PF Moduł 12

From Studia Informatyczne

Spis treści

Wykład

Enlarge

Enlarge
12.1 Natężenie i gęstość prądu elektrycznego.

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych pod wpływem pola elektrycznego. Nośnikami prądu mogą być ładunki dodatnie (np. jony w cieczy lub w gazie) i ładunki ujemne (elektrony w ciele stałym, elektrony i jony w cieczy lub w gazie). Jako kierunek prądu przyjęto kierunek ruchu nośników dodatnich, a więc prąd płynie od potencjału wyższego do potencjału niższego.

Natężenie prądu jest określone jako szybkość przepływu ładunku, czyli stosunek ładunku dq\, przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie dt\,, do tego czasu

Jeśli w przepływie prądu uczestniczą różne nośniki ładunku, to natężenia prądu tych nośników dodają się.

Gęstość prądu jest wektorem, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu, zaś wartość jest określona przez stosunek natężenia prądu dI\, przepływającego przez mały element powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika dS_{\perp}\, do pola powierzchni tego elementu.

Zatem \displaystyle \overrightarrow{j}=j\overrightarrow{w} , gdzie \overrightarrow{w}\, jest wersorem wskazującym kierunek ruchu dodatnich nośników prądu przez powierzchnię dS_{\perp}\,. Natężenie prądu jest strumieniem wektora gęstości prądu przez daną powierzchnię.


Enlarge
12.2 Prawo Ohma.

Dla danego przewodnika stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężenia prądu płynącego przez przewodnik jest wielkością stałą. Wielkość tę nazywamy oporem elektrycznym. Z prawa tego wynika, że dla przewodnika natężenie prądu jest liniową funkcją napięcia, współczynnik kierunkowy prostej I(U)\, jest równy odwrotności oporu.

Istnieją elementy przewodzące prąd dla których natężenie prądu nie jest liniową funkcją napięcia.


Enlarge
12.3 Opór elektryczny

Opór elektryczny jednorodnego przewodnika o stałym przekroju jest zależny od jego długości l\, i pola przekroju S\, oraz od rodzaju przewodnika, gdzie \rho\, to opór właściwy substancji, z której wykonany jest przewodnik.

Wartość oporu właściwego silnie zależy od własności mikroskopowych substancji, z których wynika rodzaj nośników prądu (ładunek i masa) oraz ich koncentracja (liczba nośników w jednostce objętości). W przewodnikach (metalach) nośnikami są elektrony. Ich koncentracja jest duża, tego rzędu co koncentracja atomów, stąd małe wartości oporu właściwego.

Opór właściwy metali rośnie wraz ze wzrostem temperatury. Wg. najprostszego modelu zależność ta ma charakter liniowy, gdzie \alpha\, jest temperaturowym współczynnikiem oporu.

W izolatorach (dielektrykach) koncentracja nośników jest mała, stąd duże wartości oporu właściwego.

W cieczach i w gazach duże wartości oporu właściwego wynikają nie tylko z małej koncentracji, ale również z małej ruchliwości nośników (duża masa jonów).

W półprzewodnikach samoistnych (np. german, krzem) koncentracja nośników (elektrony i dziury) rośnie ze wzrostem temperatury, co prowadzi do zmniejszania wartości oporu właściwego. Silny wpływ na koncentrację nośników mają domieszki.

Przewodnictwo właściwe \sigma\, to odwrotność oporu właściwego \rho\,.


Enlarge
12.4 Mikroskopowy opis przepływu prądu elektrycznego w przewodniku.

W jednorodnym przewodzie o przekroju S\, i koncentracji elektronów n\, pole elektryczne działa na elektrony siłą \displaystyle \overrightarrow{F}=-e\overrightarrow{E} , zmuszając je do określonego ruchu. Natężenie prądu można wyznaczyć licząc ile elektronów przepłynie w czasie dt\, przez wybrany przekrój przewodu. Prowadzi to do wzorów określających natężenie prądu i powierzchniową gęstość prądu, gdzie n\, jest koncentracją elektronów (liczba elektronów w jednostce objętości przewodnika), e\, - ładunkiem elementarnym, zaś u\, - prędkością unoszenia elektronów w kierunku wymuszonym przez pole elektryczne. Wzór określający zależność gęstości prądu od natężenia pola elektrycznego jest równoważny prawu Ohma.

