PEE Zadania z rozwiązaniami

From Studia Informatyczne

Zadanie 1

Wyznaczyć rezystancję wypadkową obwodu przedstawionego na rysunku poniżej:

Grafika:PEE_Zadania_rozw_1.jpg


Rozwiązanie

Po likwidacji połączenia szeregowego rezystorów (1\Omega\, i 5\Omega\, oraz 2\Omega\, i 8\Omega\, ) należy zastosować transformację trójkąt-gwiazda lub gwiazda-trójkąt w odniesieniu do wybranych trzech rezystorów obwodu, a następnie wykorzystać uproszczenia wynikające z powstałych połączeń szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działań otrzymuje się R_{we} = 3,18\Omega.



Zadanie 2

Napisać równanie węzłowe dla obwodu z rysunku poniżej. Potencjały węzłów zaznaczono na rysunku w postaci V_1\, i V_2\,. Rozwiązać to równanie wyznaczając potencjały węzłów oraz prądy w gałęziach (prądy rezystancji, pojemności i indukcyjności). Przyjąć: i_1(t)=10\sqrt{2}\sin(\omega t), i_2(t)=5\sqrt{2}\sin(\omega t-90^\circ), e_1(t)=10\sin(\omega t+45^\circ), e_2(t)=20\sqrt{2}\sin(\omega t+90^\circ), R=2\Omega, X_L=\omega L=2\Omega, X_C=1/\omega C=1\Omega

Grafika:PEE_Zadania_rozw_2.jpg


Rozwiązanie

Wartości zespolone:

E_1=5+j5
E_2=20j
I_1=10
I_2=-5j
Z_L=j2
Z_C=-j

Równanie admitancyjne

\begin{bmatrix} 1 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5+j0,5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7,5+j7,5 \\ -10-5j \end{bmatrix}

Z rozwiązania tego macierzowego układu równań mamy

V_1=-14+j18
V_2=-13+j21

Prądy w obwodzie:

I_{R1}=(V_1-E_1)/R=-9,5+j6,5 (prąd rezystora R\, i źródła e_1\,)
I_{R2}=(V_1-V_2)/R=-0,5-j1,5
I_L=(V_2+E_2)/Z_L= 20,5+j6,5
I_C=V_2/Z_C=-21-j13



Zadanie 3

Wyznaczyć rozwiązanie obwodu z rysunku poniżej stosując zasadę superpozycji. Przyjąć i(t)=2\sqrt{2}\sin(\omega t+90^\circ) \ A, e(t)=E=5 \ V, R=1 \Omega, L=1 H, C=0,5 F, \omega=1 {rad \over s}.

Grafika:PEE_Zadania_rozw_3.gif


Rozwiązanie

A) Rozwiązanie obwodu dla składowej stałej (źródło E\,)

Obwód dla składowej stałej przedstawiono na rysunku poniżej (a). Cewka w stanie ustalonym dla składowej stałej jest zwarciem a kondensator przerwą.

Grafika:PEE_Zadania_rozw_3_a.gif


Dla prądu stałego tylko jeden prąd, i_R^{(E)}, jest różny od zera. Jego wartość jest równa

i_R^{(E)}={E \over R}=5
i_L^{(E)}=i_C^{(E)}=0

B) Rozwiązanie obwodu dla składowej zmiennej (źródło i(t)\,)

Obwód dla składowej sinusoidalnej przedstawiono w postaci symbolicznej na (rys. b). Parametry symboliczne obwodu są następujące: I=2e^{j90^\circ}, Z_L=j\omega L=j1, Z_C=1/j\omega C=-j2. Impedancja zastępcza cewki i kondensatora jest równa

Z_{LC}={Z_LZ_C \over Z_L+Z_C}=j2

Napięcie i prądy w obwodzie:

U_{AB}^{(I)}=Z_{LC}I=-4
I_C^{(I)}={U_{AB}^{(I)} \over Z_C}=-j2
I_L^{(I)}={U_{AB}^{(I)} \over Z_L}=j4
I_R^{(I)}=0

Wartości prądów wyrażone w postaci czasowej:

i_C^{(I)}(t)=2\sqrt{2}(t-90^\circ)
i_L^{(I)}(t)=4\sqrt{2}(t+90^\circ)
i_R^{(I)}(t)=0

Całkowite rozwiązanie obwodu jest sumą obu składowych:

i_C(t)=i_C^{(E)}(t)+i_C^{(I)}(t)=2\sqrt{2}(t-90^\circ) \ A
i_L(t)=i_L^{(E)}(t)+i_L^{(I)}(t)=4\sqrt{2}(t+90^\circ) \ A
i_R(t)=i_R^{(E)}(t)+i_R^{(I)}(t)=5 \ A



