przez siatkę dyfrakcyjną i uzyskano na ekranie prążki dyfrakcyjne. Obliczyć długości fal linii widmowych barwy: fioletowej, niebieskiej, zielonej i czerwonej, jeśli odpowiednie prążki pierwszego rzędu obserwuje się pod kątami: 5^\circ  7'\,, 5^\circ  46'\, , 6^\circ  12'\, , 7^\circ  21'\, , a stała siatki dyfrakcyjnej d = 5000 nm.


Odpowiedź

Długość fali dla barwy fioletowej wynosi 446 nm, dla barwy niebieskiej: 502 nm, dla barwy zielonej: 540 nm i dla barwy czerwonej: 640 nm.


Zadanie 5

W roku 2002 odkryto za pomocą teleskopu SUBARU galaktykę, której światło wykazuje przesunięcie ku czerwieni z = 6,54. Przesunięcie ku czerwieni zdefiniowane jest jako \displaystyle z=\frac{\lambda_{obs}-\lambda_{em}}{\lambda_{em}} , gdzie \lambda_{em}\, jest długością fali wyemitowaną z galaktyki, a \lambda_{obs}\, jest długością fali zaobserwowaną na Ziemi. Obliczyć, z jaką prędkością galaktyka oddala się od Ziemi.


Rozwiązanie

Zastosujmy wzór na częstotliwość obserwowaną: \displaystyle \nu_{ob}=\nu_{em}\sqrt{\frac{\displaystyle 1-\frac{v}{c}}{\displaystyle  1+\frac{v}{c}}} , gdzie v\, jest prędkością oddalania się galaktyki. Ponieważ \displaystyle \nu=\frac{c}{\lambda} , możemy zapisać: \displaystyle \frac{\lambda_{em}}{\lambda_{ob}}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} . Przez \beta\, oznaczyliśmy stosunek prędkości galaktyki do prędkości światła. Korzystając z definicji przesunięcia ku czerwieni, mamy: \displaystyle z=\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}}-1 , czyli \displaystyle \frac{\lambda_{em}}{\lambda_{ob}}=\frac{1}{1+z}=0,1325 . Podstawiając tę wartość do powyższego wzoru, otrzymujemy: \displaystyle  0,1325^2=\frac{1-\beta}{1+\beta}} , skąd obliczamy: \beta= 0,965.


Odp. Galaktyka oddala się od Ziemi z prędkością bardzo bliską prędkości światła, a mianowicie: v =  0,965\cdot c. Dodajmy, że taka prędkość ucieczki oznacza, że galaktyka odległa jest o 12,9 mld lat świetlnych i że powstała, gdy Wszechświat był bardzo młody – liczył sobie mniej niż 1\%\, obecnego wieku.


Słowa kluczowe

interferencja fal
dyfrakcja
siatka dyfrakcyjna
prawo Bragga
efekt Dopplera

Bibliografia

  1. J. Orear, Fizyka, WNT, Warszawa (1998);
  2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka 1, PWN, Warszawa (1994);
  3. I.W. Sawieliew, Wykłady z fizyki, PWN, Warszawa (1994).