PF Moduł 14

From Studia Informatyczne

Spis treści

Wykład

Enlarge

Enlarge
14.1 Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej odkryte przez Michaela Faradaya (1791-1867) polega na wzbudzaniu w zamkniętym obwodzie prądu indukcyjnego, pod wpływem zmian strumienia zewnętrznego pola magnetycznego. Bezpośrednią przyczyną przepływu prądu indukcyjnego jest powstająca w obwodzie siła elektromotoryczna E\,.

Reguła Lenza, określająca kierunek prądu indukcyjnego, wynika przede wszystkim z zasady zachowania energii. Przepływ prądu indukcyjnego jest oznaką, że w obwodzie pojawiła się energia. Zatem zmiana strumienia magnetycznego wymaga wykonania pracy przez siłę zewnętrzną, która tę zmianę wywołuje. Np. zbliżanie magnesu skierowanego biegunem N w stronę obwodu zwiększa strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię obwodu. Prąd indukcyjny popłynie w takim kierunku, żeby wytworzone przez niego pole magnetyczne odpychało zbliżający się magnes, a więc przed obwodem musi powstać biegun N.

Reguła Lenza wynika również z bardzo ogólnej reguły przekory (Le Chatelier i Braun), która głosi, że układy fizyczne zachowują się przekornie. Układ fizyczny znajdujący się w stanie równowagii poddany działaniu czynnika zewnętrznego reaguje tak, żeby zmniejszyć wpływ tego czynnika ii osiągnać nowy stan równowagi możliwie niezbyt odległy od stanu równowagi wyjściowej. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest jednym z wielu zjawisk fizycznych, których przebieg wynika z reguły przekory.


Enlarge
14.2 Zjawisko samoindukcji

Jeśli natężenie prądu płynącego w zwojnicy zmienia się w czasie I(t)\, , to funkcją czasu jest również wektor indukcji pola magnetycznego wytwarzanego przez ten prąd wewnątrz zwojnicy B(t)\, oraz wartość strumienia magnetycznego przez powierzchnię każdego zwoju \Phi_B\, , a więc w zwojach powstają jednakowe i zgodne siły elektromotoryczne o wartości

\displaystyle E_z=-\frac{d\Phi_B}{dt}

Zatem całkowita siła elektromotoryczna powstająca w zwojnicy jest równa

E=-NE_z

Po podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy wzór, z którego wynika zależność wartości siły elektromotorycznej samoindukcji od szybkości zmiany natężenia prądu, oraz od indukcyjności zwojnicy L\,, czyli współczynnika zależnego od parametrów zwojnicy, określającego zdolność zwojnicy do wytwarzania siły elektromotorycznej samoindukcji. Dużą wartość L\, można uzyskać dla zwojnicy o dużej liczbie zwojów, z rdzeniem ferromagnetycznym (duża wartość \mu_r\,).

Zjawisko samoindukcji może zachodzić w każdym obwodzie, w którym płynie prąd o zmieniającym się w czasie natężeniu. Indukcyjność L\, obwodu zależy od kształtu i rozmiarów obwodu oraz od obecności materiału ferromagnetycznego.


Enlarge
14.3 Energia pola magnetycznego

W chwili t_0 = 0 zamykamy klucz i w obwodzie RL zaczyna płynąć prąd o rosnącym natężeniu, spełniającym równanie, wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa, którego rozwiązaniem jest funkcja I(t)\, , gdzie \tau\, jest stałą czasową procesu narastania natężenia prądu od zera do wartości wynikającej z prawa Ohma.

Pomnóżmy równanie opisujące przepływ prądu w obwodzie przez I\,

\displaystyle U_0I=LI\frac{dI}{dt}+RI^2

Iloczyn natężenia prądu i napięcia źródła U_0I=P to moc źródła

Składnik RI^2=P_R to moc w oporniku.

Zatem wyrażenie \displaystyle LI\frac{dI}{dt}=P_B=\frac{dW_B}{dt} to moc w zwojnicy, czyli szybkość zmiany energii pola magnetycznego we wnętrzu zwojnicy.

Po scałkowaniu otrzymujemy wzór określający energię pola magnetycznego W_B\, wewnątrz zwojnicy

Wykorzystując wzory

\displaystyle L=\frac{\mu_0 \mu_r N^2 S}{l}
\displaystyle B=\frac{\mu_0 \mu_r N}{l}I

otrzymamy zależność energii pola magnetycznego od wartości wektora indukcji magnetycznej gdzie V\, jest objętością, oraz wzór określający przestrzenną gęstość energii pola magnetycznego


Enlarge
14.4 Elektromagnetyczne drgania swobodne

Modelowym układem fizycznym, w którym zachodzić mogą elektromagnetyczne drgania harmoniczne swobodne jest zamknięty obwód elektryczny o oporności równej zeru, zawierający zwojnicę o indukcyjności L\, i kondensator o pojemności C\,.