Poruszając się w kierunku wymuszonym przez pole elektryczne elektrony nie rezygnują z bezładnego ruchu cieplnego. Według prostego modelu klasycznego „gaz” elektronowy opisujemy podobnie jak gaz doskonały. Oznaczmy przez v średnią prędkość ruchu cieplnego elektronów w przewodniku, a przez u\, średnią prędkość unoszenia elektronów w tym przewodniku, gdy płynie w nim prąd stały. Przewodnik znajduje się w temperaturze pokojowej.

Wartość prędkości średniej ruchu cieplnego można oszacować wykorzystując wzory:

\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{2}m\left \langle v^2 \right \rangle & \Longrightarrow & \displaystyle (v)_{\acute{s}r.kw.}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\approx 10^5 m/s \end{matrix} w temperaturze pokojowej

wartość prędkości unoszenia elektronów można oszacować wykorzystując wzory

\begin{matrix} \displaystyle I=neuS & \Longrightarrow & \displaystyle u=\frac{I}{neS}\approx 2\cdot 10^{-5} m/s \end{matrix} dla typowych wartości I, n, S\,:

I = 1A\,, grubość miedzianego przewodu d = 2mm\,, n = 8,5\cdot 10^{28}/m3

(każdy atom miedzi daje jeden elektron swobodny, zatem znając masę molową miedzi \mu= 63,5g/mol, gęstość miedzi \rho= 8,96g/cm^3 i liczbę Avogadro N_A = 6,02\cdot 1023/mol można obliczyć koncentrację elektronów n\,).

Warto zauważyć, że prędkość elektronów będących nośnikami prądu jest niezwykle mała w porównaniu z prędkością ruchu cieplnego. Można powiedzieć, że prąd płynie bardzo wolno. Oczywiście sygnał, który nakazuje elektronom przewodnictwa płynąć w określonym kierunku rozchodzi się niezwykle szybko. Sygnałem tym jest pole elektryczne, które rozchodzi się z prędkością równą prędkości światła.

Mogłoby się wydawać, że pod wpływem pola elektrycznego elektrony będą się poruszać ruchem jednostajnie zmiennym, z rosnącą liniowo prędkością. Jednak, po przebyciu drogi równej średniej odległości międzyatomowej, wskutek zderzeń z atomami, prędkość elektronów spada do zera i przyspieszanie zaczyna się od nowa. W krótkim czasie od włączenia pola elektrycznego ustala się równowaga dynamiczna. Szybkość dostarczania energii przez pole zrównuje się z szybkością strat energii w zderzeniach i ustala się wartość prędkości unoszenia elektronów (tak, jakby oprócz stałej siły elektrycznej działała równa jej wartość siły oporu). Z takiego modelu przepływu prądu w wynika wzrost energii wewnętrznej przewodnika (wzrost temperatury) oraz interpretacja fizyczna oporu elektrycznego i pracy prądu elektrycznego.


Enlarge
12.5 Praca i moc

Praca dW\, wykonana przez pole elektryczne na wymuszenie przepływu ładunku dq w czasie dt\, powoduje wzrost energii wewnętrznej przewodnika (wzrost temperatury), a w konsekwencji do otoczenia może przepłynąć ciepło dQ =dW.

Pracę wykonaną w czasie t\, otrzymamy po zsumowaniu porcji dW\,, które w przypadku prądu o stałym natężeniu daje wartość \displaystyle W=UIt. Wykorzystując prawo Ohma wzór ten można przedstawić w trzech postaciach.

Moc jest równa szybkości wykonywania pracy i może być przedstawiona za pomocą trzech wzorów.

W zastosowaniach praktycznych należy do danej sytuacji dostosować odpowiednią postać wzoru. Np. jeśli ustalona jest wartość napięcia zasilania U, to zarówno praca jak i moc są tym większe im mniejszy jest opór.


Enlarge
12.6 Siła elektromotoryczna

Siła elektromotoryczna jest różnicą potencjałów wytwarzaną przez źródło prądu, czyli urządzenie przetwarzające energię (chemiczną, mechaniczną, ...) na energię elektryczną. Jej wartość jest określona przez wydatek energetyczny źródła dW\, na wymuszenie przepływu ładunku dq\,, przypadający na jednostkę ładunku.

Większe znaczenie praktyczne ma określenie siły elektromotorycznej jako napięcia na zaciskach źródła, gdy prąd w obwodzie zawierającym źródło nie płynie.

(Uwaga: nazwa siła elektromotoryczna jest myląca, wielkość ta ma charakter napięcia i jej jednostką jest wolt).


