PEE Moduł 7

From Studia Informatyczne


Podstawowe pojęcia stanów nieustalonych

Analizując przebiegi czasowe procesów zachodzących w obwodach elektrycznych należy wyróżnić dwa stany:

  • stan ustalony charakteryzujący się tym, że postać odpowiedzi jest identyczna z postacią wymuszenia (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne odpowiedź ustalona jest również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć innej fazie początkowej i innej amplitudzie)
  • stan nieustalony, w którym przebiegi czasowe odpowiedzi mają inny charakter niż wymuszenie (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie stałe odpowiedź obwodu jest wykładniczo malejąca czy oscylacyjna).

Stan nieustalony w obwodzie RLC powstaje jako nałożenie się stanu przejściowego (zwykle zanikającego) i stanu ustalonego przy zmianie stanu obwodu spowodowanego przełączeniem. Może on wystąpić w wyniku przełączeń w samym obwodzie pasywnym (zmiana wartości elementów, zwarcie elementu, wyłączenie elementu) lub w wyniku zmiany sygnałów wymuszających (parametrów źródeł napięciowych i prądowych, w tym także załączeniem lub wyłączeniem źródła). Dowolną zmianę w obwodzie nazywać będziemy komutacją. Zakładać będziemy, że czas trwania komutacji jest równy zeru, co znaczy że wszystkie przełączenia odbywają się bezzwłocznie.

W obwodach elektrycznych proces komutacji modeluje się zwykle przy pomocy wyłączników i przełączników wskazujących na rodzaj przełączenia. Chwilę czasową poprzedzającą bezpośrednio komutację oznaczać będziemy w ogólności przez (w szczególności przez ), natomiast chwilę bezpośrednio następującą po komutacji przez (w szczególności przez ), gdzie jest chwilą przełączenia (komutacji).


Z podstawowych praw rządzących obwodami elektrycznymi wynika, że w rezultacie przełączenia zachowana zostaje ciągłość sumy ładunków kondensatorów dołączonych do węzła. Oznacza to, że suma ładunków kondensatorów dołączonych do takiego węzła przed przełączeniem jest równa sumie ładunków kondensatorów dołączonych do tych węzłów po przełączeniu. Zasada ta wynika stąd, że do danego węzła nie może dopłynąć skończony ładunek w zerowym czasie.

Podobnie ciągłość zachowuje suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka. Suma strumieni skojarzonych cewek należących do oczka przed przełączeniem jest równa sumie strumieni skojarzonych cewek należących do tego oczka po przełączeniu.

Prawo komutacji dotyczące kondensatorów

Suma ładunków kondensatorów dołączonych do danego węzła nie może zmienić się w sposób skokowy na skutek komutacji, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili t_0=0\,)

\Sigma_iq_i(0^-)=\Sigma_iq_i(0^+)

Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają oczka złożone z samych kondensatorów oraz idealnych źródeł napięcia to biorąc pod uwagę zależność q_C=Cu_C prawo komutacji dla kondensatorów można zapisać w uproszczonej postaci uzależnionej od napięć tych kondensatorów

u_C(0^-)=u_C(0^+)

Ostatnia postać prawa komutacji dotycząca napięcia na kondensatorze jest najczęściej używana w praktyce.

Prawo komutacji dotyczące cewek

Suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka nie może ulec skokowej zmianie na skutek przełączenia w obwodzie, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili t_0=0\,)

\Sigma_i\psi_i(0^-)=\Sigma_i\psi_i(0^+)

Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają węzły (dokładniej rozcięcia [5]) do których dołączone są wyłącznie same cewki i źródła prądowe to biorąc pod uwagę, że \psi=Li_L prawo ciągłości strumieni może być uproszczone do ciągłości prądu cewek, co zapiszemy w postaci

i_L(0^-)=i_L(0^+)

Jest to najczęściej w praktyce używana postać pierwszego prawa komutacji w odniesieniu do cewki.


