PF Moduł 11

From Studia Informatyczne

Spis treści

Wykład

Enlarge
Wykład 11 - Pole elektryczne

11.1 Prawo Coulomba

11.2 Opis dynamiczny pola elektrycznego

11.3 Opis energetyczny pola elektrycznego

11.4 Ogólne własności pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki 11.5 Dipol elektryczny

11.6 Własności elektryczne przewodników

11.7 Własności elektryczne izolatorów

11.8 Ruch ładunku w polu elektrycznym 11.9 Pojemność elektryczna

11.10 Opis procesów ładowania i rozładowania kondensatora

11.11 - 15 Materiały do ćwiczeń


Enlarge
11.1 Prawo Coulomba

Dwa punktowe ładunki elektryczne q_1\, i q_2\, działają na siebie siłą, której wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich wzajemnej odległości:

\displaystyle \overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}\cdot \frac{\overrightarrow{r}}{r}
\displaystyle \varepsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}

gdzie \varepsilon_0\, jest przenikalnością elektryczną próżni zaś \varepsilon_r\, względną przenikalnością ośrodka.

Ładunki różnoimienne przyciągają się, jednoimienne odpychają.

Można udowodnić, że wzór ten określa również wartość siły, jaką działają na siebie jednorodne ładunki kuliste z odległości r większej od sumy ich promieni.


Enlarge
11.2 Opis dynamiczny pola elektrycznego

Pole elektryczne wytworzone przez ładunki elektryczne to przestrzeń, w której na umieszczony ładunek działa siła elektryczna. Oddziaływaniu temu towarzyszy energia potencjalna zwana energią elektryczną. Opis pola elektrycznego powinien określać jego własności dynamiczne i energetyczne.

Natężenie pola elektrycznego jest określone jako stosunek siły działającej w danym punkcie pola na punktowy ładunek próbny q_0\, do wartości tego ładunku

\displaystyle \overrightarrow{F}=\frac{\overrightarrow{E}}{q_0}

Wektor natężenia określa dynamiczne własności pola elektrycznego, co oznacza, że jeżeli znamy natężenie w danym punkcie pola, to siłę działającą na ładunek punktowy q\, umieszczony w tym punkcie możemy obliczyć za pomocą wzoru

\displaystyle \overrightarrow{F}=q\cdot \overrightarrow{E}

Linie sił pola elektrycznego to linie, do których styczny jest wektor siły, a więc i wektor natężenia pola. Zwrot linii sił pola jest określony przez zwrot wektora natężenia pola. Linie sił pola są w ogólności liniami krzywymi; w szczególnym przypadku, np. pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy linie sił pola są liniami prostymi.

Strumień wektora natężenia pola elektrycznego

Grafika:PF_M11_Rys1.png

Porcję strumienia wektora natężenia pola elektrycznego przez mały element powierzchni dS (tak mały że może być traktowany jako płaski a natężenie pola w jego obrębie jest wektorem stałym) definiujemy jako:

\displaystyle d\Phi_E=\overrightarrow{E}\, d\overrightarrow{S}=E\cdot S\cdot cos(\overrightarrow{E},\, d\overrightarrow{S})
\displaystyle \Phi_E=\int_{S} \overrightarrow{E}\, d\overrightarrow{S}

gdzie \displaystyle d\overrightarrow{S}\, jest wektorem prostopadłym do tego elementu powierzchni, o wartości równej polu powierzchni dS\,. Wartość strumienia wektora natężenia pola elektrycznego przez całą powierzchnię S\,, którą obliczamy przez zsumowanie porcji strumienia przez poszczególne elementy powierzchni dS\,, jest równa liczbie linii sił pola przecinających tę powierzchnię. W najprostszym przypadku, gdy pole elektryczne jest jednorodne, strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez płaszczyznę o powierzchni S\, jest równy

\displaystyle \Phi_E=E Scos\alpha

gdzie \alpha\, jest kątem między wektorem natężenia pola elektrycznego i normalną do powierzchni.


Prawo Gaussa dla wektora natężenia pola elektrycznego

Strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię ograniczającą układ ładunków wytwarzających pole elektryczne jest wprost proporcjonalny do sumarycznego ładunku układu Q\,

Grafika:PF_M11_Rys2.png

\displaystyle \Phi_E=\oint_{S} \overrightarrow{E}\, d\overrightarrow{S}=\frac{1}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}Q
\displaystyle Q=\int_{V} \rho\, dV

Współczynnik proporcjonalności jest tak dobrany, aby wyznaczony z prawa Gaussa wzór na natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy Q\, był zgodny ze wzorem wyznaczonym na podstawie prawa Coulomba. Prawo Gaussa wyraża bardzo ważną własność pola elektrycznego: jest to pole źródłowe. Źródłem pola jest ładunek. Ładunek dodatni jest dodatnim źródłem pola (linie sił pola wychodzą z ładunku dodatniego), ładunek ujemny jest ujemnym źródłem pola (linie sił pola wchodzą do ładunku ujemnego).