Enlarge
12.7 Prawa Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa wynikają z zasady zachowania ładunku i podstawowych własności pola elektrycznego. Za pomocą praw Kirchhoffa uzyskujemy równania, z których można obliczyć natężenie prądu w każdej części obwodu elektrycznego oraz napięcie między dwoma dowolnymi punktami obwodu.


Enlarge
Enlarge
12.8 Prosty obwód prądu stałego

Składa się w swojej podstawowej wersji ze źródła o sile elektromotorycznej E\, i oporze wewnętrznym r\, oraz obwodu zewnętrznego o oporze R\,.

Natężenie prądu w obwodzie osiąga wartość największą dla R = 0, jest to tzw. prąd zwarcia I_z\,.

Napięcie na zaciskach źródła U_{AB}\, dąży do wartości równej sile elektromotorycznej, gdy R\to \infty\, .

Moc w oporniku zewnętrznym R\, osiąga wartość największą dla R=r.

Moc całkowita P_c\, jest równa sumie mocy P_z\, w obwodzie zewnętrznym i mocy P_w\, wewnątrz źródła:

\displaystyle P_c(R)=P_z(R)+P_w(R)

Sprawność jest określona jako stosunek mocy w oporniku zewnętrznym do mocy całkowitej.

Na rysunkach zostały przedstawione przykładowe wykresy zależności natężenia prądu, napięcia na zaciskach źródła, mocy w obwodzie zewnętrznym i sprawności od wartości oporu zewnętrznego.

Z charakteru zależności mocy w obwodzie zewnętrznym od wartości oporu zewnętrznego wynika, że określoną moc P można uzyskać dla dwóch różnych wartości oporu R_1<r\, i R_2>r\,. Na podstawie wykresu zależności sprawności od oporu zewnętrznego można stwierdzić, że bardziej korzystny jest wybór oporu R > r\,, gdyż większa jest sprawność.


Materiały do ćwiczeń

Enlarge
12.9 Materiały do ćwiczeń

Obliczanie oporu zastępczego układu oporników

Jeśli układ oporników podłączymy do źródła napięcia U_0\, to popłynie prąd o natężeniu I\,. Opór zastępczy układu, to opór opornika, przez który po podłączeniu do takiego źródła popłynie prąd o takim samym natężeniu.

Wynika stąd ogólna i uniwersalna metoda obliczania oporu zastępczego: należy obliczyć natężenie prądu, który popłynie do danego układu oporników po podłączeniu do źródła napięcia U_0\,. To natężenie prądu będzie proporcjonalne do napięcia, a współczynnik proporcjonalności to odwrotność oporu zastępczego układu \displaystyle I=\frac{1}{R}\cdot U_0 . Za pomocą tej metody można obliczyć opór dowolnego układu oporników, bez konieczności ustalania jak są połączone oporniki, a więc nawet bez znajomości wzorów na łączenie szeregowe, równoległe, łączenia w trójkąt i w gwiazdę, ... . Do obliczania natężenia prądu I\, wykorzystywane są dwa podstawowe prawa fizyczne:

  • zasada zachowania ładunku (czyli tzw. pierwsze prawo Kirchhoffa),
  • w polu elektrostatycznym suma zmian potencjału na drodze zamkniętej jest równa zeru (czyli tzw. drugie prawo Kirchhoffa).

Spośród różnych możliwych połączeń oporników wyróżniamy dwa podstawowe - połączenie szeregowe i połączenie równoległe.

Szeregowe połączenie oporników. Oporniki uznajemy za połączone szeregowo, jeżeli płynie przez nie prąd o takim samym natężeniu. Układ n\, oporników połączonych szeregowo można zastąpić opornikiem o oporze równym sumie ich oporów

Równoległe połączenie oporników. Oporniki uznajemy za połączone równolegle, jeżeli napięcie na nich ma taką samą wartość. Układ n\, oporników połączonych równolegle można zastąpić opornikiem o oporze, którego odwrotność jest równa sumie odwrotności ich oporów

Układy oporników spotykane w zadaniach są często zagmatwane. Aby obliczyć opór takiego układu, staramy się narysować go w prostszy sposób, ustalając które oporniki są połączone szeregowo a które równolegle. Układ oporników można oczywiście przekształcać tylko w taki sposób, aby natężenia prądów płynących przez poszczególne oporniki nie uległy zmianie.

Najczęściej stosowane są dwa sposoby:

  • punkty o tym samym potencjale można połączyć,
  • pojedynczy opornik można zastąpić dwoma opornikami, które następnie można rozłączyć.