Zadanie 4

Wyznaczyć rozpływy prądów w obwodzie przedstawionym poniżej:

Grafika:PEE_Zadania_rozw_4.gif


Przyjąć następujące wartości parametrów elementów obwodu: R=1\Omega, L_1=2H, L_2=1H, M=1H oraz i(t)=10\sin(t+45^\circ)A


Rozwiązanie

Postać obwodu po eliminacji sprzężenia magnetycznego przedstawiono poniżej:

Grafika:PEE_Zadania_rozw_4_a.gif

Wielkości symboliczne charakteryzujące elementy obwodu:

I={10 \over \sqrt{2}}e^{j45^\circ}
Z_1=j\omega(L_1-M)=j1
Z_2=j\omega(L_2-M)=0
Z_M=j\omega M=j1

Impedancja zastępcza obwodu wobec Z_2=0

Z={RZ_M \over R+Z_M}={1 \over \sqrt{2}}e^{j45^\circ}

Napięcie U_{AB}

U_{AB}=ZI=j5

Prądy:

I_R={U_{AB} \over R}=j5
I_1=0
I_2=I_3={U_{AB} \over Z_M}=5

Napięcia na elementach równoległych w obwodzie oryginalnym i zastępczym są sobie równe i wynoszą U_{AB}=j5. Można to łatwo sprawdzić w obwodzie oryginalnym obliczając napięcia na cewkach sprzężonych. Mianowicie

U_{L_1}=j\omega L_1I_1+j\omega MI_2
U_{L_2}=j\omega L_2I_2+j\omega MI_1



Zadanie 5

Wyznaczyć prądy w układzie trójfazowym o odbiorniku połączonym w trójkąt przedstawionym na rysunku poniżej. Sporządzić wykres wektorowy prądów i napięć. Przyjąć następujące wartości parametrów elementów: |E_f|=200 V, R=X_L=X_C =10\Omega.

Grafika:PEE_Zadania_rozw_5.gif


Rozwiązanie

Napięcia międzyfazowe:

|E_{mf}|=\sqrt{3}|E_f|
E_{AB}=200\sqrt{3}
E_{BC}=200\sqrt{3}e^{-j120^\circ}
E_{CA}=200\sqrt{3}e^{j120^\circ}

Prądy fazowe odbiornika:

I_{AB}={E_{AB} \over -jX_C}=20\sqrt{3}e^{j90^\circ}
I_{BC}={E_{BC} \over jX_L}=20\sqrt{3}e^{-j210^\circ}
I_{CA}={E_{CA} \over R}=20\sqrt{3}e^{j120^\circ}

Prądy liniowe układu:

I_A=I_{AB}-I_{CA}=17,32+j4,64
I_B=I_{BC}-I_{AB}=-30-j17,32
I_C=I_{CA}-I_{BC}=12,68+j12,68

Wykres wektorowy prądów i napięć przedstawiony jest poniżej:

Grafika:PEE_Zadania_rozw_5_a.jpg



Zadanie 6

Określić przebieg u_C(t) w stanie nieustalonym w obwodzie po przełączeniu.

Dane:

R_1=100\Omega
R_2=300\Omega
C=1000uF
e(t)=20V

Grafika:PEE_Zadania_rozw_6.jpg


Rozwiązanie

1) Warunki początkowe w obwodzie (stan ustalony przed przełączeniem).

Wobec \omega=0 kondensator stanowi przerwę. Prąd płynie w obwodzie: e-R_1-R_1. Jego wartość:

I={e \over 2R_1}={20 \over 200}=0,1

Napięcie na kondensatorze:

U_{R1}=10
u_C(0^-)=10


2) Stan ustalony w obwodzie po przełączeniu.

Obwód podobny do tego z punktu 1 przy zastąpieniu R_1\, przez R_2\,. Prąd płynie w obwodzie: e-R_1-R_2. Jego wartość:

I={e \over R_1+R_2}={20 \over 400}={1 \over 20}

Napięcie ustalone na kondensatorze:

u_{C_u}(t)=IR_2=15


3) Stan przejściowy (metoda klasyczna).

Obwód dla stanu przejściowego pokazuje rysunek:

Grafika:PEE_Zadania_rozw_6_a.jpg

Z prawa prądowego Kirchhoffa:

C{du_{C_p} \over dt}=-{u_{C_p} \over R_1}-{u_{C_p} \over R_2}

Po wstawieniu liczb otrzymuje się

10^{-3}{du_{C_p} \over dt}=-u_{C_p}({1 \over 100}+{1 \over 300})
{du_{C_p} \over dt}=-u_{C_p}(10+3,33)=-13,33U_{C_p}
s=-13,33
u_{C_p}(t)=Ae^{-13,33t}


4) Rozwiązanie pełne

u_C(t)=u_{C_u}(t)+u_{C_p}(t)=15+Ae^{-13,33t}

Z warunku początkowego

10=15+A \ \Rightarrow \ A=-5

Przebieg napięcia u_C(t)

u_C(t)=15-5e^{-13,33}



Zadanie 7

Wyznaczyć przebiegi u_C(t) oraz i_L(t) w stanie nieustalonym w obwodzie po przełączeniu.