Enlarge
11.3 Opis energetyczny pola elektrycznego

Praca

Na ładunek punktowy q pole elektryczne o natężeniu \overrightarrow{E}\, działa siłą \overrightarrow{F}=q\cdot \overrightarrow{E} . Zatem praca przesunięcia ładunku z punktu A\, do punktu B\, jest określona wzorem:

\displaystyle W(A\to B)=-\int_{A}^{B} q\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}=q\int_{A}^{B} -\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}

gdzie d\overrightarrow{l}\, jest bardzo małym elementem krzywej wzdłuż której jest przesuwany ładunek. Można w prosty sposób wykazać, że wynik całkowania jest identyczny dla wszystkich krzywych łączących punkty A\, i B\,. Oznacza to, że siła elektryczna jest siłą zachowawczą. Warto przypomnieć interpretację znaku pracy: praca dodatnia jest wykonana przez siły zewnętrzne, praca ujemna jest wykonana przez siły wewnętrzne, czyli przez układ fizyczny: pole - ładunek.

Elektryczna energia potencjalna jest określona w następujący sposób: Wyobraźmy sobie przejście układu fizycznego oddziałującego siłami elektrycznymi od stanu fizycznego nr 1 do stanu fizycznego nr 2.

Obydwu stanom przypisujemy elektryczną energię potencjalną, przy czym energia potencjalna układu w stanie drugim jest równa sumie energii potencjalnej w stanie pierwszym i pracy wykonanej przy przejściu od stanu do stanu

\displaystyle W_p(2)=W_p(1)+W(1\to 2)

Praca wykonana przy przejściu od stanu nr 1 do stanu nr 2 spełnia w przypadku oddziaływań elektrycznych podstawowy warunek sensowności takiej definicji, tzn. jest niezależna od sposobu przejścia układu fizycznego od stanu początkowego do stanu końcowego (siły elektryczne są siłami zachowawczymi). Stan nr 1, czyli tzw. stan odniesienia można określić dwoma sposobami:

  • Jako stan odniesienia wybieramy dowolny stan układu fizycznego i przypisujemy mu dowolną wartość energii (np. +100 J, -50 J, 0, ...); taki sposób jest często stosowany w zadaniach.
  • Jako stan odniesienia wybieramy taki stan układu fizycznego, w którym siły elektryczne maleją do zera (odległość oddziałujących ładunków jest bardzo duża) i przypisujemy mu energię potencjalną równą zeru. Ten sposób określania energii potencjalnej jest często stosowany w teorii.

Otrzymujemy wzory o charakterze ogólnym. Z takiego sposobu określania energii wynika, że energia potencjalna towarzysząca oddziaływaniom przyciągającym (ładunki różnoimienne) jest ujemna, zaś energia potencjalna towarzysząca oddziaływaniom odpychającym (ładunki jednoimienne) jest dodatnia.

Potencjał elektryczny jest określony jako stosunek energii potencjalnej oddziaływania ładunku próbnego +q_0\, z polem elektrycznym, w danym punkcie pola, do wartości tego ładunku

\displaystyle \varphi=\frac{W_p}{+q_0}

Potencjał elektryczny określa energetyczne własności pola elektrycznego, co oznacza, że jeżeli znamy potencjał w danym punkcie pola elektrycznego, to energię potencjalną oddziaływania pola z ładunkiem umieszczonym w tym punkcie możemy obliczyć ze wzoru

\displaystyle W_p =q\varphi

Ponieważ potencjał elektryczny jest określony za pomocą energii potencjalnej, to oczywiście ma on też charakter względny, a zatem potencjał elektryczny w danym punkcie pola jest równy sumie potencjału w punkcie odniesienia i pracy przeniesienia jednostkowego ładunku dodatniego z punktu odniesienia do danego punktu pola

\displaystyle \varphi(2)=\varphi(1)+\frac{W(1\to 2)}{+q_0}=\varphi(1)-\int_{1}^{2} \overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}

przy czym słuszne pozostają uwagi dotyczące sposobu wyboru stanu odniesienia i wartości potencjału w tym stanie.

Uwaga: W zadaniach, w których nie jest wyraźnie określony stan odniesienia i wartość potencjału w tym stanie, potencjał jest zwykle określany względem nieskończoności, gdzie przyjmujemy potencjał równy zeru.

Powierzchnie ekwipotencjalne to powierzchnie, na których potencjał elektryczny ma stałą wartość. Powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do linii sił pola.