Przy założeniu, że chwilę komutacji uważać będziemy za chwilę początkową analizy obwodu w stanie nieustalonym (t_0=0) istotnym problemem w analizie obwodu jest wyznaczenie warunków początkowych procesu, czyli wartości napięć na kondensatorach i prądów cewek w chwili przełączenia (u nas i_L(0^-) oraz u_C(0^-) ). Zwykle przyjmuje się, że przełączenie następuje ze stanu ustalonego obwodu. Warunki początkowe wynikają wówczas z wartości ustalonych tych wielkości w chwili tuż przed przełączeniem (t_0=0^-) . Warunki początkowe mogą być przy tym zerowe, jeśli prądy wszystkich cewek i napięcia wszystkich kondensatorów w chwili przełączenia miały wartości zerowe. Znajomość warunków początkowych w obwodzie jest niezbędna przy wyznaczaniu rozwiązania obwodu w stanie nieustalonym.

Wyznaczenie stanu początkowego napięcia kondensatora i prądu cewki w obwodzie sprowadza się do

  • rozwiązania stanu ustalonego obwodu przed przełączeniem (przy wymuszeniach sinusoidalnych metodą symboliczną),
  • określenia postaci czasowej tego rozwiązania dla prądu cewki i_L(t) i napięcia kondensatora u_C(t) oraz
  • wyznaczenia wartości tego rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej przełączenia (u nas i_L(0^-) oraz u_C(0^-)).

Opis obwodu elektrycznego za pomocą równań stanu

Wykorzystując opis ogólny elementów RLC oraz prawa Kirchhoffa łatwo pokazać, że liniowe obwody elektryczne RLC w stanach nieustalonych mogą być opisane przez równania różniczkowe i całkowe. Porządkując te równania i eliminując zmienne nie będące prądami cewek i napięciami kondensatorów można uzyskać tak zwaną postać kanoniczną opisu w postaci układu równań różniczkowych, który można przedstawić następująco


\frac{dx_1}{dt}=a_1_1x_1+a_1_2 x_2+ ...+ a_1_n x_n + f_1(t)
\frac{dx_2}{dt}=a_2_1x_1+a_2_2 x_2+ ...+ a_2_n x_n + f_2(t)
\cdots
\frac{dx_n}{dt}=a_n_1x_1+a_n_2 x_2+ ...+ a_n_n x_n + f_n(t)


Zmienne x_1, x_2, \cdots, x_n występujące w równaniach oznaczają prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne stanu). W opisie obwodu operuje się zwykle minimalnym zbiorem zmiennych stanu, które są niezbędne dla wyznaczenia pozostałych wielkości w obwodzie. Liczba zmiennych stanu n zależy od liczby reaktancji w obwodzie i jest najczęściej równa (w szczególnych przypadkach mniejsza) sumie liczby kondensatorów i cewek włączonych w obwodzie. Stałe współczynniki a_i_j\, występujące w równaniu stanowią kombinacje wartości parametrów R, L, C, M elementów pasywnych obwodu oraz parametrów źródeł sterowanych. Funkcje czasu f_1(t), f_2(t), ..., f_n(t) związane są z wymuszeniami napięciowymi i prądowymi w obwodzie.


W przypadku obwodów liniowych funkcje f_i(t) występujące po prawej stronie wzoru są liniowymi funkcjami wymuszeń prądowych i napięciowych. Oznaczając wymuszenia prądowe bądź napięciowe w ogólności przez u_i (i=1, 2,...,m) można opis stanowy obwodu przedstawić w postaci
\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)

gdzie \mathbf{A}\, jest macierzą stanu o wymiarach n×n\, zawierającą elementy a_i_j\,, a macierz \mathbf{B}\, o wymiarach n×m\, składa się ze współczynników uzależniających pochodną zmiennych stanu od wektora wymuszeń \mathbf{u}\,.

Jest to ogólna postać opisu stanowego obwodu liniowego RLC. Reprezentuje ona układ n równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Elementy macierzy \mathbf{A} i \mathbf{B} zależą wyłącznie od wartości parametrów obwodu. Elementy wektora u stanowią źródła niezależne prądu i napięcia w obwodzie. Zmienne stanu to niezależne napięcia na kondensatorach i prądy cewek.