W obwodzie przedstawionym na rysunku kondensator został naładowany ładunkiem q_0\,. Gdy w chwili t=0 zamkniemy obwód, to kondensator zacznie się rozładowywać i zmieniający się prąd rozładowania spowoduje powstanie w zwojnicy siły elektromotorycznej samoindukcji. Stan fizyczny obwodu można opisać za pomocą II prawa Kirchhoffa.

Po podstawieniach i przekształceniach otrzymujemy równanie elektromagnetycznego oscylatora harmonicznego swobodnego.

Rozwiązaniem tego równania, spełniającym warunki początkowe: q(0) = q_0 , I(0) = 0 jest funkcja q(t)\, , gdzie \omega_0\, - częstość drgań swobodnych , gdzie \omega_0 t\, - faza drgań, q(0)\, - amplituda drgań.

Mając funkcję q(t)\, można obliczyć napięcie na kondensatorze U_C(t)\,, natężenie prądu I(t)\, oraz napięcie na zwojnicy U_L(t)\,.

Warto zauważyć, że napięcia na kondensatorze i zwojnicy mają równe amplitudy i przeciwne fazy (przesunięcie fazowe wynosi -\pi\,), zaś natężenie prądu jest przesunięte w fazie o -\pi/2\,.

Z powyższej analizy wynika, że po dostarczeniu do obwodu LC porcji energii (naładowanie kondensatora) i braku dalszej ingerencji zewnętrznej, zachodzą w nim drgania harmoniczne swobodne - wielkości opisujące stan układu są funkcjami harmonicznymi. Porównanie z mechanicznym oscylatorem harmonicznym swobodnym (np. klocek o masie m zaczepiony do sprężyny o współczynniku sprężystości k) pokazuje, że ładunek na kondensatorze jest wielkością analogiczną do wychylenia z położenia równowagi a natężenie prądu do prędkości. Pełne zestawienie analogii między drganiami elektromagnetycznymi i drganiami mechanicznymi przedstawiono w tabeli nr 14.1.

Okres T_0=2\pi/{\omega} i częstotliwość drgań swobodnych \nu_0=1/T_0 (inaczej drgań własnych) obwodu LC zależą od pojemności i indukcyjności obwodu.

Przejdźmy teraz do rozważań energetycznych. Iloczyn napięcia i natężenia prądu jest równy mocy, a zatem możemy obliczyć moc P_E\, i energię W_E\, pola elektrycznego w kondensatorze

\displaystyle P_E=\frac{W_E}{dt}=U_C I=\frac{q}{C}\cdot I
\displaystyle W_E=\int \frac{q}{C}dq=\frac{1}{2C}\cdot q^2=\frac{1}{2C}\cdot q_{0}^2cos^2\omega_0 t

oraz moc P_B\, i energię W_B\, pola magnetycznego w zwojnicy

\displaystyle P_B=\frac{W_B}{dt}=U_L I=L\frac{dI}{dt}\cdot I
\displaystyle W_B=\int LIdI=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2C}\cdot q_{0}^2sin^2\omega_0 t

Jak widać energie pól w kondensatorze i w zwojnicy mają takie same amplitudy, ale są przesunięte w fazie o \pi/2\,. Całkowita energia układu drgającego będąca sumą energii pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w zwojnicy

Z powyższych rozważań wynika, że elektromagnetyczne drgania swobodne w obwodzie LC można traktować jak okresowe przemiany energii pola elektrycznego w kondensatorze w energię pola magnetycznego w zwojnicy i na odwrót. Okres tych przemian jest równy połowie okresu drgań własnych czyli okresu zmienności napięć na kondensatorze i zwojnicy oraz natężenia prądu. W rzeczywistych obwodach elektrycznych występuje zawsze niezerowy opór elektryczny, a więc wydziela się energia cieplna. W takim przypadku energia układu drgającego maleje i po pewnym czasie drgania zanikają.


Enlarge
Enlarge
14.5 Elektromagnetyczne drgania tłumione

Drgania harmoniczne tłumione mogą zachodzić w obwodach elektrycznych zawierających elementy R, L, C\,.

Załóżmy, że naładowany kondensator o pojemności C\, zaczyna się rozładowywać przez opór R\, i zwojnicę o indukcyjności L\,. Zgodnie z drugim prawem Kirchoffa suma zmian potencjału na drodze zamkniętej jest równa zeru

Po podstawieniach i przekształceniach otrzymamy równanie elektromagnetycznego oscylatora harmonicznego tłumionego, w którym oprócz częstości drgań swobodnych \omega_0\, pojawia się współczynnik tłumienia \beta\,.