Pracę przesunięcia ładunku punktowego q\, w polu elektrycznym można wyrazić wzorem

\displaystyle W(1\to 2)=q[\varphi(2)-\varphi(1)]

Enlarge
11.4 Ogólne własności pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki

Związek między natężeniem pola i potencjałem

Natężenie pola i potencjał elektryczny zostały zdefiniowane w taki sposób, że zależą tylko od własności pola elektrycznego, które opisują, a nie od tego co w tym polu umieszczamy. Związek między wielkością wektorową, jaką jest natężenie pola, i wielkością skalarną, jaką jest potencjał, określono w następujący sposób: Jeżeli przesuwamy się wzdłuż linii sił pola, to wartość wektora natężenia pola jest równa szybkości zmiany potencjału, wziętej ze znakiem minus

\displaystyle E=-\frac{d\varphi}{dr}

gdzie dr jest bardzo małym przesunięciem. Minus oznacza, że zwrot wektora natężenia pola jest przeciwny do zwrotu przesunięcia przy którym potencjał rośnie. Linie sił pola są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych. Ogólny wzór określający związek między natężeniem pola i potencjałem można zapisać w postaci różniczkowej lub całkowej

\displaystyle \overrightarrow{E}=-grad \varphi
\displaystyle \varphi(2)=\varphi(1)-\int_{1}^{2} \overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}


Ogólne własności:

Pole elektryczne wytworzone przez ładunki to pole:

  • źródłowe

\displaystyle \oint_{S} \overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}=\frac{1}{\varepsilon_0\varepsilon_r}Q

źródłem pola jest ładunek

  • zachowawcze
\displaystyle W(A\to B)=- \int_{A}^{B} q\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}

siła elektryczna jest siłą zachowawczą

  • bezwirowe
\displaystyle \oint_{L} \overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}=0

linie sił pola mają początek i koniec, nie są krzywymi zamkniętymi


Enlarge
11.5 Dipol elektryczny

Dipol elektryczny stanowią dwa ładunki różnoimienne +q\, i -q\, położone w odległości d. Układowi temu przypisujemy wektor elektrycznego momentu dipolowego określony wzorem

\displaystyle \overrightarrow{p}_e =q\overrightarrow{d}

gdzie \overrightarrow{d}\, jest wektorem skierowanym od ładunku ujemnego do dodatniego. Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez dipol w odległości r\,, dużej w porównaniu z ramieniem dipola d\,, ma wartość określoną wzorem

\displaystyle E=\frac{p_e}{r^3}

W zewnętrznym polu elektrycznym na dipol działa moment sił określony wzorem

\displaystyle \overrightarrow{M}=\overrightarrow{p}_e\times \overrightarrow{E}

Energia potencjalna oddziaływania dipola z zewnętrznym polem elektrycznym względem stanu, w którym \displaystyle \overrightarrow{p}_e\perp \overrightarrow{E}, wynosi

\displaystyle W_p=-\overrightarrow{p}_e \cdot \overrightarrow{E}

Wartości momentu sił działającego na dipol i energii oddziaływania z zewnętrznym polem zestawiono w tabeli dla różnych wartości kąta \alpha\, jaki tworzy wektor momentu dipolowego z wektorem natężenia zewnętrznego pola.

kąt \alpha\, 0\, 90^\circ\, 180^\circ\, 270^\circ\,
moment sił M\, 0\, pE\, 0\, -pE\,
energia potencjalna W_p\, -pE\, minimum 0\, +pE\, maksimum 0\,
stan równowagi trwała - nietrwała -

Z zestawienia tego wynika, że oddziaływanie z zewnętrznym polem elektrycznym dąży do ustawienia dipola tak, aby wektor momentu dipolowego był zgodny z wektorem natężenia pola, czyli w stanie równowagi trwałej.


Enlarge
11.6 Własności elektryczne przewodników

Przewodniki to ciała stałe o dużej koncentracji swobodnych elektronów (rzędu koncentracji atomów). Sumaryczny ładunek nienaładowanego przewodnika jest równy zero.

Przewodnik naładowany

  • W stanie równowagi ładunek gromadzi się na powierzchni przewodnika (swobodne ładunki jednoimienne w objętości przewodnika odpychają się i przemieszczają dotąd, dopóki nie znajdą się na powierzchni).
  • W stanie równowagi powierzchnia naładowanego przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną (ładunki przemieszczają się po powierzchni dopóty, dopóki potencjały wszystkich punktów nie wyrównają się, gdyby potencjały w dowolnych dwóch punktach były różne, następowałby między nimi przepływ ładunku).
  • Rozkład gęstości powierzchniowej ładunku \sigma\, jest zależny od kształtu przewodnika, gęstość powierzchniowa jest tym większa im mniejszy jest lokalny promień krzywizny powierzchni przewodnika.
  • Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika jest równe zeru (wynika to z prawa Gaussa).
  • Natężenie pola elektrycznego na zewnątrz przewodnika, w pobliżu jego powierzchni jest wektorem prostopadłym do powierzchni i ma wartość
\displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}
co wynika z prawa Gaussa.