Dane:

i(t)=2\sqrt{2}\sin(t+90^\circ)
R = 1/2\Omega
L = 1 H
C = 1 F

Grafika:PEE_Zadania_rozw_7.gif


Rozwiązanie

Warunki początkowe – stan ustalony w obwodzie przed przełączeniem

Grafika:PEE_Zadania_rozw_7_a.jpg

I=2e^{j90^\circ}
Z_L=j\omega L=j1
U_L=I{Z_LR \over Z_L + R}=2e^{j90^\circ}{j \cdot 0,5 \over j+0,5}=2e^{j90^\circ}{0,5e^{j90^\circ} \over 1,12e^{j63,4^\circ}}=0,89e^{j116,6^\circ}
I_L={U_L \over Z_L}=0,89e^{j26,6^\circ}
i_L(t)=0,89\sqrt{2}\sin(t+26,6^\circ)
i_L(0^-)=0,56 A
u_C(0^-)=0 V


Stan ustalony po przełączeniu

Grafika:PEE_Zadania_rozw_7_b.jpg

Z_C=-j{1 \over \omega C}=-j1
Z_{LC}={Z_CZ_L \over Z_C+Z_L}=\infty
U_{C_u}=IR=1e^{j90^\circ} \ \Rightarrow \ u_{C_u}(t)=\sqrt{2}\sin(t+90^\circ) \ \Rightarrow \ u_{C_u}(0^+)=\sqrt{2}
I_{L_u}={U_{C_u} \over Z_L}={1e^{j90^\circ} \over j1}=1 \ \Rightarrow \ i_{L_u}(t)=\sqrt{2}\sin(t) \ \Rightarrow \ i_{L_u}(0^+)=0


Stan przejściowy

Warunki początkowe dla stanu przejściowego

u_{C_p}(0^+)=u_C(0^-)-u_{C_u}(0^+)=0-1,41=-1,41 V
i_{L_p}(0^+)=i_L(0^-)-i_{L_u}(0^+)=0,56-0=0,56 A

Obwód w stanie przejściowym (schemat operatorowy)

Grafika:PEE_Zadania_rozw_7_c.jpg

Z metody potencjałów węzłowych

U_{C_p}(s)={{-0,56 \over s}-1,41 \over 2+s+{1 \over s}}={-(1,41s+0,56) \over s^2+2s+1}={-1,41s-0,56 \over (s+1)^2}
u_{C_p}(t)=\lim_{s \to -1}{d \over ds} \left [ {-1,41s-0,56 \over (s+1)^2}e^{st}(s+1)^2 \right ]
u_{C_p}(t)=te^{st}(-1,41s-0,56)+e^{st}(-1,41)|_{s=-1}=0,85te^{-t}-1,41e^{-t}

Prąd kondensatora

i_{c_p}(t)=C{du_{C_p} \over dt}=0,85[e^{-t}-te^{-t}]+1,41e^{-t}=2,26e^{-t}-0,85te^{-t}

Prąd rezystora

i_{R_p}(t)={u_{C_p} \over R}=1,7te^{-t}-2,82e^{-t}

Prąd cewki

i_{L_p}(t)=-i_{R_p}(t)-i_{C_p}(t)=0,56e^{-t}-0,85te^{-t}

Pełne rozwiązanie

i_L(t)=i_{L_u}(t)+i_{L_p}(t)=\sqrt{2}\sin t+0,56e^{-t}-0,85te^{-t}
u_C(t)=u_{C_u}(t)+u_{C_p}(t)=\sqrt{2}\sin(t+90^\circ)+0,85te^{-t}-1,41e^{-t}



Zadanie 8

Wyznaczyć transmitancję napięciową układu przedstawionego na rysunku poniżej. Określić odpowiedź impulsową i skokową.

Dane:

R_1 = 5 \Omega
R_2 = 10 \Omega
C = 0,1 F

Grafika:PEE_Zadania_rozw_8.jpg


Rozwiązanie

Impedancja zastępcza R_2C:

Z_2(s)={R_2{1 \over sC} \over R_2+{1 \over sC}}={10{10 \over s} \over 10+{10 \over s}}={10 \over s+1}

Transmitancja napięciowa:

T_v(s)={Z_2 \over R_1+Z_2}={{10 \over s+1} \over 5+{10 \over s+1}}={10 \over 5s+5+10}={10 \over 5s+15}={2 \over s+3}

Odpowiedź impulsowa:

h(t)=L^{-1}[T_v(s)]=2e^{-3t}

Odpowiedź skokowa:

y(t)=L^{-1}[{T_v(s) \over s}]=L^{-1}[{2 \over s(s+3)}]={2 \over 3}-{2 \over 3}e^{-3t}



Zadanie 9

Określić opis admitancyjny czwórnika. Na tej podstawie określić transmitancję napięciową obwodu.