Gdy spełniony jest warunek \beta <\omega_0\, to rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja “okresowa” q(t)\,, zatem w obwodzie zachodzić będą drgania tłumione z częstością \omega_0\,.

Na rysunku przedstawiono porównanie drgań swobodnych i tłumionych, dla kilku wartości współczynnika tłumienia. Warto zauważyć, że szybkość zaniku amplitudy drgań silnie zależy od współczynnika tłumienia \beta\,. Natomiast istotny wpływ na częstość drgań tłumionych pojawia się dopiero dla wartości współczynnika tłumienia \beta\, bliskich wartości granicznej, czyli \omega_0\,.

Podstawowe różnice między drganiami tłumionymi i drganiami swobdnymi:

  • amplituda drgań maleje eksponencjalnie z upływem czasu,
  • częstość drgań tłumionych jest mniejsza od częstości drgań swobodnych,
  • całkowita energia oscylatora maleje z upływem czasu

Gdy spełniony jest warunek \beta \ge \omega_0\, rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja aperiodyczna. Rozładowanie kondensatora jest eksponencjalne i jednorazowe.


Enlarge
Enlarge
14.6 Elektromagnetyczne drgania wymuszone

Elektromagnetyczne drgania wymuszone można zaobserować w obwodzie RLC (zawierającym zwojnicę o indukcyjności L\,, kondensator o pojemności C\, oraz opornik o oporności R\,) do którego dołączone zostało źródło napięcia sinusoidalnego.

Stan fizyczny tego układu opisuje w dowolnej chwili II prawo Kirchhoffa. Po podstawieniach i przekształceniach , otrzymujemy równanie elektromagnetycznych drgań wymuszonych. W równaniu tym bezpośrednie parametry układu fizycznego jakimi są w przypadku obwodu RLC: indukcyjność L\,, pojemność C\, i oporność R\, zostały zastąpione przez uniwersalne parametry występujące w opisie drgań harmonicznych dowolnego układu fizycznego (np. oscylator harmoniczny mechaniczny), a mianowicie przez częstość drgań własnych \omega_0\, i współczynnik tłumienia \beta\,.

Ponieważ napięcie wymuszające jest sinusoidalną funkcją czasu, to rozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji również sinusoidalnej, a zatem przewidujemy, że ładunek na kondensatorze będzie się zmieniać z częstością taką jak częstość napięcia wymuszającego oraz, że będzie przesunięty w fazie o \varphi\, względem tego napięcia. Po podstawieniu przewidywanej funkcji q(t)\, do równania i zażądaniu aby równanie to stało się tożsamością (funkcja q(t)\, musi spełniać to równanie w każdej chwili czasu) otrzymamy wzory określające amplitudę ładunku q_0\, i przesunięcie fazowe \varphi\, .

Przy ustalonych parametrach układu R, L, C\, (a więc również \omega_0\, i \beta\,) amplituda ładunku oraz przesunięcie fazowe są funkcjami częstości \omega\, napięcia wymuszającego. Po przeprowadzeniu badania funkcji q(0)(\omega)\, można stwierdzić, że amplituda ładunku na kondensatorze osiąga wartość maksymalną dla częstości wymuszania \omega_r\, , gdy współczynnik tłumienia jest mniejszy od wartości granicznej (\beta <\beta_g) .

Zjawisko wymuszania drgań z taką częstością przy której amplituda drgań osiąga wartość maksymalną nazywamy rezonansem. Rezonans w obwodzie RLC zachodzi przy częstości wymuszania \omega_r\, zwanej częstością rezonansową, gdy współczynnik tłumienia \beta\, jest mniejszy od wartości granicznej \beta_g\,. Gdy tłumienie jest większe (\beta >\beta_g) układu RLC nie udaje się wprowadzić w stan rezonansu.

Amplitudę drgań i przesunięcie fazowe w stanie rezonansu można wyrazić wzorami:

\displaystyle (q_0)_{max}=\frac{U_0/L}{2\beta \sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}}
\displaystyle \varphi_r=arctg\frac{\sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}}{\beta}

Szczególny przypadek rezonansu występuje w przypadku gdy współczynnik tłumienia \beta = 0. Dla takiego układu rezonans zachodzi przy częstości wymuszania równej częstości drgań własnych \omega_r=\omega_0 i objawia się wzrostem amplitudy do nieskończoności oraz przesunięciem fazowym \omega_r=\pi/2. W takiej sytuacji dochodzi przeważnie do zniszczenia układu drgającego zanim amplituda drgań osiągnie wartość nieskończoną.