Przewodnik w polu elektrycznym

Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego zachodzi w przewodniku zjawisko indukcji elektrycznej, które polega na przemieszczeniu elektronów swobodnych tak, aby pole elektryczne wytworzone przez nowy rozkład elektronów skompensowało całkowicie wnikające pole zewnętrzne (wypadkowe pole wewnątrz przewodnika pozostaje równe zeru). W wyniku zjawiska indukcji elektrycznej przewodnik jako całość pozostaje obojętny, ale jego poszczególne części uzyskują ładunki przeciwnych znaków o jednakowej wartości.


Enlarge
11.7 Własności elektryczne izolatorów

Izolatory, czyli dielektryki to substancje, w których koncentracja swobodnych elektronów jest bardzo mała, a o własnościach elektrycznych decydują ładunki związane, które mogą wykonywać tylko niewielkie ruchy wokół położeń równowagi. W obojętnym dielektryku zewnętrzne pole elektryczne powoduje polaryzację dielektryczną - niewielkie przesunięcia ładunków związanych, których skutkiem jest uzyskanie przez każdy element objętości pewnego momentu dipolowego. Pola elektryczne ładunków wewnątrz dielektryka znoszą się. Przesunięcia ładunków w warstwach przypowierzchniowych powodują, że na przeciwległych powierzchniach prostopadłych do wektora natężenia pola indukują się ładunki powierzchniowe q'\, o przeciwnych znakach. Pole w dielektryku jest sumą pola wnikającego i przeciwnego pola pochodzącego od ładunków powierzchniowych, którego natężenie jest zawsze mniejsze od natężenia pola zewnętrznego. Zatem natężenie pola w dielektryku jest różne od zera (przeciwnie niż w przewodniku), ale mniejsze od natężenia pola zewnętrznego. Stosunek wartości wektorów: natężenia pola zewnętrznego E_0\, i natężenia pola w dielektryku E\, jest względną przenikalnością elektryczną dielektryka \varepsilon_r\,

\displaystyle \frac{E_0}{E}=\varepsilon_r

Analiza sytuacji na granicy przewodnik - dielektryk.

Grafika:PF_M11_Rys3.png

Weźmy izolowany przewodnik, na powierzchni którego znajduje się ładunek +q. Pod nieobecność dielektryka prawo Gaussa na granicy przewodnik - próżnia (dla zamkniętej powierzchni, której przekrój przedstawiono na rysunku linią przerywaną) ma postać

\displaystyle E_0 S=\frac{1}{\varepsilon_0}q

gdzie S\, jest polem przekroju powierzchni Gaussa równoległym do płaszczyzny przewodnika. Po wprowadzeniu jednorodnego, izotropowego dielektryka prawo Gaussa dla tej samej zamkniętej powierzchni przyjmie postać

\displaystyle E_0 S=\frac{1}{\varepsilon_0}(q-q')

co oznacza, że strumień wektora natężenia pola pochodzi zarówno od ładunków swobodnych (na powierzchni przewodnika) jak i od ładunków związanych (na powierzchni dielektryka). Za pomocą powyższych równań można obliczyć związany ładunek q'\, zaindukowany na powierzchni dielektryka

\displaystyle q'=q\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)

który jest mniejszy od ładunku na powierzchni przewodnika. Po podstawieniu q'\, równanie przyjmie postać

\displaystyle \varepsilon_0 \varepsilon_r ES=q

Lewą stronę tego równania można potraktować jako całkowity strumień przez zamkniętą powierzchnię Gaussa pewnego wektora

\displaystyle \varepsilon_0 \varepsilon_r \overrightarrow{E}=\overrightarrow{D}

zwanego wektorem indukcji elektrycznej. Przez analogię do strumienia wektora \overrightarrow{E}\, , strumień wektora \overrightarrow{D}\, jest określony jako iloczyn skalarny

\displaystyle d\Phi_D= \overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}


Prawo Gaussa dla wektora \overrightarrow{D}\,

Strumień wektora \overrightarrow{D}\, przez zamkniętą powierzchnię ograniczającą układ ładunków wytwarzających pole elektryczne jest wprost proporcjonalny do sumarycznego ładunku swobodnego układu q\,

\displaystyle \oint_{S} \overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=q

Taka postać prawa Gaussa oznacza, że strumień wektora \overrightarrow{D}\, pochodzi tylko od ładunków swobodnych (na powierzchni przewodnika). Z porównania wzorów wynika, że wprowadzenie wektora indukcji umożliwia nam pominięcie po prawej stronie prawa Gaussa kłopotliwego ładunku indukowanego w dielektryku i uwzględnienie jego wpływu na natężenie pola w dielektryku poprzez wprowadzenie po lewej stronie równania względnej przenikalności elektrycznej \varepsilon_r\,. Istotna różnica między wektorami \overrightarrow{E}\, i \overrightarrow{D}\, polega również na tym, że na granicy przewodnika z dielektrykiem występuje skok wartości wektora natężenia pola, natomiast wartość wektora indukcji zmienia się w sposób ciągły.

Należy dodać, że podany powyżej związek między wektorem natężenia pola i wektorem indukcji elektrycznej jest słuszny dla dielektryków izotropowych; istnieją dielektryki dla których związek ten staje się bardziej skomplikowany.