Równanie nazywane jest macierzowym równaniem stanu obwodu elektrycznego. Rozwiązanie tego równania pozwala wyznaczyć przebiegi czasowe zmiennych stanu tworzących wektor \mathbf{x}(t)\,. Jeśli dodatkowo interesują nas inne zmienne w obwodzie, na przykład prądy i napięcia rezystorów, prądy kondensatorów czy napięcia na cewkach to należy sformułować drugie równanie, tzw. równanie odpowiedzi \mathbf{y}(t)\,, które uzależnia poszukiwane wielkości od zmiennych stanu i wymuszeń. Równanie to zapiszemy w postaci

\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Du}(t)

Równania tworzą parę równań stanu


\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)
\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Du}(t)


która w pełni opisuje stan obwodu przy założeniu, że znane są warunki początkowe \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t0), gdzie t_0\, oznacza chwilę przełączenia. W przypadku ogólnym rozwiązanie równania stanu przyjmuje postać

\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)}\mathbf{Bu}(\tau)d\tau

Zależność powyższa stanowi rozwiązanie ogólne, które dla konkretnych wartości funkcji wymuszających zadanych wektorem u wyznacza rozwiązanie czasowe dla zmiennych stanu. We współczesnych metodach numerycznych równania stanu stanowią punkt wyjścia w określaniu dokładnego rozwiązania równań liniowych lub przybliżonego dla zlinearyzowanych równań stanu.


Kolejny przykład pokazuje jak napisać układ równań stanu dla obwodu elektrycznego. Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rysunku obok wynikają następujące równania
e=Ri_C+u_C+u_L
i=i_L=L-i_C

Biorąc pod uwagę, że

u_L=L\frac{di_L}{dt}, i_C=C\frac{du_C}{dt}

równania Kirchhoffa można przekształcić do równoważnej postaci równań różniczkowych

e=R(i_L-i)+L\frac{di_L}{dt}+U_C
C\frac{du_C}{dt}=i_L-i

które przyjmują uporządkowaną formę odpowiadającą postaci

\frac{di_L}{dt}=-\frac{R}{L}i_L-\frac{1}{L}u_C+\frac{1}{L}e+\frac{R}{L}i
\frac{du_C}{dt}=\frac{1}{C}i_L-\frac{1}{C}i

Równania powyższe można zapisać w postaci zależności macierzowej równania stanu, w której zmiennymi stanu są prąd cewki i napięcie kondensatora
\begin{bmatrix}\frac{di_L}{dt}\\ \frac{du_C}{dt}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-R}{L}&\frac{-1}{L} \\ \frac{1}{C}& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_L\\u_C\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{1}{L}&\frac{R}{L}\\ 0& \frac{-1}{C}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e\\i\end{bmatrix}

Wektor stanu \mathbf{x} oraz wektor wymuszeń \mathbf{u} są równe

\mathbf{x}=\begin{bmatrix}i_l\\u_C\end{bmatrix}, \mathbf{u}=\begin{bmatrix}e\\i\end{bmatrix}

Obwód liniowy zawierający dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje się więc macierzowym równaniem stanu drugiego rzędu. Macierz stanu \mathbf{A} jest macierzą również drugiego rzędu o współczynnikach uzależnionych od wartości rezystancji, pojemności oraz indukcyjności. Macierz \mathbf{B} zawiera dwa wiersze (liczba zmiennych stanu) oraz dwie kolumny (liczba wymuszeń w obwodzie). Przyjmując w analizie wartości liczbowe obwodu: R=2\Omega, L=1H, C=1F otrzymuje się macierz stanu \mathbf{A} o postaci

\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\end{bmatrix}

Rozwiązanie równań różniczkowych metodą klasyczną

W przypadku, gdy interesuje nas tylko jedna wybrana zmienna (jeden prąd bądź jedno napięcie w obwodzie) układ równań stanu pierwszego rzędu można sprowadzić do jednego równania różniczkowego n-tego rzędu względem tej zmiennej


a_n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}x}{dt^{n-2}}+...+a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=f(t)


Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego, podobnie jak w metodzie zmiennych stanu, można przedstawić w postaci sumy dwu składowych: ustalonej x_u(t) wymuszonej przez źródło oraz składowej przejściowej x_p(t) , zwanej również składową swobodną, pochodzącą od niezerowych warunków początkowych dla tej składowej. Składowa wymuszona stanowi rozwiązanie ustalone obwodu po komutacji i może być wyznaczona metodą symboliczną. Składowa przejściowa charakteryzuje fizycznie procesy zachodzące w obwodzie elektrycznym na skutek niezerowych warunków początkowych przy braku wymuszeń zewnętrznych f(t)=0. Odpowiada ona obwodowi, w którym wyeliminowano wszystkie zewnętrzne źródła wymuszające (źródła napięciowe zwarte a prądowe rozwarte).


Składowa przejściowa zależy jedynie od warunków początkowych odniesionych do tej składowej (napięć początkowych kondensatorów i prądów początkowych cewek), struktury obwodu i wartości parametrów tego obwodu. Dla obwodów elektrycznych zawierających elementy rozpraszające energię (rezystancje) składowa przejściowa, jak zostanie pokazane później, zanika z biegiem czasu do zera. Równanie składowej przejściowej otrzymuje się zakładając wymuszenie f(t)\, we wzorze równe zeru i zastępując zmienną x(t)\, poprzez jej składową przejściową x_p(t)\, . Otrzymuje się wówczas równanie różniczkowe jednorodne o postaci


a_n\frac{d^nx_p}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x_p}{dt^{n-1}}+a_{n-2}\frac{d^{n-2}x_p}{dt^{n-2}}+...+a_1\frac{dx_p}{dt}+a_0x_p=0


Rozwiązanie powyższego równania jednorodnego uzyskuje się za pośrednictwem równania charakterystycznego


a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+...+a_1s+a_0=0


Jest to wielomian n-tego rzędu zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych a_i\, Pierwiastki s_i (i=1, 2,..., n) tego wielomianu stanowią bieguny układu.


W tym punkcie ograniczymy się jedynie do przypadku biegunów pojedynczych. Przy takim założeniu rozwiązanie równania dla składowej przejściowej zapiszemy w postaci
x_p(t)=\Sigma_{i=1}^n A_i e^{s_it}

W rozwiązaniu tym współczynniki A_i\, są stałymi całkowania, które należy wyznaczyć wykorzystując znajomość warunków początkowych w obwodzie (napięć kondensatorów i prądów cewek w chwili komutacji t=0\,). Z ciągłości prądów cewek i napięć kondensatorów wynika następująca zależność

x(0^-)=x(0^+)

Pisząc tę równość dla wszystkich n zmiennych stanu otrzymuje się n równań algebraicznych z n nieznanymi współczynnikami . Z rozwiązania tego układu wyznacza się wszystkie współczynniki A_i\, i podstawia do wzoru ogólnego . Po wyznaczeniu rozwiązania obwodu dla składowej ustalonej i przejściowej rozwiązanie całkowite jest sumą obu rozwiązań cząstkowych, to znaczy

x(t)=x_u(t)+x_p(t)

Powyższa procedura rozwiązania stanu nieustalonego w obwodzie poprzez rozwiązanie układu równań różniczkowych wyższego rzędu nosi nazwę metody klasycznej. Przy większej liczbie zmiennych jest ona dość uciążliwa w obliczeniach, gdyż wymaga pracochłonnego wyznaczania rozwiązań dla każdej składowej przejściowej zmiennych stanu. Dlatego w praktyce stosuje się zwykle tylko do równań pierwszego rzędu. W tej pracy pokażemy jej zastosowanie w rozwiązaniu stanu nieustalonego w obwodzie RL oraz RC przy załączeniu napięcia stałego.


Stan nieustalony w szeregowym obwodzie RL przy załączeniu napięcia stałego

Rozpatrzmy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RL przy zerowych warunkach początkowych i załączeniu napięcia stałego jak to zostało w symboliczny sposób przedstawione na rysunku Zerowe warunki początkowe obwodu oznaczają, że i_L(0^-)=0.