Graniczne wartości amplitudy drgań q_0\, i przesunięcia fazowego  dla częstości wymuszania dążącej do zera wynoszą:

\begin{matrix} \displaystyle \lim_{\omega \to 0}q_0=U_0 C & \displaystyle \lim_{\omega \to 0}\varphi=0 \end{matrix}

Dla częstości znacznie przekraczających częstość własną, wartości graniczne amplitudy drgań i przesunięcia fazowego wynoszą:

\begin{matrix} \displaystyle \lim_{\omega \to \infty}q_0=0 & \displaystyle \lim_{\omega \to \infty}\varphi=0 \end{matrix}

Warto jeszcze zaznaczyć, że niezależnie od wartości współczynnika tłumienia, przesunięcie fazowe \varphi\, osiąga wartość \pi/2\, przy częstości wymuszania \omega\, równej częstości drgań własnych układu \omega_0\,.

Wzory opisujące drgania wymuszone i rezonans można zapisać w uniwersalnej postaci bezwymiarowej, słusznej zarówno dla drgań elektromagnetycznych, jak i dla drgań mechanicznych. W tym celu wprowadza się tzw. parametry zredukowane:

zredukowany współczynnik tłumienia \displaystyle u=\frac{\beta}{\omega_0}

zredukowana częstość drgań \displaystyle w=\frac{\omega}{\omega_0}

zredukowana amplituda drgań wymuszonych \displaystyle X=\frac{q_0(\omega)}{q_0(\omega \to 0)}=\frac{q_0(\omega)}{U_0 C}

Po zastosowaniu powyższych podstawień wzory określające: amplitudę drgań i przesunięcie fazowe dla dowolnej częstości wymuszania, częstość rezonansową oraz amplitudę drgań i przesunięcie fazowe w stanie rezonansu przyjmą postać:

\begin{matrix} \displaystyle X=\frac{1}{\sqrt{(1-w^2)^2}+4u^2w^2} & \displaystyle \varphi=arctg\frac{2uw}{1-w^2} \end{matrix}

\displaystyle w_r=\sqrt{1-2u^2}

Na slajdzie przedstawiono wykresy zależności zredukowanej amplitudy drgań X\, od zredukowanej częstości drgań w dla kilku wartości zredukowanego współczynnika tłumienia u\,. W miarę wzrostu współczynnika tłumienia rezonans pojawia się dla częstości coraz mniejszych i wartość amplitudy drgań w stanie rezonansu jest coraz mniejsza. Po przekroczeniu granicznej wartości współczynnika tłumienia rezonans nie pojawia się (krzywa X(w)\, nie posiada maksimum).

Znając funkcję q(t)\, można wyznaczyć pozostałe funkcje opisujące stan fizyczny układu drgającego: napięcie na kondensatorze, natężenie prądu, napięcie na oporniku oraz napięcie na zwojnicy (p. Przykład 14.2).

Niezależność amplitud ładunku i natężenia prądu oraz przesunięć fazowych względem napięcia wymuszającego oznacza, że zachodzą tzw. drgania ustalone. Układ fizyczny dopasowuje się do czynnika wymuszającego. Można łatwo wykazać, że podczas drgań ustalonych szybkość dostarczania energii przez źródło napięcia wymuszającego zrównuje się z szybkością strat energii na pracę prądu w oporniku i suma średniej energii pola elektrycznego w kondensatorze i średniej energii pola magnetycznego w zwojnicy jest stała (dla danej częstości wymuszania).


Enlarge
Enlarge
14.7 Równania Maxwella w postaci całkowej

Równania i prawa Maxwella powstały w roku 1864 przez modyfikacje i uogólnienia praw opisujących wyniki obserwacji doświadczalnych zjawisk elektromagnetycznych.

  • Prawo Gaussa dla pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki elektryczne

Całkowity strumień wektora indukcji pola elektrycznego przez zamknietą powierzchnię jest równy ładunkowi zawartemu w otoczonej przez tę powierzchnię objętości. Pole elektryczne jest polem źródłowym - źródłem pola elektrycznego jest ładunek elektryczny.

Ze wzoru wyrażającego w postaci całkowej związek między natężeniem pola i potencjałem wynika, że w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunki \displaystyle \oint_{L} \overrightarrow{E}\ d\overrightarrow{l}=0 , a więc pole wytworzone przez ładunki jest polem bezwirowym (linie sił pola mają początek i koniec).

  • Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
\displaystyle \oint_{S} \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}=0

Całkowity strumień wektora indukcji pola magnetycznego przez zamknietą powierzchnię jest równy zeru. Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym. Nie istnieją monopole magnetyczne.

  • I prawo Maxwella (uogólnione prawo Faradaya) - wirowe pole elektryczne

Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż zamkniętej krzywej L\, jest równa szybkości zmiany (ze znakiem ujemnym) strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przez powierzchnię S\,, ograniczoną przez krzywą L\,. Wir pola elektrycznego jest powiązany z wektorową zmianą pola magnetycznego za pomocą reguły śruby prawoskrętnej, z uwzględnieniem znaku minus po prawej stronie równania.

