PF Moduł 15

From Studia Informatyczne

Spis treści

Wykład

Grafika:PF_M15_Slajd1.png

Grafika:PF_M15_Slajd2.png Wstęp

Równania Maxwella w elegancki sposób opisują wszystkie zjawiska dotyczące pola elektrycznego i magnetycznego. Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Ale równania Maxwella zawierają jeszcze więcej informacji. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni. Światło jest więc falą elektromagnetyczną. W tym wykładzie dowiemy się, jakie są jeszcze inne rodzaje fal elektromagnetycznych. Telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji - wszystko to opiera się na czterech równaniach Maxwella. O elektromagnetycznej naturze światła wiemy od czasów Maxwella, czyli końca XIX wieku. Ale już dwa wieki wcześniej opisywano światło jako falę. Sformułowane przez Pierre'a Fermata w 1650 roku i Christiana Huyghensa w 1678 roku zasady stanowią podstawę optyki geometrycznej. Pokażemy, jak podstawowe prawa optyki: prawo odbicia i załamania światła można uzyskać z tych zasad.


Grafika:PF_M15_Slajd3.png Propagacja fal elektromagnetycznych

Przypomnijmy sobie podstawowe fakty o propagacji fal. Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Wychylenie \xi\, z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: \xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\varphi), gdzie k=\frac{2\pi}{\lambda} jest liczbą falową, \omega=\frac{2\pi}{T} częstością, a \varphi\, - fazą początkową. Funkcja \xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\varphi) jest rozwiązaniem równania falowego:

\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}.

Grafika:PF_M15_Slajd4.png Nasze rozważania rozpoczniemy od przypomnienia równań Maxwella, które przedstawiają relacje pomiędzy zmianami pól: elektrycznego i magnetycznego w czasie i przestrzeni.

Grafika:PF_M15_Slajd5.png Zapiszmy równania Maxwella dla przypadku, kiedy w przestrzeni nie ma ładunków ani ośrodków materialnych, to jest dla próżni. Kiedy rozważamy rozchodzenie się zaburzeń pola elektrycznego w określonym kierunku, na przykład wzdłuż osi X\,, to z równań Maxwella wynika, że będzie mu towarzyszyło pole magnetyczne skierowane prostopadle do pola elektrycznego i kierunku propagacji. Przyjmijmy, że kierunek pola elektrycznego pokrywa się z osią Y\, prostokątnego układu współrzędnych, a pola magnetycznego z osią Z\,. Zapiszemy to w postaci: \overrightarrow{E}=(0,E,0), \overrightarrow{B}=(0,0,B)\,.

Będziemy rozważali propagację zaburzeń pól w jednym kierunku, wzdłuż osi x\,, z czego wynika, że pola te są jednorodne w kierunkach prostopadłych do kierunku propagacji. Oznacza to, że pochodne \frac{\partial E}{\partial y}, \frac{\partial E}{\partial z}, \frac{\partial B}{\partial y}, \frac{\partial B}{\partial z} równe są zeru, czyli że wartości E\, i B\, nie zależą od położenia punktu w kierunkach Y\, i Z\,, to znaczy w każdym momencie mają te same wartości we wszystkich punktach leżących w płaszczyźnie YZ\,; zależą natomiast od X\, oraz t\,.


Grafika:PF_M15_Slajd6.png Zapiszmy równania Maxwella dla przyjętych założeń. Po obliczeniu pochodnych cząstkowych \frac{\partial}{\partial x}\, z obu stron pierwszego równania i \frac{\partial}{\partial t}\, z drugiego, widzimy, że każde z równań zawiera równe sobie wyrażenia: -\frac{\partial^2 B}{\partial x\partial t}\, oraz \frac{\partial^2 B}{\partial t\partial x}\,. Przyrównanie do siebie drugich stron równań daje bardzo ciekawy rezultat! Równanie \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} ma postać podobną do postaci równania falowego. Wykonując różniczkowanie względem czasu dla pierwszego równania oraz względem x\, dla równania drugiego otrzymujemy analogiczny związek dla pola magnetycznego: \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}=\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\frac{\partial^2 B}{\partial x^2}. Oznacza to, że zaburzenia pola elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w postaci fal elektromagnetycznych.

Grafika:PF_M15_Slajd7.png Porównując otrzymane równanie z równaniem falowym, widzimy, że wielkość \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\, jest kwadratem prędkości fazowej v\, fali elektromagnetycznej. Podstawiając wartości przenikalności elektrycznej i magnetycznej próżni (\varepsilon_0\, i\, \mu_0)\, otrzymujemy wartość prędkości v=3\cdot 10^8 m/s\,. Jest to wartość prędkości światła! W ten sposób Maxwell pierwszy odkrył naturę fizyczną światła, uświadamiając nam, że światło jest falą elektromagnetyczną. Wniosek ten uznawany jest za największe osiągniecie teorii Maxwella! Widzimy, że prędkość światła jest niezależna od częstości drgań czy długości fali. Jest to uniwersalna stała związana bezpośrednio z przenikalnością elektryczną i magnetyczną próżni - podstawowymi charakterystykami pól: elektrycznego i magnetycznego. Wiedząc, że prędkość światła w próżni: c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, rozumiemy, że nie może ona zależeć od układu odniesienia, w którym jest mierzona, bowiem \varepsilon_0\, i\, \mu_0\, są stałymi uniwersalnymi. Jest to zgodne z wynikami doświadczeń i stanowi podstawowe założenie szczególnej teorii względności. W ośrodku materialnym o względnej przenikalności elektrycznej \varepsilon\, i magnetycznej \mu\, prędkość światła jest mniejsza od prędkości światła w próżni \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}\, razy.