Dane:

R_1 = 2 \Omega
R_2 = 5 \Omega
C = 0,5 F
L = 1 H

Grafika:PEE_Zadania_rozw_9.jpg


Rozwiązanie

Z równań węzłowych obwodu względem punktu odniesienia mamy:

\begin{bmatrix} {1 \over R_1}+{1 \over sL} & -{1 \over sL} \\ -{1 \over sL} & {1 \over R_2}+sC+{1 \over sL} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}


\begin{bmatrix} 0,5+1/s & -1/s \\ -1/s & 0,2+0,5s+1/s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}


Transmitancja napięciowa obliczana przy założeniu I_2 = 0:

I_2=0=-{1 \over s} V_1+(0,2+0,5s+ 1/s)V_2


Stąd:

{V_2 \over V_1}={1/s \over 0,2+0,5s + 1/s}


T_v(s)={V_2 \over V_1}={2 \over s^2+0,4s+2)}



Zadanie 10

Stała dyfuzji elektronów w temperaturze 27 ^oC dla krzemu jest równa D_n = 35·10^{-4} m^2 s^{-1}. Obliczyć ruchliwość elektronów oraz stałą dyfuzji i ruchliwość dziur.


Rozwiązanie

Zależność Einsteina wiąże ruchliwość ładunków ze stałą dyfuzji wzorem:

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10a.jpg

W temperaturze 300 K napięcie UT jest równe

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10b.jpg

Ruchliwość ładunku ujemnego jest zatem równa

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10c.jpg

Ponieważ dla krzemu obowiązuje zależność

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10d.jpg

to ruchliwość ładunku dodatniego można obliczyć ze wzoru

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10e.jpg.

Wykonując podstawienie

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10f.jpg

Stała dyfuzji dziur

Grafika:PEE_Zadania_rozw_10g.jpg

Po podstawieniu D_p = 105·10^{-2} m^2 s^{-1}



Zadanie 11

Dla termistora, którego charakterystykę R = f(T) przedstawiono na rysunku wyznaczyć temperaturowy współczynnik rezystancji d_{20}.

Grafika:PEE_Zadania_rozw_11.jpg


Rozwiązanie

Temperaturowy współczynnik rezystancji termistora jest równy

Grafika:PEE_Zadania_rozw_11a.jpg

dla R_T = R_{20} = 100 \Omega


Grafika:PEE_Zadania_rozw_11b.jpg


Nachylenie stycznej do wykresu funkcji RT = f(t) w punkcie Q(20, 100) można oszacować z zależności:


Grafika:PEE_Zadania_rozw_11c.jpg



Zadanie 12

Wyznaczyć przyrost prądu kolektora w tranzystorze bipolarnym spowodowany przyrostem temperatury od 25 ^oC do 100 ^oC w układzie jak na rysunku. Dane: współczynnik wzmocnienia prądowego tranzystora w temperaturze 25 ^oC \beta_{25} = 330 oraz w temperaturze 100 ^oC \beta_{100} = 440, prąd I_{CB0(25)} = 200 pA, U_{CC} = 30 V, R_B = 430 k \Omega, R_E = 1 k\Omega, R_C dowolne.


Grafika:PEE_Zadania_rozw_12a.jpg


Rozwiązanie

Przyrost wartości prądu kolektora można obliczyć stosując równanie stabilizacji punktu pracy

Grafika:PEE_Zadania_rozw_12b.jpg

Współczynniki stabilizacji dla układu jak na rysunku są równe

Grafika:PEE_Zadania_rozw_12c.jpg

Po podstawieniu danych

S_i = 187,5

S_u = -0,434·10^{-3} S

S_{\beta} = 0,022

Przyrost prądu I_{CB0} można wyznaczyć z zależności

Grafika:PEE_Zadania_rozw_12d.jpg

Przyrost napięcia baza-emiter oblicz się wiedząc, że współczynnik temperaturowy tego napięcia jest równy -2,3 \frac{mV}{^oC}

Grafika:PEE_Zadania_rozw_12e.jpg

Przyrost wartości współczynnika wzmocnienia prądowego \beta_0

Grafika:PEE_Zadania_rozw_12f.jpg

Podstawiając obliczone wartości do równania stabilizacji otrzymuje się

Grafika:PEE_Zadania_rozw_12g.jpg