Wskutek zmiany strumienia pola magnetycznego powstaje wirowe pole elektryczne (linie sił pola są krzywymi zamkniętymi). Takie pole elektryczne jest polem bezźródłowym, tzn. w takim polu strumień wektora indukcji elektrycznej przez zamknietą powierzchnię jest równy zeru \displaystyle \oint_{S} \overrightarrow{D}\ d\overrightarrow{S}=0.

  • II prawo Maxwella (uogólnione prawo Ampere’a) - wirowe pole magnetyczne

Cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego wzdłuż zamkniętej krzywej L\, jest równa sumie natężenia prądu przepływającego przez powierzchnię S\,, ograniczoną przez krzywą L\, oraz szybkości zmiany strumienia wektora indukcji pola elektrycznego przez powierzchnię S\,, ograniczoną przez tę krzywą, czyli natężenia tzw. prądu przesunięcia.

\displaystyle \oint_{L} \overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{S} \overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{S}\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}

Wir pola magnetycznego jest powiązany z wektorem gęstości prądu oraz z wektorową zmianą pola elektrycznego za pomocą reguły śruby prawoskrętnej.

Wskutek przepływu prądu elektrycznego i/lub zmiany strumienia pola elektrycznego powstaje wirowe pole magnetyczne (linie wektora indukcji magnetycznej są krzywymi zamkniętymi).

Uzupełnieniem czterech zasadniczych równań Maxwella są tzw. równania materiałowe, czyli związki między wektorami opisującymi pole elektryczne, pole magnetyczne oraz przepływ prądu elektrycznego. W równaniach tych pojawiają się parametry elektryczne i magnetyczne ośrodka: względna przenikalność elektryczna \varepsilon_r\, i względna przenikalność magnetyczna \mu_r\, oraz przewodnictwo właściwe \sigma\, .

Do opisu pola elektryczego i magnetycznego używane są cztery wektory \overrightarrow{E}, \overrightarrow{D}, \overrightarrow{H}, \overrightarrow{B}\, i ich strumienie. Zatem równania Maxwella można zapisać na różne sposoby. Odpowiedni dobór tych wielkosci fizycznych pozwala na taki zapis tych równań, który podkreśla ich podobieństwa i różnice oraz prostotę i piękno. Dotyczy to zarówno przedstawionych powyżej równań w postaci całkowej (która jest nieco bliższa doświadczeniu i naszej intuicji), jak również przedstawionej poniżej postaci różniczkowej tych równań (która jest nieco bardziej abstrakcyjna, ale ma również istotne zalety).

Bardzo ważną konsekwencją równań Maxwella jest istnienie fali elektromagnetycznej, której równanie zostanie wyprowadzone z różniczkowej postaci tych równań w Wykładzie 15.


Enlarge
14.8 Operatory różniczkowe

Kartezjański układ wspórzędnych w przestrzeni trójwymiarowej

Pole wektorowe - każdemu punktowi przestrzeni jest przyporządkowany wektor \displaystyle \overrightarrow{a}=[a_x, a_y, a_z]

Pole skalarne - każdemu punktowi przestrzeni jest przyporządkowana skalarna funkcja \displaystyle f(x,y,z)

  • operator nabla \displaystyle \nabla=\left[\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right]
  • gradient pola skalarnego \displaystyle \nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right]\equiv grad\, f
operator nabla działa na funkcję skalarną
  • dywergencja pola wektorowego \displaystyle \nabla \overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+ \frac{\partial a_y}{\partial y}+ \frac{\partial a_z}{\partial z}\equiv div\, \overrightarrow{a}
iloczyn skalarny operatora nabla i wektora
  • rotacja pola wektorowego \displaystyle \nabla \times \overrightarrow{a}=\left[\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z},\, \frac{\partial a_x}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial x},\, \frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y}\right]\equiv div\, \overrightarrow{a}
iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora
  • laplasjan \displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}
iloczyn skalarny operatorów nabla
  • twierdzenie dla gradientów \displaystyle \int_{P_1}^{P_2} (\nabla f)\cdot d\overrightarrow{l}=f(P_1)-f(P_2)
  • twierdzenie Gaussa (dla dywergencji) \displaystyle \int_{S} \overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{S}=\int_{V} (\nabla \overrightarrow{a})dV=\int_{V} (div\, \overrightarrow{a})dV
  • twierdzenie Stokesa (dla rotacji) \displaystyle \int_{L} \overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{S} (\nabla \times \overrightarrow{a})d\overrightarrow{S}=\int_{S} (rot\, \overrightarrow{a})dS

Enlarge
14.9 Równania Maxwella w postaci różniczkowej

Za pomocą przedstawionych powyżej operatorów różniczkowych i twierdzeń można równania Maxwella przekształcić z postaci całkowej do postaci różniczkowej. Inetrpretacja fizyczna tych równań pozostaje bez zmian, zmienia się tylko forma matematyczna.