Enlarge
11.8 Ruch ładunku w polu elektrycznym

Na ładunek punktowy q\, pole elektryczne o natężeniu \overrightarrow{E}\, działa siłą \overrightarrow{F}=q\cdot \overrightarrow{E}\, . Skutkiem działania siły jest zmiana prędkości oraz energii kinetycznej. Rozważmy typowe przypadki:

  • Pole jednorodne. Siła ma stałą wartość, kierunek i zwrot. Pod wpływem takiej siły ładunek może się poruszać ruchem jednostajnie zmiennym prostoliniowo (wzdłuż linii sił pola) lub po paraboli, w zależności od orientacji wektora prędkości początkowej.
  • Pole wytworzone przez ładunek punktowy. W tym przypadku siła jest siłą centralną, przyciągającą lub odpychającą. Można udowodnić, że w polu siły centralnej ładunek może się poruszać po krzywych stożkowych: hiperboli, paraboli, elipsie lub okręgu, w zależności od wartości i orientacji wektora prędkości początkowej (por. ruch masy w polu grawitacyjnym). Oczywiście w przypadku siły odpychającej niemożliwe są tory zamknięte.

Enlarge
11.9 Pojemność elektryczna

Stosunek ładunku wprowadzonego na przewodnik do potencjału wytworzonego na jego powierzchni jest dla danego przewodnika wielkością stałą.

Wielkość tę, określającą zdolność przewodnika do gromadzenia ładunku nazywamy pojemnością elektryczną

\displaystyle C=\frac{Q}{\varphi}

Pojemność elektryczna przewodnika zależy od: kształtu i rozmiarów przewodnika, własności elektrycznych ośrodka w którym znajduje się przewodnik oraz od obecności w pobliżu przewodnika innych przewodników.

Przewodnik lub układ przewodników służący do gromadzenia ładunku nazywamy kondensatorem. W przypadku gdy kondensator składa się z dwóch przewodników, we wzorze określającym pojemność potencjał zastępujemy różnicą potencjałów U\,. Pojemność elektryczną typowych kondensatorów możemy obliczyć korzystając z definicji.

Energia naładowanego kondensatora

Energia zgromadzona w kondensatorze czyli energia pola elektrycznego jest równa pracy wykonanej podczas ładowania kondensatora

\displaystyle W_E=\frac{1}{2}QU=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CU^2

Gęstość energii pola elektrycznego w kondensatorze, czyli energia przypadająca na jednostkę objętości wyraża się wzorem

\displaystyle w_B=\frac{1}{2}\varepsilon_0 \varepsilon_r E^2=\frac{1}{2}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}

Enlarge
11.10 Opis procesów ładowania i rozładowania kondensatora

Ładowanie kondensatora

W chwili początkowej t_0 = 0 kondensator dołączamy do źródła stałego napięcia U_0\,. Zależność od czasu ładunku na kondensatorze, napięcia i natężenia prądu jest opisana przez funkcję eksponencjalną, charakterystyczną dla procesów samorzutnych. O szybkości osiągania maksymalnej wartości ładunku Q_m\,, osiągania napięcia U_0\, oraz zaniku prądu ładowania kondensatora decyduje stała czasowa tego procesu \tau\, , zależna od pojemności kondensatora oraz oporności obwodu.

\displaystyle Q(t)=Q_m(1-e^{-t/{\tau}})
\displaystyle U(t)=U_0(1-e^{-t/{\tau}})
\displaystyle I(t)=I_0e^{-t/{\tau}}
\displaystyle \tau=RC

Funkcje te otrzymujemy rozwiązując równanie opisujące stan obwodu w chwili t\,:

\displaystyle U_0-R\frac{dQ}{dt}-\frac{Q}{C}=0


Rozładowanie kondensatora

W chwili początkowej t_0 = 0 do okładek kondensatora naładowanego ładunkiem Q_0\, dołączamy opornik o oporności R\,. Zależność od czasu ładunku na kondensatorze, napięcia i natężenia prądu jest również opisana przez funkcję eksponencjalną. charakterystyczną dla procesów samorzutnych. O szybkości zaniku ładunku, napięcia oraz prądu rozładowania kondensatora decyduje również stała czasowa tego procesu \tau\, , zależna od pojemności kondensatora oraz oporności opornika.

\displaystyle Q(t)=Q_0e^{-t/{\tau}}
\displaystyle U(t)=U_0e^{-t/{\tau}}
\displaystyle I(t)=I_0e^{-t/{\tau}}
\displaystyle \tau=RC

Funkcje te otrzymujemy rozwiązując równanie opisujące stan obwodu w chwili t\,:

\displaystyle -R\frac{dQ}{dt}-\frac{Q}{C}=0

Materiały do ćwiczeń

Enlarge
11.11 Materiały do ćwiczeń

Metody obliczania wektora natężenia pola i potencjału

Pole elektryczne może być wytworzone przez różne układy ładunków punktowych lub przez ładunek rozłożony w sposób ciągły w pewnym obszarze.