Grafika:PF_M15_Slajd8.png Podsumujmy: zmiany prostopadłych wzajemnie pól elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w kierunku prostopadłym do kierunku obu tych pól z prędkością światła jako fala elektromagnetyczna. Fale elektromagnetyczne są więc falami poprzecznymi. Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej ilustruje rysunek. Zwróćmy uwagę, że drgania wektora elektrycznego \overrightarrow{E}\, i magnetycznego \overrightarrow{B}\, zachodzą w tej samej fazie: w tych samych punktach przestrzeni oba wektory osiągają wartość maksymalną, czy równą zeru.

Grafika:PF_M15_Slajd9.png Rozwiązaniem równania falowego są funkcje E(x, t)\, i B(x, t)\, opisujące propagację fali elektromagnetycznej. Amplitudy E_0\, i B_0\, nie są od siebie niezależne. Rzeczywiście, gdy obliczymy odpowiednie pochodne cząstkowe E\, i B\, i wstawimy do równania Maxwella \frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}, otrzymamy związek E_0=cB_0\,. Mając na uwadze, że zmiany obu pól przebiegają w ten sam sposób dany powyższymi równaniami, możemy związek pomiędzy amplitudami przenieść na relacje pomiędzy wartościami pól: E=cB\,.

Widmo fal elektromagnetycznych

Widmo fal elektromagnetycznych obejmuje wielką rozmaitość zjawisk: od fal radiowych aż po bardzo przenikliwe promieniowanie gamma. Rodzaj fali zależy od sposobu jej generacji.

  • Fale radiowe to fale o długości mierzonej w metrach, a nawet w kilometrach. Fale te generowane są w układach elektrycznych wytwarzających drgania elektromagnetyczne (obwody LC), i charakteryzują się określoną fazą generowanej fali.
  • Ten sposób generacji dotyczy także mikrofal, których długość fali wynosi od 10^{-4}\,m do 0,3 m (0,1 mm do 30 cm). Do ich wytwarzania używa się lamp mikrofalowych: elektrony krążąc w polu magnetycznym po spiralach, emitują mikrofale.
  • Promieniowanie podczerwone w zakresie od 7\cdot 10^{-7}\,m do 2\cdot 10^{-3}\,m emitowane jest przez rozgrzane ciała w wyniku wzbudzeń cieplnych elektronów wewnątrz substancji. Im niższa temperatura ciała tym mniejsze natężenie promieniowania i większa długość fali. Ciała o temperaturze do około 400^\circ C\, wysyłają praktycznie tylko promieniowanie podczerwone. Fale w obszarze podczerwieni, które emitowane są wskutek chaotycznych wzbudzeń termicznych atomów i cząsteczek nie zachowują stałej fazy, to znaczy, że nie są spójne. Fale spójne w tym obszarze widmowym mogą być generowane przez lasery. Podobna sytuacja jest także w obszarze światła widzialnego i nadfioletu.
  • Światło widzialne to bardzo wąski zakres długości fal od około 4\cdot 10^{-7}\,m do około 7\cdot 10^{-7}\,m. Światło o największej długości fali widzimy jako czerwone, a o najmniejszej – fioletowe. Naturalnymi źródłami są ciała ogrzane do temperatury ponad 700^\circ C\,. Na skutek ruchów cieplnych następuje wtedy wzbudzenie elektronów wewnątrz substancji i przy powrocie do niższych stanów energetycznych następuje emisja światła.
  • Promieniowanie nadfioletowe obejmuje zakres długości fal od 4\cdot 10^{-7}\,m do 10^{-8}\,m (od 400 do 10 nm). Naturalnymi źródłami są ciała o dostatecznie wysokiej temperaturze. Znikome, ale zauważalne ilości tego promieniowania wysyłają już ciała o temperaturze 3000K i ze wzrostem temperatury natężenie wzrasta. Silnym źródłem jest Słońce, którego temperatura powierzchni wynosi 6000K. Promieniowanie nadfioletowe ma silne działanie fotochemiczne. Przy długości fali poniżej 300 nm wywołuje już jonizację i jest zabójcze dla organizmów żywych, wywołuje lub przyspiesza szereg reakcji chemicznych.
  • Promieniowanie rentgenowskie emitowane jest, gdy przejścia elektronów w atomie dotyczą wewnętrznych powłok elektronowych. Jest to możliwe, gdy elektrony wybijane są przez przyspieszone silnym polem elektrycznym cząstki naładowane. Również podczas hamowania swobodnych elektronów przyspieszonych do dużych prędkości, emitowane jest promieniowanie z zakresu rentgenowskiego.
  • Źródłem promieniowania \gamma\, o długości fali mniejszej od 10^{-10}\,m są procesy zachodzące w jądrze atomowym (np. rozpad pierwiastków promieniotwórczych zawartych w skorupie ziemskiej lub reakcje jądrowe). Promieniowanie to powstaje również podczas procesów jądrowych zachodzących w gwiazdach i galaktykach. Do wielkich zagadek współczesnej nauki należą tak zwane błyski \gamma\,. To dochodzące z głębi Wszechświata impulsy promieniowania \gamma\,, o energii porównywalnej z energią, jaką wydzieli Słońce w ciągu całego swego istnienia (10 mld lat).