Materiały do ćwiczeń


Drgania harmoniczne


Indukcja elektromagnetyczna

Przykład 14.1

Przewodzący pręt o długości l\, wiruje z prędkością kątową \displaystyle \overrightarrow{\omega}=[0, \omega, 0] wokół osi OY prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec, w stałym, jednorodnym polu magnetycznym o wektorze indukcji \displaystyle \overrightarrow{B}=[0, 0, -B] .

Obliczyć wartość napięcia między końcami pręta i określić jego polaryzację.

Przyjąć, że l = 1m, \omega = 50s^{-1} , B = 1T\,.

Czy można tak dobrać wartość \omega\,, aby w układzie odniesienia związanym z prętem konkurencja między siłą bezwładności i siłą jaką na elektrony działa pole magnetyczne spowodowała, że napięcie między końcami pręta będzie równe zeru?


Rozwiązanie

Metoda 1

Na elektrony w poruszającym się pręcie pole magnetyczne działa siłą \displaystyle \overrightarrow{F}_m

\displaystyle \overrightarrow{F}_m=-e\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}
\displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{r}
\displaystyle \overrightarrow{F}_m=-e(\overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{r})\times\overrightarrow{B}=e\overrightarrow{B}\times(\overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{r})=
=e\left[\overrightarrow{\omega}(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{r})-\overrightarrow{r}(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{\omega})\right]=-eB\omega\overrightarrow{r}

która jest skierowana wzdłuż pręta w stronę punktu O. Wskutek przemieszczenia części elektronów w kierunku punktu O w pręcie powstaje pole elektryczne o natężeniu \displaystyle \overrightarrow{F}_e=-e\overrightarrow{E} , które na elektrony działa siłą

Przemieszczanie elektronów ustaje, gdy w pręcie zostanie wytworzone pole elektryczne o takim natężeniu, że siły te zrównają się

\begin{matrix} \displaystyle -eB\omega\overrightarrow{r}-e\overrightarrow{E}=0;  & \displaystyle \overrightarrow{E}=-B\omega\overrightarrow{r}; & \displaystyle E=-\frac{d\varphi}{dr} \end{matrix}

Znając natężenie pola elektrycznego możemy obliczyć różnicę potencjałów

\begin{matrix} \displaystyle d\varphi =-Edr;  & \displaystyle \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} d\varphi=\int_{0}^{l} B\omega rdr; & \displaystyle \varphi_1-\varphi_2=-\frac{1}{2}B\omega l^2; & \displaystyle \varphi(l)-\varphi(0)=\frac{1}{2}B\omega l^2 \end{matrix}

Potencjał końca pręta jest większy niż potencjał w punkcie O.


Metoda 2

Korzystając z prawa Faradaya można obliczyć siłę elektromotoryczną indukcji, a więc i różnicę potencjałów

\begin{matrix} \displaystyle dE=-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\frac{BdS}{dt}=-\frac{Bdrrd\alpha}{dt}=-B\omega rdr; & \displaystyle E=-\int_{0}^{l} B\omega rdr=-\frac{1}{2}B\omega l^2 \end{matrix}

W układzie odniesienia związanym z wirującym prętem (nieinercjalny układ odniesienia) na elektrony działa siła bezwładności, która stara się przesunąć elektrony w kierunku końca pręta

\displaystyle \overrightarrow{F}_b=m\omega^2 \overrightarrow{r}

Zrównanie się tej siły z siłą, jaką działa pole magnetyczne spowoduje, że napięcie między końcami pręta będzie równe zeru

\begin{matrix} \displaystyle \overrightarrow{F}_b=m\omega^2 \overrightarrow{r}-eB\omega\overrightarrow{r}=0; & \displaystyle \omega=-\frac{e}{m}B \end{matrix}

Jak widać może to nastąpić przy częstości równej częstości cyklotronowej dla elektronu w polu o danej wartości wektora indukcji, która w tym przypadku jest równa

\displaystyle \omega_c=1,76\cdot 10^{11}s^{-1}

Jak widać może to nastąpić przy częstości równej częstości cyklotronowej dla elektronu w polu o danej wartości wektora indukcji, która w tym przypadku jest równa

\displaystyle v_k=\omega l=1,76\cdot 10^{11}m/s>c

większą od prędkości światła w próżni, co jak wiadomo nie jest możliwe.


Drgania elektromagnetyczne

Przykład 14.2

Do obwodu o oporze R, indukcyjności L i pojemności C dołączono źródło napięcia \displaystyle U(t)=U_0 sin\omega t . Znaleźć zależność od czasu napięcia na kondensatorze, natężenia prądu, napięcia na oporniku oraz napięcia na zwojnicy.


