PEE Moduł 6

From Studia Informatyczne


Definicja układu trójfazowego

Układem trójfazowym nazywamy układ trzech obwodów elektrycznych, w których istnieją trzy źródła napięć sinusoidalnych o jednakowej częstotliwości, przesunięte względem siebie o określony kąt fazowy i wytworzone w jednym generatorze zwanym generatorem trójfazowym. Poszczególne obwody generatora trójfazowego nazywać będziemy fazami i oznaczać literami A, B, C lub kolejnymi cyframi 1, 2, 3.


Przykład połączenia 3 faz generatora w jeden układ gwiazdowy przedstawiony jest na rysunku obok (slajd 3).

Punkt wspólny wszystkich trzech faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Poszczególnym napięciom fazowym przypisuje się wskaźniki A, B, C lub w przypadku oznaczenia liczbowego cyfry 1, 2, 3. Układ napięć źródłowych generatora trójfazowego nazywać będziemy symetrycznym, jeśli napięcia kolejnych faz są przesunięte względem siebie o kąt 120^\circ \ ({2 \over 3}\pi) a amplitudy ich są sobie równe. Wartości chwilowe poszczególnych napięć fazowych układu symetrycznego można zapisać w postaci

e_A(t)=|E_m|sin(\omega t+\Psi)
e_B(t)=|E_m|sin(\omega t+\Psi-120^\circ)
e_C(t)=|E_m|sin(\omega t+\Psi+120^\circ)

w której E_m oznacza amplitudę, \omega pulsację wspólną dla wszystkich faz (przy generacji napięć trójfazowych w jednym generatorze jest to zapewnione automatycznie) a kąt \Psi jest początkowym kątem fazowym napięcia w fazie A.


W normalnym systemie trójfazowym przyjmuje się tzw. kolejność wirowania zgodną, w której faza B opóźnia się względem fazy A o kąt 120^\circ a faza C (opóźniona względem fazy B o kolejny kąt 120^\circ ) wyprzedza fazę A o kąt równy 120^\circ.

Na rysunku obok (slajd 4) i na aminacji poniżej przedstawiono przebiegi czasowe napięć trójfazowych przy kącie początkowym \Psi\, równym zeru. Napięcia są zmienne sinusoidalnie przy czym występują regularne przesunięcia o kąt 120^\circ między poszczególnymi sinusoidami.


Grafika:PEE_M6_anim_1.gif


Układ napięć fazowych

Wobec sinusoidalnej postaci wymuszeń w analizie układów trójfazowych zastosujemy metodę symboliczną. Zgodnie z tą metodą napięcia sinusoidalne zastępuje się ich postacią zespoloną, która dla przyjętych funkcji sinusoidalnych może być zapisana następująco

E_A={|E_m| \over \sqrt{2}}e^{j\Psi}
E_B={|E_m| \over \sqrt{2}}e^{j(\Psi-120^\circ)}=E_Ae^{-j120^\circ}
E_A={|E_m| \over \sqrt{2}}e^{j(\Psi+120^\circ)}=E_Ae^{j120^\circ}

W praktyce wobec nieustannej zmiany wartości napięć w czasie faza początkowa \Psi może być przyjęta dowolnie. Najczęściej dla wygody zakładać będziemy, że jest równa zeru. Wykres wektorowy napięć trójfazowych opisanych powyższymi zależnościami dla kąta fazowego \Psi \neq 0 przedstawiony jest na rysunku obok (slajd 5).

Punkt wspólny napięć, odpowiadający wspólnemu punktowi połączenia faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Na końcach napięć fazowych zaznaczone są oznaczenia faz (A, B, C). Napięcie fazowe generatora to napięcie między punktem końcowym wektora a punktem zerowym.


Wirowanie faz (zmiana pozycji wektora w czasie) w generatorze trójfazowym odbywa się w przyjętym układzie współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.


Grafika:PEE_M6_anim_2.gif


Rysunek powyżej pokazuje wektory napięć generatora trójfazowego wirujące w czasie. Wektory fazy B i C nadążają za wektorem A, przy czym przesunięcia fazowe między nimi są stałe i równe dokładnie 120^\circ. Ważną cechą trójfazowego generatora symetrycznego jest zerowanie się sumy napięć fazowych

E_A+E_B+E_C=0

Wartość zerowa sumy wynika bezpośrednio z symetrii poszczególnych napięć. Mianowicie

E_A+E_B+E_C=E_A+E_Ae^{-j120^\circ}+E_Ae^{j120^\circ}=
E_A \left ( 1-0,5-j{\sqrt{3} \over 2}-0,5+j{\sqrt{3} \over 2} \right )=0