Grafika:PF_M15_Slajd11.png Wąski zakres światła widzialnego, czyli takiego, które jest odbierane przez nasze oczy, nie jest przypadkowy. Zrozumiemy to, gdy przyjrzymy się rysunkowi przedstawiającemu zasięg fal elektromagnetycznych o różnej długości w atmosferze ziemskiej. Do powierzchni Ziemi dociera tylko światło widzialne z niewielkim marginesem promieniowania nadfioletowego i podczerwonego oraz fale radiowe. Ponieważ odbiornik fal powinien mieć rozmiary tego samego rzędu, co długość fali, ze zrozumiałych względów nie możemy być wyposażeni w detektor fal radiowych. Pozostaje więc tylko zakres widzialny. Nic dziwnego, że w toku ewolucji wykształciły się oczy odbierające ten właśnie zakres. W pozostałych zakresach na powierzchni Ziemi panuje bowiem ciemność.

Grafika:PF_M15_Slajd12.png Energia fal elektromagnetycznych

Jeśli fala elektromagnetyczna jest w stanie pobudzić do działania telewizor, czy telefon komórkowy, to musi przenosić energię z jednego miejsca przestrzeni do drugiego. Skorzystajmy ze wzorów na gęstość energii pola elektrycznego oraz na gęstość energii pola magnetycznego. Gęstość energii, to energia przypadająca na jednostkę objętości. Całkowita energia fali elektromagnetycznej zmagazynowana w jednostce objętości jest sumą energii pola elektrycznego i pola magnetycznego. Po uwzględnieniu związku między wartościami E\, i B\, dla fali elektromagnetycznej E=cB\,, otrzymujemy wzór na gęstość energii fali: w=\varepsilon_0 E^2.


Grafika:PF_M15_Slajd13.png Możemy też gęstość energii fali elektromagnetycznej przedstawić w postaci: w=\frac{B^2}{\mu_0} lub w=\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}\cdot EB.

Grafika:PF_M15_Slajd14.png Określmy teraz energię transportowaną przez falę elektromagnetyczną w próżni w jednostce czasu. Kierunek transportu energii pokrywa się z kierunkiem rozchodzenia się fali i jest prostopadły do kierunków wektorów \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\,. W czasie dt\, fala przesuwa się o odcinek c\dot dt\,. Przez powierzchnię S\, prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali przetransportowana jest energia zawarta w objętości S\cdot c \cdot dt\,. Energia ta wynosi: dW=wdV\, Energia przenoszona przez jednostkową powierzchnię w\, jednostce czasu wynosi więc: P=\frac{1}{S}\frac{dW}{dt}=\varepsilon_0 cE^2

Grafika:PF_M15_Slajd15.png Wykorzystując związki: E=cB oraz c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} możemy wzór na energię przenoszona przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu przedstawić jako: P=\frac{EB}{\mu_0}. Ponieważ, jak to już stwierdziliśmy, energia ta przenoszona jest w kierunku prostopadłym do wektorów \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\,, możemy zdefiniować wektor, którego wartość określa energię przenoszoną przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu, a kierunek wskazuje kierunek przenoszenia tej energii. Pamiętając, że wektory \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\, są do siebie prostopadłe zapisujemy wzór w postaci wektorowej: \overrightarrow{P}=\frac{1}{\mu_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}. Określony tym wzorem wektor nosi nazwę wektora Poyntinga.