Grafika:PF_M12_Rys1.png

Przy analizie połączeń oporników należy zwracać uwagę na symetrię układu, która ułatwia np. dostrzeżenie punktów o tym samym potencjale.


Enlarge
12.10 Materiały do ćwiczeń

Łączenie źródeł napięcia

Podstawowe sposoby połączenia n\, źródeł napięcia o sile elektromotorycznej E\, i oporności wewnętrznej r\, w baterię to połączenie szeregowe i połączenie równoległe.

W przypadku połączenia szeregowego siła elektromotoryczna baterii jest sumą sił elektromotorycznych źródeł, opór wewnętrzny baterii jest sumą oporów wewnętrznych źródeł.

W przypadku połączenia równoległego siła elektromotoryczna baterii jest równa sile elektromotorycznej pojedynczego źródła, opór wewnętrzny baterii wynika z połączenia równoległego oporów wewnętrznych źródeł.

Maksymalna moc jaką można uzyskać w obwodzie zewnętrznym dołączonym do baterii jest niezależna od sposobu połączenia źródeł w baterię.


Przykład 12.1

W przedstawionym obwodzie przewody łączące oporniki mają opór bliski zeru.

Obliczyć natężenie prądu w przewodzie AB. Dane: U, R

Grafika:PF_M12_Rys2.png


Rozwiązanie

Rozwiązując układ równań otrzymany w wyniku wędrówek po obwodzie i sumowania zmian potencjału

\displaystyle -I_1R+I_2\frac{R}{2}=0
\displaystyle -I_3R+I_4R=0
\displaystyle -I_2\frac{R}{2}-I_3R+U=0
\displaystyle -I_1R-I_4R+U=0

otrzymamy wartość natężenia prądu w gałęzi AB: \displaystyle I_{AB}=I_4-I_1=\frac{U}{5R}


Przykład 12.2

Kondensator składa się z dwóch kulistych, współśrodkowych powierzchni metalowych. Przestrzeń między tymi powierzchniami wypełniona jest ebonitem. Kondensator naładowano ładunkiem Q\,. Po jakim czasie od chwili naładowania ładunek zmaleje o połowę? Względna przenikalność elektryczna ebonitu wynosi \varepsilon_r = 3,1 a oporność właściwa \rho = 10^{13} \Omega \cdot m.


Rozwiązanie

Obliczenie pojemności kondensatora: \displaystyle C=\frac{Q}{U}

\begin{matrix} \displaystyle E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r r^2}; & \displaystyle E=-\frac{d\varphi}{dr}; & \displaystyle d\varphi =-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r r^2}dr \end{matrix}
\begin{matrix} \displaystyle \Delta \varphi=-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\int_{a}^{b} \frac{dr}{r^2}=-\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\cdot \frac{b-a}{ab}; & \displaystyle |U|=|\Delta \varphi|=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\cdot \frac{b-a}{ab}; & \displaystyle C=\frac{Q}{U}=\frac{4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r ab}{b-a} \end{matrix}

gdzie a i b promienie metalowych powierzchni.

Obliczenie oporności kulistej warstwy dielektryka: \displaystyle R=\frac{U}{I}

\begin{matrix} \displaystyle j=\frac{I}{4\pi r^2}; & \displaystyle j=\sigma\cdot E\frac{E}{\rho}; & \displaystyle E=\frac{\rho I}{4\pi r^2}; & \displaystyle d\varphi =-Edr=-\frac{\rho I}{4\pi r^2}dr \end{matrix}
\begin{matrix} \displaystyle \displaystyle \Delta \varphi=-\frac{\rho I}{4\pi}\int_{a}^{b} \frac{dr}{r^2}=-\frac{\rho I(b-a)}{4\pi ab}; & \displaystyle |U|=|\Delta \varphi|=\frac{\rho I(b-a)}{4\pi ab}; & \displaystyle R=\frac{U}{I}=\frac{\rho (b-a)}{4\pi ab} \end{matrix}

Zależność ładunku zgromadzonego w kondensatorze od czasu:

\begin{matrix} \displaystyle Q(t)=Q_0e^{-t/{\tau}}; & \displaystyle \tau=\varepsilon_0\varepsilon_r\rho \approx 274s \end{matrix}

Pojemność kondensatora kulistego i opór warstwy kulistej zależą od parametrów geometrycznych oraz odpowiedniego parametru substancji. Iloczyn pojemności i oporu (stała czasowa rozładowania kondensatora) zależy tylko od stałych materiałowych: \varepsilon_r\, i \rho\, .

\begin{matrix} \displaystyle Q(t_{1/2})= \frac{Q_0}{2}; & \displaystyle t_{1/2}=\tau ln2\approx 190s \end{matrix}

Wynik jest interesujący. Pokazuje, że ebonit mimo dużego (jak się wydaje) oporu właściwego nie nadaje się na izolator w kondensatorze.