Rozwiązanie

W obwodzie zachodzą drgania wymuszone. Znając funkcję q(t)\, można wyznaczyć pozostałe funkcje opisujące stan fizyczny układu drgającego.

Napięcie na kondensatorze

\displaystyle U_C(t)=\frac{q(t)}{C}=U(t)=U_{C0} sin(\omega t-\varphi)
\begin{matrix} \displaystyle U_{C0}=U_0\frac{\omega_{0}^2}{\sqrt{(\omega_{0}^2-\omega^2)^2}+4\beta^2\omega^2}; & \displaystyle \varphi=arctg\frac{2\beta \omega}{\omega_{0}^2-\omega^2} \end{matrix}

Zależność amplitudy napięcia na kondensatorze od częstości wymuszania jest oczywiście taka sama jak amplitudy ładunku. Napięcie na kondensatorze jest zgodne w fazie z ładunkiem, a więc \varphi\, określa również jego przesunięcie fazowe względem napięcia wymuszającego.

W stanie rezonansu, czyli dla częstości wymuszania równej \omega_r\,, amplituda napięcia na kondensatorze osiąga wartość maksymalną:

\begin{matrix} \displaystyle (U_{C0})_{max}=\frac{(q_0)_{max}}{C}=U_0\frac{\omega_{0}^2}{2\beta \sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}} & dla & \omega_r=\sqrt{\omega_{0}^2-2\beta^2}; & \left(\beta <\omega_0 \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{matrix}

a przesunięcie fazowe względem napięcia wymuszającego wynosi

\displaystyle \varphi_r=arctg\frac{\sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}}{\beta}=arctg\frac{\omega_r}{\beta}

Wartości graniczne: gdy częstość wymuszania dąży do zera, to amplituda napięcia na kondensatorze dąży do wartości U_0\, , zaś dla częstości znacznie większych od częstości własnej \omega_0\, dąży do zera. Przesunięcie fazowe zmienia się od zera dla bardzo małej częstości wymuszania do \pi\, dla częstości bardzo dużej.

Natężenie prądu

\displaystyle I(t)=\frac{dq}{dt}=I_0sin(\omega t -\varphi_R)
\begin{matrix} \displaystyle I_0=\frac{U_0}{L}\frac{\omega}{\sqrt{(\omega_{0}^2-\omega^2)^2}+4\beta^2\omega^2}; & \displaystyle \varphi_R=arctg\frac{\omega^2-\omega_{0}^2}{2\beta \omega} \end{matrix}

Przedstawione wzory pokazują, że faza natężenia prądu różni się od fazy ładunku i napięcia na kondensatorze, a amplituda natężenia prądu jest inną funkcją częstości wymuszania. Badając funkcję I_0(\omega)\, możemy stwierdzić, że osiąga ona wartość maksymalną dla częstości wymuszania równej częstości własnej układu, niezależnie od wartości współczynnika tłumienia:

\begin{matrix} \displaystyle (I_0)_{max}=\frac{U_0}{R} & i & \displaystyle \varphi_R=0 & dla & \omega=\omega_0 \end{matrix}

Napięcie na oporniku

\displaystyle U_R(t)=R\cdot I(t)=U_{R0}sin(\omega t -\varphi_R)
\begin{matrix} \displaystyle U_{R0}=R\cdot I_0=U_0\frac{2\beta\omega}{\sqrt{(\omega_{0}^2-\omega^2)^2}+4\beta^2\omega^2}; & \displaystyle \varphi_R=arctg\frac{\omega^2-\omega_{0}^2}{2\beta \omega} \end{matrix}

Zależność amplitudy napięcia na oporniku od częstości napięcia wymuszającego jest oczywiście taka sama jak dla amplitudy natężenia prądu. Amplituda napięcia na oporniku osiąga największą wartość

\begin{matrix} \displaystyle (U_{R0})_{max}=U_0 &  dla & \omega=\omega_0 \end{matrix}

Napięcie na oporniku jest wtedy zgodne w fazie z napięciem wymuszającym.

Napięcie na zwojnicy

\displaystyle U_L(t)=L\frac{dI}{dt}=U_{L0}sin(\omega t -\varphi_L)
\begin{matrix} \displaystyle U_{L0}=U_0\frac{\omega^2}{\sqrt{(\omega_{0}^2-\omega^2)^2}+4\beta^2\omega^2}; & \displaystyle \varphi_L=arctg\frac{2\beta \omega}{\omega_{0}^2-\omega^2}-\pi \end{matrix}