Grafika:PF_M15_Slajd16.png Optyka geometryczna

Rozchodzenie się światła, podobnie jak i fal elektromagnetycznych o innych długościach, polega na przemieszczaniu się w czasie i przestrzeni drgań wektorów natężeń pól: elektrycznego i magnetycznego. Prędkość światła w próżni oznaczyliśmy symbolem c\,. Jak stwierdziliśmy, w innych ośrodkach prędkość ta jest mniejsza, co wynika z równań Maxwella, i zależy od względnej przenikalności elektrycznej \varepsilon\, i magnetycznej \mu\, ośrodka. Współczynnik załamania światła w ośrodku definiujemy wzorem n=\frac{c}{v}, a więc prędkość światła w danym ośrodku można wyrazić następująco: n=\sqrt{\varepsilon \mu}\approx \sqrt{\varepsilon}. Przybliżona równość w tym wzorze wynika z faktu, że dla większości ośrodków, w których rozważamy rozchodzenie się światła, wartość przenikalności magnetycznej jest na tyle bliska jedności, że można ją tu pominąć. Otrzymujemy w ten sposób wynikającą z równań Maxwella interesującą zależność między współczynnikiem załamania i przenikalnością elektryczną dla większości (nie ferromagnetycznych) ośrodków n\approx \sqrt{\varepsilon}. Dodajmy do tego jeszcze, że chociaż w falach elektromagnetycznych mamy do czynienia z drganiami wektorów \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\,, to doświadczalnie stwierdzono decydującą rolę drgań pola elektrycznego dla reakcji fotochemicznych, fotoelektrycznych czy również fizjologicznych. Dlatego w rozważaniach naszych będziemy mówić o drganiach wektora natężenia pola elektrycznego jako o drganiach wektora świetlnego. Stosunek prędkości światła w próżni do prędkości światła w danym ośrodku oznaczyliśmy symbolem n\, i nazywamy współczynnikiem załamania. Często nazywa się go także bezwzględnym współczynnikiem załamania, gdyż określa załamanie światła przy przejściu z próżni do ośrodka. Jeśli światło przechodzi z ośrodka 1\,, gdzie rozchodzi się z prędkością v_1\, do ośrodka 2\,, gdzie prędkość światła wynosi v_2\,, załamanie jest określone przez współczynnik załamania ośrodka drugiego względem ośrodka pierwszego n_{2,1}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}.

Pod pojęciem natężenia lub intensywności fali świetlnej będziemy tu rozumieć wielkość proporcjonalną nie do amplitudy drgań wektora \overrightarrow{E}\,, a do kwadratu tej amplitudy, bowiem, jak pamiętamy, energia fali elektromagnetycznej jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola elektrycznego. Pod sformułowaniem "amplituda fali" będziemy więc rozumieli, amplitudę drgań elektrycznych zaś w celu wyznaczenia intensywności lub natężenia światła będziemy wyznaczać wielkość proporcjonalną do kwadratu amplitudy.

Wszystkie omawiane tu zjawiska mogą być opisane z użyciem formalizmu równań Maxwella. Zjawiska te i prawidłowości nimi rządzące zostały jednak zaobserwowane znacznie wcześniej. Zostały one opisane w ramach fenomenologicznych zasad, które umożliwiały w prosty sposób zrozumienie zjawisk falowych nie rozpatrując elektromagnetycznej natury samych fal, z czego nie zdawano sobie wcześniej sprawy. Jak już powiedzieliśmy, dopiero Maxwell pokazał, że światło ma naturę fal elektromagnetycznych.


Grafika:PF_M15_Slajd17.png Prosty opis wielu zjawisk falowych umożliwia zasada podana przez Christiana Huyghensa w 1678 roku, a więc prawie dwa wieki przed sformułowaniem przez Maxwella równań fal elektromagnetycznych. Zasada ta nie zakłada elektromagnetycznego charakteru fal świetlnych i nie wymaga znajomości prędkości ich rozchodzenia się. Mimo to jest niezwykle użyteczna do opisu wielu zjawisk obserwowanych w optyce. Warto dodać, że zasada ta ma charakter ogólny i może być stosowana do opisu różnego rodzaju fal.

Zasadę Huyghensa można sformułować następująco: Każdy punkt w przestrzeni, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej fali kulistej.

Zasada ta nie jest w sprzeczności z prostoliniowym rozchodzeniem się światła, bowiem złożenie fal kulistych daje w rezultacie czoło fali rozchodzące się w określonym kierunku. Wyjaśnia również zjawisko ugięcia światła na przeszkodzie, czy po przejściu przez otwór. Jeśli na płaską przegrodę z otworem pada fala płaska w kierunku prostopadłym do przegrody, to każdy punkt otworu staje się źródłem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tych fal wtórnych wyznacza nowe czoło fali. Widzimy, że fala przenika w obszar cienia geometrycznego, zaznaczonego na rysunku linią przerywaną.


Grafika:PF_M15_Slajd18.png Zastosujmy zasadę Huyghensa do zjawiska załamania światła na granicy dwóch ośrodków. W pierwszym prędkość światła wynosi v_1\,, w drugim v_2\,. Kąty padania i załamania definiujemy jako kąty między normalną do granicy ośrodków a odpowiednio, promieniem padającym i załamanym.

Grafika:PF_M15_Slajd19.png Niech czoło fali rozchodzącej się w prędkością v_1\, w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n_1\,, pada na granicę z drugim ośrodkiem o współczynniku załamania n_2\, i rozchodzi się dalej z prędkością v_2\,. Zgodnie z zasadą Huyghensa, w ośrodku tym rozchodzą się fale kuliste, które na rysunku pokazane są kolorem czerwonym. W czasie, kiedy światło przebiegnie w ośrodku pierwszym odcinek AA'\,, fala w ośrodku drugim przebiegnie odcinek BB'\,: t_{AA'}=t_{BB'}. Wyrażając czas jako iloraz drogi i prędkości mamy: \frac{AA'}{v_1}=\frac{BB'}{v_2} Pamiętamy przy tym, że współczynnik załamania wiąże się z prędkością fali związkiem n=\frac{c}{v}.