Po przełączeniu w obwodzie RL powstaje stan nieustalony, który po określonym czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego wynikającego z nowego układu połączeń elementów. Stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego.

Stan ustalony w obwodzie RL przy wymuszeniu stałym oznacza, że cewka stanowi zwarcie. Na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa prąd ustalony tej cewki jest równy

i_{Lu}(t) = \frac{E}{R}

Przechodząc do obliczenia stanu przejściowego należy wyeliminować zewnętrzne źródło zasilające. Ponieważ jest to źródło napięciowe, należy go zewrzeć. Schemat obwodu dla stanu przejściowego po zwarciu źródła zasilającego, dla którego odpowiedź została właśnie obliczona, ma postać przedstawioną na rysunku. Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu przy uwzględnieniu
u_L_p=\frac{di_{Lp}}{dt}

otrzymuje się równanie różniczkowe jednorodne (brak wymuszenia) dla składowej przejściowej o postaci

L\frac{di_{Lp}}{dt}+Ri_{Lp}=0

Równanie charakterystyczne odpowiadające powyższemu równaniu różniczkowemu przyjmuje postać

Ls+R=0

Równanie to posiada tylko jeden pierwiastek

s_1=-\frac{R}{L}

Wykorzystując wzór na rozwiązanie stanu przejściowego dla prądu w obwodzie RL zapiszemy w postaci

i_{Lp}=A_1e^{-\frac{t}{L/R}}

w której współczynnik A_1 jest nieznaną stałą całkowania. Rozwiązanie całkowite obwodu jest sumą składowej ustalonej i przejściowej. W związku z powyższym prąd cewki określony jest następującym wzorem

i_L(t)=i_{Lu}(t)+i_{Lp}(t)=\frac{E}{R}+A_1e^{-\frac{t}{L/R}}

Z prawa komutacji dla cewki wynika, że i_L(0^-)=i_L(0^+), stąd wobec i_L(0^-)=0 otrzymuje się
0=\frac{E}{R}+A_1

oraz

A_1=-E/R

Stąd rozwiązanie określające przebieg prądu cewki w stanie nieustalonym przyjmuje postać

i_L(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{t}{L/R}})

Wprowadzając pojęcie stałej czasowej \tau\, obwodu RL

\tau=\frac{L}{R}

rozwiązanie na prąd cewki w stanie nieustalonym można zapisać w postaci

i_L(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})

Jednostką stałej czasowej jest sekunda (jednostką indukcyjności jest 1H = 1\Omega s a jednostką rezystancji 1\Omega). Łatwo wykazać, że po upływie trzech stałych czasowych (t=3\tau ) prąd cewki uzyskuje prawie 95% swojej wartości ustalonej a po 5 stałych czasowych aż 99,3%. Oznacza to, że praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.

Na rysunku poniżej przedstawiono przebiegi prądu cewki dla różnych wartości stałej czasowej


Grafika:PEE_M7_anim_13.gif


Jest to przebieg typu wykładniczego, w którym stan przejściowy trwa tym dłużej im dłuższa jest stała czasowa. Praktycznie po 5 stałych czasowych stan przejściowy w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.


Wyznaczenie rozwiązania na prąd w stanie nieustalonym w obwodzie RL pozwala na określenie przebiegu czasowego pozostałych wielkości w obwodzie. Korzystając z zależności definicyjnej cewki otrzymuje się
u_L(t)=L\frac{di_L(t)}{dt}=Ee^{-\frac{t}{L/R}}

Przebieg napięcia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL przedstawiono na rysunku


Grafika:PEE_M7_anim_14xx.gif


Napięcie na rezystorze R, jak wynika z prawa Ohma, jest proporcjonalne do prądu

u_R(t)=Ri_L(t)=E(1-e^{-\frac{t}{L/R}})

Stałą czasową obwodu RL można wyznaczyć na podstawie zarejestrowanego przebiegu nieustalonego bez znajomości wartości rezystancji i indukcyjności. Zauważmy, że dla prąd cewki przyjmuje wartość


i_L(\tau)=\frac{E}{R}(1-e^{-1})=0,632\frac{E}{R}


Oznacza to, że wartość prądu i_L(t)|_{t=\tau}=0,632\frac{E}{R} wyznacza na osi odciętych wartość stałej czasowej. Sposób wyznaczania stałej czasowej zilustrowany jest na rysunku


Grafika:PEE_M7_anim_13_b.gif


Stan nieustalony w gałęzi szeregowej RC przy załączeniu napięcia stałego

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RC przy zerowych warunkach początkowych i załączeniu napięcia stałego .