W przypadku gdy pole elektryczne jest wytwarzone przez układ ładunków punktowych, natężenie pola w wybranym punkcie przestrzeni obliczamy jako wektorową sumę natężeń pól wytwarzanych przez poszczególne ładunki, zaś potencjał elektryczny jako skalarną sumę potencjałów. Korzystamy przy tym ze wzorów :

\displaystyle \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_1+\overrightarrow{E}_2+\overrightarrow{E}_3+\cdots
\displaystyle E_i=\frac{Q_i}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}
\displaystyle \varphi=\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3+\cdots
\displaystyle \varphi=\frac{Q_i}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}

W celu obliczenia sumy wektorów wygodne może być wprowadzenie układu współrzędnych i zsumowanie odpowiednich współrzędnych wektorów. Potencjał obliczony w powyższy sposób będzie oczywiście potencjałem względem nieskończoności. Korzystając z definicji można taki potencjał przeliczyć względem dowolnego innego punktu odniesienia.

W przypadku gdy pole elektryczne jest wytwarzone przez ładunek rozłożony w sposób ciągły w pewnym obszarze, do obliczania wektora natężenia pola stosujemy metodę Gaussa lub tzw. metodę superpozycji.

Metoda Gaussa wykorzystuje prawo Gaussa. W tym celu należy ładunek wytwarzający pole otoczyć zamkniętą powierzchnią przechodzącą przez punkt, w którym chcemy obliczyć natężenie pola. Kształt tej powierzchni powinien być taki, żeby obliczenie strumienia wektora natężenia pola elektrycznego przez tę powierzchnię było łatwe, tzn. żeby w każdym punkcie tej powierzchni wartość wektora natężenia była taka sama oraz żeby kąt, jaki tworzy wektor natężenia z wektorem prostopadłym do powierzchni, miał stałą wartość \alpha\,. Taką własność ma zwykle powierzchnia o takiej samej symetrii co pole, a ta z kolei wynika z symetrii ładunku wytwarzającego pole. Wtedy strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez tę powierzchnię jest równy

\displaystyle \Phi_E=EScos\alph

Należy jeszcze obliczyć ładunek Q\, ograniczony powierzchnią Gaussa. Ładunek może być rozłożony w sposób ciągły na pewnej krzywej, powierzchni lub w pewnej objętości. Używamy w takich przypadkach odpowiedniej gęstości ładunku: liniowej \lambda [C/m]\,, powierzchniowej \sigma [C/m2]\, lub objętościowej \rho [C/cm3]\,, która jest ilością ładunku w jednostkowym elemencie danego obszaru. Ładunek Q\, jest sumą ładunku rozłożonego w obszarze otoczonym powierzchnią Gaussa. Po podstawieniu do wzoru

\displaystyle EScos\alph=\frac{1}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}Q
\displaystyle Q=\int_{V} \rho dV

można obliczyć wartość natężenia pola elektrycznego E\,. Znając natężenie pola można obliczyć potencjał, korzystając ze wzoru wyrażającego związek między potencjałem i natężeniem pola, z uwzględnieniem warunku jaki ma spełniać potencjał w stanie odniesienia.

Prawo Gaussa jest oczywiście słuszne dla dowolnego układu ładunków lecz metoda wykorzystująca to prawo daje się zastosować praktycznie tylko w przypadku pola o wyrażnej symetrii (np. kulistej, cylindrycznej).

Metoda superpozycji stosowana jest w takich przypadkach, gdy nie można zastosować metody Gaussa. Ładunek rozłożony w sposób ciągły w pewnym obszarze dzielimy na bardzo małe porcje ładunku dQ\,, tak małe aby mogły być uznane za ładunki punktowe. Natężenie pola w wybranym punkcie przestrzeni obliczamy jako wektorową sumę natężeń pól wytwarzanych przez poszczególne porcje ładunku

\displaystyle dE=\frac{dQ}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}

gdzie r\, jest odległością od danej porcji ładunku do punktu, w którym obliczamy natężenie pola.

Zwykle wprowadzamy układ współrzędnych i sumujemy odpowiednie składowe wektorów \displaystyle d\overrightarrow{E}\,.

Znając natężenie pola można obliczyć potencjał, korzystając ze wzoru wyrażającego związek między potencjałem i natężeniem pola, z uwzględnieniem warunku jaki ma spełniać potencjał w stanie odniesienia. Można też obliczyć potencjał w tym punkcie, jako sumę potencjałów pól wytworzonych przez poszczególne porcje ładunku

\displaystyle \varphi=\int \frac{dQ}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}

Potencjał obliczony w ten sposób będzie oczywiście potencjałem względem nieskończoności. Korzystając z definicji można taki potencjał przeliczyć względem dowolnego innego punktu odniesienia.

Metoda obrazów.