Wykorzystując zależności geometryczne: AA'=BA'sin\alpha_1 i BB'=BA'sin\alpha_2, otrzymujemy prawo Sneliusa: n_1 sin\alpha_1=n_2 sin\alpha_2, które można też wyrazić jako: stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest stały i równy współczynnikowi załamania ośrodka drugiego względem pierwszego.


Grafika:PF_M15_Slajd20.png Jeśli promień padający biegnie w ośrodku gęstszym optycznie (czyli v_1<v_2), to kąt załamania jest większy niż kąt padania. Zwiększając kąt padania dochodzimy do sytuacji, gdy kąt załamania równy jest 90^\circ\,. Taki kąt padania nazywamy kątem granicznym. Sinus kąta granicznego jest odwrotnością współczynnika załamania ośrodka gęstszego optyczne względem ośrodka rzadszego optycznie. Jeśli światło padnie na granicę ośrodków pod kątem większym od granicznego, odbije się w całości od granicy. Jest to zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Wykorzystywane jest ono w konstrukcji światłowodów.

Grafika:PF_M15_Slajd21.png Zasada Fermata

Druga zasada, sformułowana przez Pierre'a Fermata w 1650 roku dotyczy czasu przejścia światła pomiędzy dwoma punktami. Jej sens można sformułować następująco. Światło biegnie po takiej drodze, na pokonanie której potrzebny jest ekstremalny (na ogół najmniejszy) czas.

Zasada ta umożliwia na przykład sformułowanie praw odbicia i załamania fal poprzez znalezienie warunków minimalnego czasu na pokonanie drogi pomiędzy dwoma zadanymi punktami.

Zasada Fermata jest szczególnym przypadkiem tzw. zasady wariacyjnej, według której dla rozwiązania danego zagadnienia poszukuje się takiej funkcji, dla której określona całka przyjmuje wartość ekstremalną. W naszych przykładach całką tą będzie sumaryczny czas. Zasada ta umożliwia rozwiązywanie wielu problemów nie tylko z dziedziny fizyki.


Grafika:PF_M15_Slajd22.png Warunki geometryczne dla odbicia promieni świetlnych od granicy dwóch ośrodków pokazane są na rysunku. "Próbny" promień pokazany jest kolorem czerwonym. Ośrodek jest wciąż ten sam, więc światło porusza się cały czas z tą samą prędkością. Minimum czasu odpowiada więc najkrótszej drodze. Długość drogi pomiędzy punktami A\, i B\,, określonej tak, że promień świetlny musi w jakimś punkcie odbić się od zwierciadła Z\,, może być zapisana w postaci: s=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(d-x)^2}. Poszukujemy takiej wartości x\,, dla której droga s\, mieć będzie wartość minimalną. W tym celu obliczamy pochodną ds/dx i przyrównujemy ją do zera. Otrzymujemy: \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}, czyli sin\alpha_1=sin\alpha_2. Oznacza to, że kąt odbicia równy jest kątowi padania. Oba promienie padający i odbity oraz normalna leżą w jednej płaszczyźnie. Światło pobiegnie więc od punktu A\, do punktu B\, po takiej drodze, by spełniony był warunek minimalnego czasu, a wiec nie po drodze APB\,, ale AP'B\,.

Grafika:PF_M15_Slajd23.png Dla zjawiska odbicia mogliśmy zasadę najkrótszego czasu zastąpić zasadą najkrótszej drogi, bo prędkość światła przez cały czas była jednakowa. Inaczej jest, gdy światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków i jego prędkość zmienia się. Analogiczna sytuacja jest wtedy, gdy ratownik musi w najkrótszym czasie dotrzeć do wzywającego pomocy. Bez obliczania całek wybierze on taką drogę, aby jej większa część przypadła na plażę, gdzie porusza się znacznie szybciej niż w wodzie.

Grafika:PF_M15_Slajd24.png Zastosujmy zasadę Fermata do zjawiska załamania fali na granicy dwóch ośrodków o współczynnikach załamania n_1\, i n_2\,. Relacje geometryczne przedstawia rysunek. Pamiętając, że współczynnik załamania jest stosunkiem prędkości światła w próżni do prędkości w danym ośrodku n=\frac{c}{v}, otrzymujemy wyrażenie na czas przebycia przez światło drogi od A\, do B\,: t=\frac{n_1 l_1+n_2 l_2}{c}. Wielkość l=n_1 l_1+n_2 l_2 nosi nazwę drogi optycznej. Poszukujemy więc takiej wartości x\,, przy ustalonych położeniach punktów A\, i B\,, by droga optyczna była minimalna. W tym celu obliczamy pochodną wyrażenia, w którym drogę optyczną określamy w funkcji x\,: l=n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(c-x)^2}. Po przyrównaniu pochodnej dl/dx\, do zera otrzymujemy: n_1\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=n_2\cdot\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}, czyli znane prawo załamania: n_1 sin\alpha_1=n_2 sin\alpha_2.