Układ napięć międzyfazowych

Oprócz napięć fazowych wyróżnia się układ napięć międzyfazowych, zwanych również liniowymi, czyli napięć panujących między punktami zewnętrznymi poszczególnych faz. Przy trzech napięciach fazowych można wyróżnić trzy napięcia międzyfazowe: E_{AB}, E_{BC} oraz E_{CA}, przy czym

E_{AB}=E_A-E_B
E_{BC}=E_B-E_C
E_{CA}=E_C-E_A

Z definicji napięć międzyfazowych wynika, że niezależnie od symetrii ich suma jest zawsze równa zeru gdyż wszystkie napięcia tworzą trójkąt zamknięty. Rysunek na sladzie nr 7 pokazuje układ napięć międzyfazowych generatora trójfazowego z przyjętymi oznaczeniami. Symbol E_{AB}\, oznacza, że strzałka wektora napięcia na wykresie jest skierowana w stronę pierwszego wskaźnika w oznaczeniu (u nas litera A). Z symetrii napięć fazowych wynika bezpośrednio symetria napięć międzyfazowych. Napięcia te są równe i przesunięte względem siebie o kąt 120^\circ, czyli

E_{AB}=E_A-E_B
E_{BC}=E_{AB}e^{-j120^\circ}
E_{CA}=E_{AB}e^{j120^\circ}

Układ napięć międzyfazowych symetrycznych tworzy więc trójkąt równoboczny. Wykorzystując relacje obowiązujące dla tego trójkąta łatwo jest udowodnić, że napięcie międzyfazowe jest \sqrt{3}\, razy większe niż napięcie fazowe, co zapiszemy w ogólności jako

|E_{mf}|=\sqrt{3}|E_f|

gdzie |E_f| oznacza moduł napięcia fazowego a |E_{mf}| moduł napięcia międzyfazowego.


Połączenia trójfazowe generatora i odbiornika

Układ napięć fazowych generatora może być połączony bądź w gwiazdę bądź w trójkąt. Schemat obu połączeń przedstawiony jest na rysunku obok (slajd nr 8).

Przy połączeniu trójkątnym generatora odbiornik jest zasilany napięciem międzyfazowym trójprzewodowym. Przy połączeniu generatora w gwiazdę napięcie zasilające jest napięciem fazowym a liczba przewodów może być równa trzy bądź cztery (przy czterech przewodach zasilających jednym z nich jest przewód zerowy, zwany również przewodem neutralnym).


W układzie trójfazowym odbiornik zawiera również trzy fazy, przy czym może być on połączony w gwiazdę lub w trójkąt. Oba sposoby połączenia odbiornika przedstawione są na dolnym rysunku na slajdzie nr 8.

W zależności od sposobu połączenia generatora i odbiornika można w układach trójfazowych wyróżnić cztery rodzaje połączeń. Są to:

  • generator i odbiornik połączone w gwiazdę (układ gwiazdowy)
  • generator i odbiornik połączone w trójkąt (układ trójkątny)
  • generator połączony w gwiazdę a odbiornik w trójkąt
  • generator połączony w trójkąt a odbiornik w gwiazdę.

Z punktu widzenia metodyki analizy obwodów istotne są tylko dwa pierwsze rodzaje połączeń. Dwa pozostałe są wtórne względem pierwszych i nie wnoszą nowych elementów do metody analizy.


Układ gwiazdowy faz generatora i odbiornika

Rozpatrzmy układ połączeń gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z oznaczeniami prądów i napięć przedstawionymi na rysunku obok (slajd nr 10).

Punkt 0 oznacza punkt wspólny faz generatora. Punkt N\, jest punktem wspólnym impedancji fazowych odbiornika. Zakładamy symetrię napięć fazowych generatora i dowolne wartości impedancji odbiornika. Przyjmijmy do analizy układ czteroprzewodowy z impedancją przewodu zerowego równa Z_N. Wartość impedancji Z_N może być dowolna, w szczególności zerowa (bezpośrednie zwarcie punktów wspólnych generatora i odbiornika) lub nieskończona (układ trójprzewodowy bez przewodu zerowego). Napięcie między punktem zerowym odbiornika i generatora oznaczymy przez U_N i nazywać będziemy napięciem niezrównoważenia.


Układ napięć trójfazowych odbiornika tworzą napięcia na poszczególnych jego fazach, czyli U_A, U_B, U_C. W efekcie w obwodzie trójfazowym o połączeniu gwiazda-gwiazda wyróżnia się dwa układy napięć trójfazowych gwiazdowych: generatora E_A, E_B, E_C i odbiornika U_A, U_B, U_C.