W sytuacjach, w których mamy do czynienia ze zjawiskiem indukcji elektrycznej, powstają zwykle skomplikowane rozkłady ładunków zaindukowanych. Metoda obrazów polega na tym, aby bardziej skomplikowany układ ładunków zastąpić prostszym układem wytwarzającym takie samo pole elektryczne. Układem takim jest zwykle układ ładunków punktowych zwanych ładunkami obrazowymi. Ideę metody można przedstawić w najprostszym przypadku układu składającego się z punktowego ładunku dodatniego +q\, położonego w odległosci d\, od przewodzącej płaszczyzny. Ładunek ten indukuje w przewodzącej płaszczyźnie ładunek ujemny którego gęstość powierzchniowa jest funkcją odległości od punktu P. Powierzchnia przewodząca jest powierzchnią ekwipotencjalną. Układ taki można zastąpić układem dwóch ładunków punktowych: +q\, i jego obrazem o przeciwnym znaku -q\,, położonym symetrycznie względem płaszczyzny. Dla takiego układu ładunków miejsce geometryczne, w którym była przewodząca płaszczyzna, będzie również powierzchnią ekwipotencjalną. Fikcyjny ładunek-obraz wytwarza w górnej półprzestrzeni takie pole elektryczne, jak ładunki zaindukowane na przewodzącej płaszczyźnie.

Grafika:PF_M11_Rys4.png


Enlarge
11.12. Materiały do ćwiczeń

Przykładowe pola elektryczne

Pole elektryczne jednorodne

Jest to pole w którym natężenie pola \displaystyle \overrightarrow{E}\, jest wektorem stałym, tzn. w każdym punkcie pola ma taką samą wartość, kierunek i zwrot. Linie sił pola jednorodnego są zbiorem prostych równoległych. Powierzchnie ekwipotencjalne są zbiorem równoległych płaszczyzn.

Pole elektryczne wytworzone przez ładunek punktowy

Natężenie pola elektrycznego

\displaystyle \overrightarrow{E}(r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}\cdot \frac{\overrightarrow{r}}{r}

Potencjał elektryczny względem nieskończoności

\displaystyle \varphi (r)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}

Siła jaką pole działa na punktowy ładunek q\,

\displaystyle \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}=\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}\cdot \frac{\overrightarrow{r}}{r}

Energia potencjalna oddziaływania pola z punktowym ładunkiem q\,

\displaystyle W_p(r)=q\varphi(r)=\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r}

Praca przesunięcia punktowego ładunku q\, w polu punktowego ładunku Q\,

\displaystyle W(r_1\to r_2)=q[\varphi(r_2)-\varphi(r_1)]=\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2} \right)

Pole wytworzone przez jednorodnie naładowaną dielektryczną kulę

Kula o promieniu R\, i gęstości objętościowej ładunku \rho\, ładunek całkowity :\displaystyle Q=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho

Natężenie pola elektrycznego (obliczone za pomocą metody Gaussa)

\displaystyle \begin{matrix} r>R: & \displaystyle E=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \end{matrix}
\displaystyle \begin{matrix} r<R: & \displaystyle E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0 \varepsilon_r}r \end{matrix} (uwaga: zależność liniowa)

Potencjał (względem \infty\, )

\displaystyle \begin{matrix} r>R: & \displaystyle E=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} \end{matrix}
\displaystyle \begin{matrix} r<R: & \displaystyle \varphi=\frac{\rho}{3\varepsilon_0 \varepsilon_r}\cdot \frac{3R^2-r^2}{2}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}\cdot \frac{3R^2-r^2}{2R^2} \end{matrix} (uwaga: zależność kwadratowa)

Potencjał na powierzchni i w środku kuli

\displaystyle \varphi(R)=\frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}
\displaystyle \varphi(0)=\frac{3}{2}\varphi(R)

Pole wytworzone przez naładowaną płaszczyznę

Pole elektryczne wytworzone przez bardzo dużą płaszczyznę naładowaną równomiernie z gęstością powierzchniową łądunku \sigma\, jest polem jednorodnym, którego linie sił są prostopadłe do płaszczyzny zaś natężenie jest określone wzorem

\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

Wzór ten można łatwo otrzymać za pomocą metody Gaussa.


Enlarge
11.13. Materiały do ćwiczeń

Obliczanie pojemności elektrycznej kondensatorów

Spośród różnych możliwych połączeń kondensatorów wyróżniamy dwa podstawowe - połączenie szeregowe i połączenie równoległe.