Grafika:PF_M15_Slajd25.png Polaryzacja fali

W świetle naturalnym, czyli emitowanym przez naturalne źródła takie jak żarówka lub słońce, wektor drga we wszystkich możliwych kierunkach prostopadłych do promienia. Na promieniowanie ciała świecącego składają się fale emitowane przez poszczególne atomy. Ponieważ emisja atomów odbywa się niezależnie od siebie, płaszczyzna drgań wektora \overrightarrow{E}\, zorientowana zupełnie przypadkowo. W fali wypadkowej drgania o różnych kierunkach występują z jednakowym prawdopodobieństwem. Taką falę nazywamy falą niespolaryzowaną. Jeśli kierunki drgań wektora \overrightarrow{E}\, są w jakiś sposób uporządkowane, falę nazywamy spolaryzowaną. Polaryzacja może być liniowa, gdy drgania zachodzą tylko w jednej przechodzącej przez promień płaszczyźnie. Kiedy z zachowaniem wzajemnych relacji kierunkowych, układ wektorów \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\, wykonuje obrót wokół kierunku propagacji, to mówimy, że fala jest spolaryzowana kołowo. W zależności od kierunku tego obrotu fala może być spolaryzowana prawo- lub lewoskrętnie. W przypadku fali spolaryzowanej kołowo składowe Y\, i Z\, wektorów \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\, będą różne w różnych punktach na osi X\,, przy zachowaniu bezwzględnych ich wartości. Kiedy bezwzględne wartości zmieniają się, mówimy o polaryzacji eliptycznej.


Grafika:PF_M15_Slajd26.png Czy można "spolaryzować" światło? Gdybyśmy umieli z przypadkowo zorientowanych ciągów falowych wydzielić tylko takie, które mają zadaną stałą płaszczyznę drgań wektora elektrycznego, to moglibyśmy otrzymać światło spolaryzowane. Intuicja podpowiada nam, że w tym celu musimy światło skierować na obiekt mający własności kierunkowe w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali świetlnej. Sposobów uzyskania światła spolaryzowanego jest wiele i omówimy tu niektóre z nich.

Polaroid - to płytka lub błona, w której cząsteczki ułożone są tak, że tworzą strukturę łańcuchową, która po zabiegach mechanicznych i chemicznych, przepuszcza jedynie składową wektora \overrightarrow{E}\, równoległą do wyróżnionego kierunku w płytce. Kiedy drugą taką płytkę będziemy obracać wokół osi równoległej do kierunku padania światła zauważymy, że światło zostało spolaryzowane, bo natężenie światła przepuszczonego będzie się zmieniać. Kiedy płytki ustawimy tak, że ich kierunki polaryzacji będą się krzyżować pod kątem prostym uzyskamy wygaszenie fal, kiedy kierunki te będą równoległe, uzyskamy maksymalne przepuszczanie światła. Oznacza to, że w pierwszej płytce światło zostało liniowo spolaryzowane.

Przy kątach pośrednich natężenie przechodzącego światła będzie się zmieniać zgodnie z tzw. prawem Malusa. Sens tego prawa wyjaśnia schemat pokazany na rysunku. Jeśli czerwona strzałka pokazuje kierunek drgań wektora pola elektrycznego po przejściu światła przez polaryzator, to przy ustawieniu analizatora zgodnie ze strzałką fioletową składowa drgań po przejściu przez niego będzie E_0 cos\alpha\,. Natężenie promieniowania proporcjonalne jest do kwadratu amplitudy drgań, więc zależność natężenia (intensywności) promieniowania od kąta może być wyrażona w postaci l=l_0 cos^2 \alpha.


Grafika:PF_M15_Slajd27.png Kiedy nie spolaryzowane światło pada na granicę dwóch ośrodków to światło odbite wykazuje pewien stan polaryzacji. Całkowita polaryzacja jest wtedy, kiedy kąt pomiędzy wiązką odbitą i załamaną jest kątem prostym. Kąt padania \alpha\,, dla którego warunek ten jest spełniony nosi nazwę kąta Brewstera. Światło załamane jest spolaryzowane w dużym stopniu w kierunku prostopadłym do kierunku polaryzacji światła odbitego. Jednak nawet przy kącie padania równym kątowi Brewstera światło to nie jest spolaryzowane całkowicie. Kiedy kąt padania równy jest kątowi Brewstera, to wykorzystując prawo załamania Sneliusa otrzymujemy: tg\alpha_B=n_{21}. Wielkość n_{21}\, określa współczynnik załamania ośrodka drugiego względem pierwszego. Określenie kąta Brewstera umożliwia znalezienie warunków, w jakich następuje całkowita polaryzacja promienia odbitego.