Dla obliczenia prądów w obwodzie należy wyznaczyć układ napięć odbiornikowych. Najlepiej dokonać tego wyznaczając napięcie U_N. Zastosujemy metodę potencjałów węzłowych przy założeniu, że punkt 0 jest węzłem odniesienia a poszukiwany potencjał węzłowy jest równy U_N. Zgodnie z metodą potencjałów węzłowych otrzymuje się

E_AY_A+E_BY_B+E_CY_C=U_N(Y_A+Y_B+Y_C+Y_N)

Stąd

U_N={E_AY_A+E_BY_B+E_CY_C \over (Y_A+Y_B+Y_C+Y_N)}

gdzie wielkości oznaczone symbolem Y\, są admitancjami: Y_A={1 \over Z_A}, Y_B={1 \over Z_B}, Y_C={1 \over Z_C} oraz Y_N={1 \over Z_N}. Wyznaczenie wartości napięcia U_N pozwala obliczyć wartości napięć odbiornikowych. Z prawa napięciowego Kirchhoffa napisanego dla trzech oczek w obwodzie wynika

U_A=E_A-U_N
U_B=E_B-U_N
U_C=E_C-U_N

Przy znanych wartościach admitancji odbiornika obliczenie prądu polega na zastosowaniu prawa Ohma. Mianowicie
I_A=Y_AU_A
I_B=Y_BU_B
I_C=Y_CU_C
I_N=Y_NU_N

Suma prądów w węźle N\, jest równa zeru, zatem I_A+I_B+I_C=I_N. Moce wydzielone w odbiorniku trójfazowym oblicza się jako sumę mocy wydzielonych w poszczególnych fazach odbiornika, czyli

S_A=P_A+jQ_A=U_AI_A^*
S_B=P_B+jQ_B=U_BI_B^*
S_C=P_C+jQ_C=U_CI_C^*

Moc wydzielona na impedancji przewodu zerowego oznacza moc strat. Jest ona równa

S_N=P_N+jQ_N=U_NI_N^*

Otrzymane wyniki można zinterpretować na wykresie wektorowym prądów i napięć w obwodzie.

Rysunek na slajdzie obok przedstawia wykres wektorowy prądów i napięć dla przypadku obciążenia niesymetrycznego. Animacja poniżej przedstawia sposób konstrukcji wykresu wektorowego.


Grafika:PEE_M6_anim_3.gif

Widoczne są dwie gwiazdy napięć fazowych: generatora o środku w punkcie 0\, i odbiornika o środku w punkcie N\,. Dla obu gwiazd obowiązuje jeden trójkąt napięć międzyfazowych. Przesunięcie potencjału punktu N\, względem 0\, (napięcie U_N różne od zera) jest spowodowane niesymetrią odbiornika.


W pracy układu trójfazowego gwiazdowego można wyróżnić kilka szczególnych przypadków.
  • Odbiornik symetryczny (Z_A=Z_B=Z_C=Z) z dowolną wartością impedancji przewodu zerowego

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia jest równe zeru a anpięcia fazowe odbiornika są równe napięciom fazowym generatora. Prądy w takim przypadku oblicza się ze wzorów podanych na slajdzie obok. Prąd przewodu zerowego I_N=0. Wszystkie prądy fazowe są równe co do amplitydy i przesunięte w fazie o 120^\circ.


Rysunek na slajdzie obok przedstawia wykres wektorowy prądów i napięć dla tego przypadku. Animacja poniżej przedstawia sposób konstrukcji wykresu wektorowego.

Grafika:PEE_M6_anim_4.gif

Odbiornik symetryczny jest jednym z częściej występujących przypadków w praktyce. Przykładami takich odbiorników są: silniki elektryczne trójfazowe czy piece grzejne trójfazowe (zwykle o dużej mocy).


  • Odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia U_N=0, a prąd przewodu zerowego w ogólnym przypadku I_N \neq 0. Prądy fazowe są wówczas określane bezpośrednio na podstawie układu napięć generatorowych. Suma tych prądów w ogólnym przypadku odbiornika niesymetrycznego jest różna od zera

I_N = I_A+I_B+I_C

Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym niesymetrycznym przy zwarciu bezimpedancyjnym punktów wspólnych odbiornika i generatora przedstawiony jest na rysunku poniżej oraz na slajdzie obok.