Wobec braku zasilania w obwodzie przed przełączeniem w warunki początkowe obwodu są zerowe, co oznacza, że u_{C}(0^-)=0.

Po przełączeniu powstaje w obwodzie stan nieustalony, który po pewnym czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego. Stan nieustalony obwodu jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego. Stan ustalony w obwodzie RC przy wymuszeniu stałym (\omega=0) oznacza, że kondensator stanowi przerwę

Zgodnie z prawem napięciowym Kirchhoffa napięcie ustalone kondensatora jest równe

u_{Cu}(t)=E

Schemat obwodu dla stanu przejściowego (po zwarciu źródła zasilającego, dla którego odpowiedź została właśnie obliczona) ma postać przedstawioną na rysunku Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu i uwzględniając, że i_{Cp}=C\frac{du_{Cp}}{dt}, otrzymuje się równanie różniczkowe jednorodne o postaci
RC\frac{du_{Cp}}{dt}+u_{Cp}=0

Równanie charakterystyczne odpowiadające mu przyjmuje więc postać

RCs+1=0

Równanie to posiada jeden pierwiastek s_1=-1/(RC) W związku z powyższym jego rozwiązanie wynikające ze wzoru przyjmie uproszczoną postać

u_{Cp}=A_1e^{s_1t}=A_1e^{-\frac{t}{RC}}

W rozwiązaniu tym współczynnik A_1\, jest stałą całkowania, którą należy wyznaczyć korzystając z prawa komutacji. Rozwiązanie całkowite będące sumą składowej ustalonej i przejściowej przybiera więc postać

u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}=E+A_1e^{-\frac{t}{RC}}

Z prawa komutacji dla kondensatora wynika, że u_C(0^-)=u_C(0^+) , stąd wobec u_C(0^-)=0 otrzymuje się
0=E+A_1

oraz

A_1=-E

Rozwiązanie czasowe określające przebieg napięcia na kondensatorze przyjmuje więc postać

u_C(t)=E(1-e6{-\frac{t}{RC}})

Wprowadzając pojęcie stałej czasowej obwodu RC jako iloczynu rezystancji R i pojemności C

\tau=RC

rozwiązanie na napięcie kondensatora w stanie nieustalonym można zapisać w postaci

u_C(t)=E(1-e^{-\frac{t}{\tau}})

Jak łatwo sprawdzić podstawową jednostką stałej czasowej w obwodzie RC jest również sekunda (jednostką rezystancji jest 1\Omega = 1V/A, a jednostką pojemności jest 1F = 1As/V). Na rysunku przedstawiono przebiegi napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym u_C(t)=E(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) dla różnych wartości stałej czasowej.


Grafika:PEE_M7_anim_17.gif


Im dłuższa stała czasowa tym dłużej trwa stan przejściowy w obwodzie (zanikanie zmian napięcia do zera).


Po określeniu funkcji opisującej przebieg napięcia na kondensatorze można określić przebieg czasowy prądu w obwodzie. Korzysta się przy tym z zależności definicyjnej kondensatora, zgodnie z którą


i_C(t)=C\frac{du_c(t)}{dt}=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}


Przebieg prądu ładowania kondensatora w stanie nieustalonym w obwodzie RC dla różnych stałych czasowych przedstawia rysunek


Grafika:PEE_M7_anim_14.gif


W chwili komutacji występuje skokowa zmiana wartości prądu (prąd kondensatora nie jest objęty komutacyjnym prawem ciągłości). Przebieg prądu kondensatora dąży do wartości ustalonej zerowej (w stanie ustalonym kondensator stanowi przerwę dla prądu). Stała czasowa zmian tego prądu jest identyczna jak napięcia i równa \tau=RC.