Badanie zależności amplitudy napięcia na zwojnicy od częstości napięcia wymuszającego prowadzi do ustalenia, że osiąga ona wartość maksymalną

\begin{matrix} \displaystyle (U_{L0})_{max}=U_0\frac{\omega_{0}^2}{2\beta \sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}} & dla & \displaystyle \omega_m=\frac{\omega_{0}^2}{\sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}} \end{matrix}

a przesunięcie fazowe względem napięcia wymuszającego wynosi wtedy

\displaystyle \varphi_L=arctg\left(-\frac{\sqrt{\omega_{0}^2-\beta^2}}{\beta}\right)-\pi=arctg\left(-\frac{\omega_r}{\beta}\right)-\pi

Napięcie na zwojnicy ma fazę przeciwną względem napięcia na kondensatorze, zaś amplituda osiąga wartość największą dla częstości większej od częstości rezonansowej, a nawet większej od częstości własnej. Gdy współczynnik tłumienia zmienia się od zera do wartości granicznej to częstość ta rośnie od wartości \omega_0\, do nieskończoności.


Zadania

1. W polu magnetycznym wytworzonym wokół bardzo długiego, cienkiego przewodu prostoliniowego, w którym płynie prąd o natężeniu I\,, porusza się ze stałą prędkością \overrightarrow{v}\, metalowy pręt o długości l\,. Prędkość jest prostopadła do pręta. Obliczyć stosunek wartości napięcia między końcami pręta dla dwóch sposobów przesuwania pręta:

a. wektor \overrightarrow{v}\, jest równoległy do przewodu
b. wektor \overrightarrow{v}\, jest prostopadły do przewodu
Grafika:PF_M14_Zad_Rys1.png

Skomentować otrzymany wynik.


Odpowiedź

a. \displaystyle U_1=\frac{mu_0Iv}{2\pi}ln\left(1+\frac{l}{d}\right)
b. \displaystyle U_2=\frac{mu_0Iv}{2\pi}\cdot \frac{l}{d+vt}

W pierwszym przypadku napięcie ma stałą wartość (pręt porusza się tak, że średnia wartość wektora indukcji magnetycznej jest stała), natomiast w drugim przypadku napięcie maleje w miarę oddalania się od długiego przewodu(pręt przemieszcza się w obszary coraz słabszego pola). Zatem stosunek napięć jest zależny od czasu.

\displaystyle \frac{U_1}{U_2}=\frac{d+vt}{l}ln\left(1+\frac{l}{d}\right)


2. W odległości a\, od nieskończenie długiego przewodu prostoliniowego w którym płynie prąd o natężeniu I\, umieszczono kwadratowy obwód o boku a\, i oporności R\,. Obliczyć:

a. Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu.
b. Ładunek jaki przepłynie w obwodzie po wyłączeniu prądu I\,.
c. Energię przekazaną do obwodu, przy założeniu, że zanik prądu I\, ma charakter eksponencjalny, z czasem relaksacji \tau\,.


Odpowiedź

Grafika:PF_M14_Zad_Rys2.png
a. \displaystyle \Phi_B=2\cdot \frac{mu_0I}{4\pi}\left[\int_{a}^{2a}\left(\int_{a}^{2a} \frac{x}{y\sqrt{x^2+y^2}}dx+\int_{a}^{2a} \frac{dx}{y}\right)dy\right]=1,19\frac{mu_0 a}{2\pi}\cdot I
b. \displaystyle Q=\int_{I}^{0} -1,19\frac{mu_0 a}{2\pi R}\cdot I=1,19\frac{mu_0 aI}{2\pi R}

Warto zauważyć, że wartość tego ładunku jest niezależna od rodzaju funkcji opisującej zanik prądu.

c. \displaystyle W=\frac{1}{2R\tau}\left(1,19\frac{mu_0 I_0a}{2\pi} \right)^2


3. Na długich poziomych szynach spiętych opornikiem o oporności R\, leży pręt o masie m\, i długości l\,. Wektor indukcji \overrightarrow{B}\, stałego, jednorodnego pola magnetycznego jest skierowany przeciwnie do wektora natężenia pola grawitacyjnego \overrightarrow{g}\, . Obliczyć moc potrzebną do przesuwania pręta ze stałą prędkością \overrightarrow{v}\, . Zaniedbać oporność szyn i pręta oraz tarcie pręta o szyny.


Odpowiedź

\displaystyle P=RI^2=\frac{B^2l^2v^2}{R}


4. W obwodzie RLC zachodzą elektromagnetyczne drgania wymuszone pod wpływem napięcia U(t)=U_0sin\omega t . Obliczyć średnią moc pochłanianą przez obwód w ciągu jednego okresu drgań. Dla jakiej wartości częstości wymuszania wartość tej mocy jest największa?


Odpowiedź

\begin{matrix} \displaystyle P(\omega)=\frac{U_{0}^{2}}{2L^2}\frac{\omega^2}{(\omega_{0}^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}; & \displaystyle P_{max}=P(\omega_0)=\frac{U_{0}^{2}}{2R} \end{matrix}