Kondensatory uznajemy za układ połączony szeregowo, jeżeli ładunki na tych kondensatorach są jednakowe. W takim układzie kondensatorów ładunek jest dostarczany z zewnątrz tylko do okładek zewnętrznych; ładunki na okładkach wewnętrznych powstają wskutek zjawiska indukcji elektrycznej. Pojemność elektryczną układu kondensatorów połączonych szeregowo obliczamy za pomocą wzoru

\displaystyle \frac{1}{C}=\sum_{i} \frac{1}{C_i}

Kondensatory uznajemy za układ połączony równolegle, jeżeli napięcia na tych kondensatorach są jednakowe. W takim układzie kondensatorów ładunek jest dostarczany z zewnątrz do każdego kondensatora. Pojemność elektryczną układu kondensatorów połączonych równolegle obliczamy ze wzoru

\displaystyle C=\sum_{i} C_i

Układy kondensatorów spotykane w zadaniach są często zagmatwane. Aby obliczyć pojemność takiego układu, staramy się narysować go w prostszy sposób, ustalając które kondensatory są połączone szeregowo a które równolegle. Układ kondensatorów można oczywiście przekształcać tylko w taki sposób, aby rozkład ładunków na kondensatorach nie uległ zmianie. Najczęściej stosowane są dwa sposoby:

  • punkty o tym samym potencjale można połączyć,
  • pojedynczy kondensator można zastąpić dwoma kondensatorami, które następnie można rozłączyć.

Przy analizie połączeń kondensatorów należy zwracać uwagę na symetrię układu, która ułatwia np. dostrzeżenie punktów o tym samym potencjale.

Są też oczywiście układy kondensatorów, które nie są połączone ani szeregowo, ani równolegle. Korzystając z definicji można obliczyć pojemność elektryczną dowolnego kondensatora lub układu kondensatorów. Należy obliczyć ładunek jaki dopłynie do kondensatora (układu kondensatorów) po podłączeniu do źródła ustalonego napięcia. Ładunek ten będzie proporcjonalny do napięcia, a współczynnik proporcjonalności to pojemność kondensatora (układu kondensatorów) Q=C\cdot U_0.

Do obliczania ładunku Q\, wykorzystywane są dwa podstawowe prawa fizyczne:

  • zasada zachowania ładunku,
  • w polu elektrycznym suma zmian potencjału na drodze zamkniętej jest równa zeru.

Za pomocą tej metody można obliczyć pojemność dowolnego układu kondensatorów, bez konieczności ustalania jak są połączone kondensatory, a więc nawet bez znajomości wzorów na łączenie szeregowe, równoległe, łączenia w trójkąt i w gwiazdę, ...


Enlarge

Zadania

1. Walec z dielektryka (\varphi_r)\, o promieniu R\, został naładowany z gęstością objętościową \rho\,. Znaleźć zależność natężenia, indukcji i potencjału pola elektrycznego od odległości r\, od osi walca w następujących przypadkach:

a. \rho=const.

b. gęstość ładunku zależy od odległości r\, od osi walca \rho=\rho_0(r/R)

W przypadku potencjału rozważyć następujące przypadki:

i) potencjał jest równy zeru w nieskończoności,

ii) potencjał na powierzchni walca jest równy \varphi_0.


2. Cienki pręt został naładowany ze stałą gęstością liniową \lambda\,. Znaleźć natężenie pola elektrycznego w punkcie P\, położonym w odległości a\, od pręta. Punkt P\, widać z końców pręta pod kątami \alpha\, i \beta\,.


3. Punktowy ładunek q\, umieszczono w odległości d\, od środka przewodzącej kuli o promieniu R\,, naładowanej ładunkiem -Q\,. Obliczyć potencjał na powierzchni kuli oraz siłę działającą na ładunek q\,.


4. Obliczyć pojemność układu pięciu kondensatorów przedstawionego na rysunku. Pojemności kondensatorów wynoszą C\, i kC\,, gdzie k\in R_{+}\, . Przedyskutować zależność pojemności układu od parametru k\,.

Grafika:PF_M11_Zad_Rys1.png


5. Wnętrze sferycznego kondensatora kulistego o promieniach R_1\, i R_2\, wypełnione jest dielektrykiem. Względna przenikalność elektryczna wynosi \varepsilon_1\, obszarze r\in (R_1,R)\, oraz \varepsilon_2\, w obszarze r\in (R,R_2)\, , gdzie r\, oznacza odległość od środka kondensatora. Znaleźć pojemność kondensatora. Obliczyć wartości gęstości powierzchniowej ładunku na powierzchniach o promieniach R_1\, , R\, i R_2\, , gdy kula wewnętrzna jest naładowana ładunkiem Q\,.


Słowa kluczowe

Prawo Coulomba
Pole elektryczne
Natężenie pola elektrycznego
Linie sił pola elektrycznego
Strumień wektora natężenia
Prawo Gaussa
Praca
Energia potencjalna
Potencjał elektryczny
Powierzchnie ekwipotencjalne
Pole źródłowe
Pole zachowawcze
Pole bezwirowe
Pole jednorodne
Dipol elektryczny
Elektryczny moment dipolowy
Zjawisko indukcji elektrycznej
Wektor indukcji elektrycznej
Pojemność elektryczna
Gęstość energii pola elektrycznego
Stała czasowa ładowania kondensatora
Metoda superpozycji
Metoda obrazów