Wyznaczyć warunki początkowe w obwodzie przedstawionym na rysunku. Parametry elementów obwodu są następujące: L=1H, C=0,5F, R=1\Omega, e(t)=10\sqrt 2 sin(t+45^o)V, i(t)=2sin(t-45^o)A


Warunki początkowe dotyczą stanu ustalonego przed przełączeniem, w którym w obwodzie działają oba źródła wymuszające. Stosując metodę symboliczną analizy obwodu otrzymujemy

E=10e^{j45^o}
I=\frac{2}{\sqrt 2}e^{-j45^o}
\omega=1
Z_L=j\omega L=j1
Z_C=-j/\omega C=-j2



Równania obwodu w stanie ustalonym
E=Z_LI_L+R(I+I_L)
I_L=\frac{E-RI}{R+Z_L}=7,21e^{j11,31^o}
U_C=Z_CI=\frac{4}{\sqrt 2}e^{-j135^o}


i_L(t)=7,21\sqrt 2sin(t+11,31^o)
u_C(t)=4sin(t-135^o)


Warunki początkowe:

i_L(0^-)=2
u_C(0^-)=-2\sqrt 2

Zadania sprawdzające


Zadanie 7.1

Napisać równanie stanu dla obwodu o strukturze przedstawionej na rysunku

Grafika:PEE_M7_Rtxt2.jpg


Rozwiązanie

Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rysunku wynika


i(t)=i_L+C\frac{du_C}{dt}
e(t)=u_C-L\frac{di_L}{dt}


Po przekształceniach tych równań otrzymujemy

\frac{du_C}{dt}=\frac{1}{C}[i(t)-i_L]
\frac{du_L}{dt}=\frac{1}{L}[u_C-e(t)]


Równanie stanu:

\begin{bmatrix}\frac{du_C}{dt}\\ \frac{di_L}{dt}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1/C\\1/L&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}u_C\\i_L\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1/C\\-1/L&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}e(t)\\i(t)\end{bmatrix}



Zadanie 7.2

Określić przebieg czasowy napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie przedstawionym na rysunku Przyjąć następujące wartości parametrów: R=10k\Omega, C=10\mu F, i(t)=I=2mA.


Grafika:PEE_M7_Rtxt3.jpg


Rozwiązanie

Warunki początkowe w obwodzie wynikają ze stanu ustalonego obwodu przed przełączeniem, który wobec wymuszenia stałego ma postać uproszczoną przedstawioną na rysunku


Grafika:PEE_M7_Rtxt4.gif

Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełączeniem dla wymuszenia stałego


u_C(t)=u_C(0^-)=IR=20V


Stan ustalony w obwodzie po przełączeniu dotyczy obwodu przedstawionego na rysunku


Grafika:PEE_M7_Rtxt5.jpg

Schemat obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu


u_C_u(t)=u_C_u(0^+)=IR/2=10V


Stan przejściowy dotyczy obwodu po przełączeniu przedstawionego na rysunku


Grafika:PEE_M7_Rtxt6.jpg

Schemat obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu


Równania różniczkowe obwodu:

u_C_p+C\frac{R}{2}\frac{du_{Cp}}{dt}=0
u_C_p+0,05\frac{du_{Cp}}{dt}=0


Równanie charakterystyczne:

1+0,05s=0\rightarrow s_1=-20


Rozwiązanie równania różniczkowego jednorodnego u_C_p(t) oraz rozwiązanie całkowite u_C(t)

U_C_p(t)=Ae^{-20t}
U_C(t)=u_C_p(t)+u_C_p(t)=10_Ae^{-20t}


Z prawa komutacji dla kondensatora wynika równość

u_C(0^-)=u_C(0^+)\rightarrow 20=10+A\rightarrow A=10


Postać ostateczna rozwiązania:

u_C(t)=10(1+e^{-20t})

Stała czasowa obwodu jest więc równa \tau =1/20=0,05s.