Grafika:PF_M15_Slajd28.png Podwójne załamanie lub dwójłomność, to rozdzielenie światła padającego na kryształ o strukturze nieregularnej na dwa promienie rozchodzące się z różnymi prędkościami. Kryształy dwójłomne dzielą się na jedno- i dwuosiowe. W kryształach jednoosiowych jeden promień podlega znanemu nam prawu załamania. Promień ten nazywamy promieniem zwyczajnym. Drugi promień nie zachowuje stałego stosunku sinusów kąta padania i załamania, kiedy zmienia się kąt padania. Nawet kiedy światło pada prostopadle do powierzchni kryształu następuje odchylenie tego promienia, który w związku ze swymi własnościami nazywamy promieniem nadzwyczajnym. W kryształach jednoosiowych istnieje jednak kierunek, wzdłuż którego oba promienie poruszają się z jednakową prędkością. Kierunek taki nazywamy osią optyczną kryształu. (W kryształach dwuosiowych istnieją dwa takie kierunki.) Promienie: zwyczajny i nadzwyczajny spolaryzowane są w płaszczyznach do siebie prostopadłych. Istnieją kryształy, w których jeden z promieni pochłaniany jest silniej niż drugi. Zjawisko to zwane dichroizmem wykorzystywane jest w konstrukcji przyrządów polaryzacyjnych.

Wyjaśnienie natury dwójłomności, która pozwala nam uzyskać światło spolaryzowane, wiąże się z własnościami kryształów dwójłomnych, w których przenikalność elektryczna zależna jest od kierunku. Jak wiemy, wartość przenikalności elektrycznej określa współczynnik załamania (n \approx \sqrt{\varepsilon}), a co za tym idzie - prędkość światła w danym kierunku.

Istnieją też substancje, zwane optycznie czynnymi, mające zdolność skręcania płaszczyzny polaryzacji światła spolaryzowanego, które przez nie przechodzi. W kryształach skręcenie jest najsilniejsze, gdy światło biegnie wzdłuż osi optycznej kryształu. Kąt skręcenia zwiększa się proporcjonalnie do drogi, jaką światło przebywa w krysztale. Współczynnik tej proporcjonalności nazywa się stałą skręcenia. W roztworach kąt skręcenia proporcjonalny jest też do koncentracji substancji czynnej. W tym przypadku współczynnik proporcjonalności nazywa się zdolnością skręcającą.


Podsumowanie

Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} opisujące falę elektromagnetyczną rozchodzącą się z prędkością światła: c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną, w której drgania wzajemnie prostopadłych wektorów \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{B}\, zachodzą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Rodzaje fal elektromagnetycznych różnią się długością fali. Zaczynając od fal o największej długości są to: fale radiowe, mikrofale, promieniowanie podczerwone, światło widzialne, promieniowanie nadfioletowe, promieniowanie rentgenowskie i promieniowanie \gamma\,. Całkowita energia fali elektromagnetycznej zmagazynowana w jednostce objętości jest sumą energii pola elektrycznego i pola magnetycznego i wynosi w=\varepsilon_0 E^2. Wektor Poyntinga to wektor, którego wartość określa energię przenoszoną przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu, a kierunek wskazuje kierunek przenoszenia tej energii. Wyraża się on wzorem: \overrightarrow{P}=\frac{1}{\mu_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}.

Z równań Maxwella wynika, że prędkość światła w ośrodku materialnym jest \sqrt{\varepsilon \mu}\, razy mniejsza niż prędkość światła w próżni (\varepsilon\, i \mu\, to względna przenikalność elektryczna i magnetyczna ośrodka). Optyka geometryczna opiera się na dwóch prawach: prawu odbicia i prawu załamania światła. Prawo odbicia mówi, że kąty padania i odbicia są sobie równe, natomiast prawo załamania, zwane też prawem Sneliusa brzmi: stosunek kątów padania i załamania jest stały i równy odwrotności stosunku współczynników załamania \frac{sin\alpha_1}{sin\alpha2}=\frac{n_2}{n_1}.

Oba te prawa wynikają z ogólniejszych zasad rządzących propagacją światła: zasady Huyghensa (każdy punkt w przestrzeni, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej fali kulistej) oraz zasady Fermata (światło biegnie po takiej drodze, na pokonanie której potrzebny jest ekstremalny czas).

Światło o uporządkowanych kierunkach drgań wektora \overrightarrow{E}\, nazywamy światłem spolaryzowanym. Polaryzacja może być liniowa, kołowa lub eliptyczna. Polaryzację światła można uzyskać odbijając je od granicy ośrodków pod kątem Brewstera lub przepuszczając przez polaryzator. Zjawisko dwójłomności to rozdzielenie światła padającego na kryształ o strukturze nieregularnej na dwa promienie rozchodzące się z różnymi prędkościami. Promienie te są spolaryzowane w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych.


Materiały do ćwiczeń

Zadanie 1

Obwód LC zawiera pojemność C = 9 pF\, i indukcyjność L = 4 \mu H\,. Do jakiego zakresu fal elektromagnetycznych zaliczymy fale generowane w tym obwodzie?


Rozwiązanie

Okres drgań w obwodzie LC wyraża się wzorem: T=2\pi \sqrt{LC}. Taki sam będzie okres generowanej fali, więc długość fali: \lambda=cT=2\pi c \sqrt{LC}. Wartość liczbowa:

\lambda=2\cdot 3,14\cdot 3\cdot 10^8 \sqrt{9\cdot 10^{-12}\cdot 4\cdot 10^{-6}}m=113\cdot 10^{-1}m=11,3m. Fala o długości 11,3 m należy do fal radiowych.