Zadania

1. Dwie kule metalowe o promieniu a umieszczono w ośrodku przewodzącym o stałej oporności właściwej \rho\,, odległość między ich środkami wynosi d >> a. Obliczyć natężenie prądu, jaki popłynie podłączeniu kul do źródła stałego napięcia U\,.


Odpowiedź

\displaystyle I=\frac{2\pi a(d-a)}{\rho (d-2a)}


2. Do źródła prądu o oporze wewnętrznym r = 1\Omega podłączono dwa jednakowe oporniki R\, połączone raz szeregowo, a raz równolegle. W obu przypadkach otrzymano taką samą moc P\, w obwodzie zewnętrznym. Obliczyć wartość oporności R\,. Jaką część mocy całkowitej stanowi moc P\, w obu przypadkach? Ile razy moc P\, jest mniejsza od maksymalnej mocy, jaką można uzyskać z tego źródła na oporniku zewnętrznym?


Odpowiedź

\begin{matrix} \displaystyle R=r=1\Omega, & \displaystyle (P/P_c)_{szer.}=2/3, & \displaystyle (P/P_c)_{r}=1/3, & \displaystyle P/P_{max}=8/9 \end{matrix}


3. Z drutu o średnicy d\, i oporze właściwym \rho\, , zrobiono sześcian o krawędzi a\,. Obliczyć opór zastępczy, gdy napięcie U_0\, jest podłączone:

a. do wierzchołków leżących na końcach przekątnej sześcianu,
b. do wierzchołków leżących na końcach krawędzi sześcianu,
c. do wierzchołków leżących na końcach przekątnej ściany bocznej sześcianu.


Odpowiedź

\begin{matrix} \displaystyle a)\, R_1=\frac{5}{6}R, & \displaystyle b)\, R_2=\frac{7}{12}R, & \displaystyle c)\, R_3=\frac{3}{4}R, & \displaystyle R=\frac{4\rho a}{\pi d^2} \end{matrix}


4. Obliczyć natężenia prądu płynącego przez oporniki oraz opór zastępczy R_{AB}\, układu oporników przedstawionego na rysunku, po podłączeniu źródła napięcia U\,. Dane są: U,\, R\, i\, k\in R_{+}. Przedyskutować zależność oporu R_{AB}\, od wartości parametru k\,.

Grafika:PF_M12_Zad_Rys1.png


Odpowiedź

oporniki R: \displaystyle I_1=\frac{(k+3)U}{(3k+1)R} , oporniki kR: \displaystyle I_2=\frac{2U}{(3k+1)R} , opornik R - środkowy: \displaystyle I_1=\frac{(k+3)U}{(3k+1)R} ,
natężenie prądu płynącego ze źródła: \displaystyle I=I_1+I_2=\frac{(k+3)U}{(3k+1)R} , opór układu: \displaystyle R_{AB}=\frac{U}{I}=\frac{3k+1}{(k+3)}R


Dyskusja rozwiązania:

Dla k = 0 opór układu przyjmuje wartość R_{AB} = R/3, a więc mamy układ trzech oporników połączonych równolegle.

Dla k = 1 opór układu przyjmuje wartość R\,. Ponieważ przez środkowy opornik prąd nie płynie (natężenie prądu </math>I_3 = 0</math>), układ składa się z dwóch równoległych gałęzi oporników połączonych szeregowo.

Dla k\to \infty\, opór układu dąży do wartości 3R\,, natężenie prądu I_2\, do zera, a więc mamy układ trzech oporników połączonych szeregowo.

Z dyskusji rozwiązania wynika, że opór tego układu oporników zawiera się w przedziale

R_{AB}\in \left \langle \frac{R}{3},\, 3R\bigg|


Słowa kluczowe

natężenie prądu
gęstość prądu
prawo Ohma
opór elektryczny
opór właściwy
przewodnictwo właściwe
koncentracja nośników prądu
prędkość unoszenia
praca i moc prądu
siła elektromotoryczna
opór wewnętrzny źródła
prawa Kirchhoffa
opór zastępczy