Zadanie 2

Na głębokości h = 2 m pod punktem P na powierzchni wody znajduje się płetwonurek o bardzo złych zamiarach. Zbliża się do niego James Bond na swojej bezszelestnej lodzi. Na jaką odległość może podpłynąć do punktu P, aby złowieszczy płetwonurek go nie zauważył? Współczynnik załamania wody n =1,33.


Rozwiązanie

Płetwonurek może zobaczyć przedmioty na powierzchni znajdujące się wewnątrz okręgu o promieniu r\,, wyznaczonym przez kąt graniczny (rysunek). Jeśli spojrzy pod kątem większym niż \alpha_{gr}\,, to zobaczy obraz dna w świetle odbitym od powierzchni wody. Z trójkąta APB\, mamy: r=htg\alpha_{gr}. Warunek na kąt graniczny:

\frac{sin90^\circ}{sin\alpha_{gr}}=n, stąd sin\alpha_{gr}=\frac{1}{n}
Grafika:PF1_M15_Wzor1.jpg

Odp. James Bond nie powinien zaleźć się bliżej niż 2,28 m od punktu P.

Grafika:PF1_M15_Rys1.png


Zadanie 3

Ryba znajduje się w punkcie P na głębokości h = 1,5 m. Na jakiej głębokości h'\, widzi ją wędkarz, który spogląda pod kątem 45^\circ\, ? Współczynnik załamania wody n = 1,33.


Rozwiązanie

Wędkarz widzi rybę na przedłużeniu promienia załamanego, w punkcie P'\, (rysunek). Z trójkąta AOP mamy: \frac{AO}{h}=tg\beta, a z trójkąta AOP'\,: \frac{AO}{h'}=tg\alpha. Dzieląc stronami równania otrzymujemy: \frac{h'}{h}=\frac{tg\beta}{tg\alpha}, czyli h'=h\frac{sin\beta}{sin\alpha}\cdot \frac{cos\alpha}{cos\beta}=h\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{cos\alpha}{cos\beta}. Korzystamy ze wzoru trygonometrycznego: cos\beta=\sqrt{1-sin^2 \beta}, z prawa załamania: sin\beta=\frac{sin\alpha}{n}.

Grafika:PF1_M15_Wzor2.jpg

Z warunków zadania: \alpha=45^\circ\, ,sin45^\circ =cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}

Grafika:PF1_M15_Rys2.png

Odp. Wędkarz widzi rybę na głębokości 94 cm.


Zadanie 4

Dwa polaryzatory ustawione są tak, że płaszczyzny, w których polaryzują światło, są nierównoległe. Każdy z polaryzatorów oprócz polaryzowania światła pochłania p = 5\%\, promieniowania padającego. Na polaryzator pierwszy pada wiązka światła spolaryzowanego liniowo tak, że kąt między płaszczyzną polaryzacji światła a płaszczyzną polaryzatora wynosi \alpha =30^\circ\,. Natężenie tego światła jest równe I_0 = 6 mW/sr\,. Pod jakim kątem skrzyżowane są polaryzatory, jeśli po przejściu przez obydwa światło ma natężenie I_k = 1,015 mW/Sr ?


Rozwiązanie

Natężenie światła maleje na skutek czterech czynników:

  1. absorpcji w pierwszym polaryzatorze: I_1 = (1-p)I_0 ;
  2. przepuszczeniu światła spolaryzowanego przez pierwszy polaryzator, zgodnie z prawem Malusa: I_2=I_1 cos^2 \alpha ;
  3. absorpcji światła w drugim polaryzatorze: I_3 = (1-p)I_2 ;
  4. przepuszczeniu światła spolaryzowanego przez drugi polaryzator: I_4=I_3 cos^2 \beta, gdzie \beta\, to szukany kąt.

Pamiętając, że I_4 = I_k, otrzymujemy: I_k=I_0(1-p)^2cos^2\alpha cos^2 \beta , stąd: cos^2 \beta=\frac{I_k}{I_0 (1-p)^2 cos^2 \alpha}=0,25.

Odp. Płaszczyzny polaryzacji polaryzatorów ustawione są pod kątem \beta=60^\circ\,.


Zadanie 5

Pod jakim kątem w stosunku do horyzontu powinno znajdować się słońce, aby jego promienie odbite od gładkiej powierzchni jeziora były maksymalnie spolaryzowane. Współczynnik załamania światła w wodzie wynosi n =1,33.


Odpowiedź

\alpha=36^\circ 56'\,


Słowa kluczowe

fala elektromagnetyczna
wektor Poyntinga
widmo fal elektromagnetycznych
zasada Hyughensa
zasada Fermata
kąt padania
kąt odbicia
kąt załamania
droga optyczna
prawo Sneliusa
polaryzacja liniowa
polaryzacja kołowa
polaryzacja eliptyczna
kąt Brewstera
dwójłomność

Bibliografia

  1. J. Orear, Fizyka, WNT, Warszawa (1998);
  2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka 1, PWN, Warszawa (1994);
  3. I.W. Sawieliew, Wykłady z fizyki, PWN, Warszawa (1994).