Grafika:PEE_M6_anim_5.gif


*Zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia jest równe napięciu fazowemu fazy zwartej. Prąd fazy zwartej nie może być określony z prawa Ohma, gdyż zarówno napięcie na fazie odbiornika jak i jego impedancja są równe zeru. Okresla sie go z prawa prądowego Kirchhoffa, zgodnie z którym

I_A=-I_B-I_C

Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym dla przypadku zwarcia fazy A odbiornika przedstawiony jest na rysunku poniżej oraz na slajdzie obok.

Grafika:PEE_M6_anim_6.gif


Jako przykład obliczymy prądy i napięcia poszczególnych faz odbiornika w układzie przedstawionym na rysunku obok. Przyjmiemy zasilanie trójfazowe symetryczne o napięciu fazowym równym 400V. Wartości parametrów obwodu są następujące: R=40\Omega, X_C=30\Omega, X_L=60\Omega, X_{12}=10\Omega, X_{23}=20\Omega, X_{31}=20\Omega.

Rozwiązanie

Ze względu na występowanie sprzężenia magnetycznego pierwszym etapem rozwiązania jest eliminacja tych sprzężeń. Układ odbiornika po likwidacji sprzężeń magnetycznych jest przedstawiony na rysunku obok.


Przyjmijmy układ napięć fazowych generatora w następującej postaci
E_A=400e^{j0}
E_B=400e^{-j120}
E_C=400e^{j120}


Impedancje poszczególnych faz odbiornika z rysunku na slajdzie 18 są równe

Z_A=40+j40=40\sqrt{2}e^{j45^\circ}
Z_B=j60=60e^{j90^\circ}
Z_C=0

Wobec zwarcia w fazie C odbiornika (Z_C = 0) nie zachodzi potrzeba stosowania wzoru
U_N={E_AY_A+E_BY_B+E_CY_C \over (Y_A+Y_B+Y_C+Y_N)}


do wyznaczenia napięcia niezrównoważenia, gdyż U_N = E_C. W tej sytuacji poszczególne prądy fazowe są równe

I_A={E_A-U_N \over Z_A}={400-400e^{j120^\circ} \over 40\sqrt{2}e^{j45^\circ}}=5\sqrt{2}e^{-j75^\circ}=1,8-j6,8
I_B={E_B-U_N \over Z_B}={400e^{-j120^\circ}-400e^{j120^\circ} \over 60e^{j90^\circ}}=-11,6
I_C=-I_A-I_B=9,8+j6,8


Po obliczeniu prądów na podstawie schematu zastępczego bez sprzężeń magnetycznych dla wyznaczenia napięć w układzie należy powrócić do obwodu ze sprzężeniami. Rzeczywiste napięcia na fazach odbiornika wynoszą

U_A=RI_A+jX_LI_A+jX_{12}I_B+jX_{31}I_C=322+j263
U_B=jX_LI_B+jX_{12}I_A+jX_{23}I_C=-18-j335
U_C=jX_LI_C+jX_{31}I_A+jX_{23}I_B-jX_CI_C=-18


Zauważmy, że istnieje ogromna różnica między rzeczywistym napięciem U_C w fazie C, U_C=-18, a napięciem w tej samej fazie w obwodzie po likwidacji sprzężeń, U_C=0. Obwód po likwidacji sprzężeń jest równoważny obwodowi oryginalnemu jedynie pod względem prądowym. Napięcia na gałęziach zawierających cewki sprzężone nie odpowiadają ich odpowiednikom w obwodzie bez sprzężeń.


Na rysunku obok i animacji poniżej przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie po likwidacji sprzężeń.


Grafika:PEE_M6_rys6_15_animacja.gif


Układ trójkątny faz odbiornika i generatora

Schemat elektryczny połączeń elementów obwodu trójfazowego o odbiorniku i generatorze połączonych w trójkąt (układ trójkąt-trójkąt) przedstawia rysunku obok.


Przyjmijmy dla uproszczenia, że impedancje przewodów zasilających poszczególne fazy są zerowe. Oznacza to, że napięcia na fazach odbiornika (włączonych międzyfazowo) są napięciami międzyfazowymi generatora, to jest
U_{AB}=E_{AB}
U_{BC}=E_{BC}
U_{CA}=E_{CA}

Stąd przy zadanych wartościach impedancji odbiornika prądy fazowe tego odbiornika są określone wzorami

I_{AB}=Y_{AB}E_{AB}
I_{BC}=Y_{BC}E_{BC}
I_{CA}=Y_{CA}E_{CA}

Prądy przewodowe zasilające obwód trójkątny odbiornika mogą być wyznaczone z zależności

I_A=I_{AB}-I_{CA}
I_B=I_{BC}-I_{AB}
I_C=I_{CA}-I_{BC}

Zauważmy, że wobec powyższych wzorów suma prądów przewodowych w układzie, niezależnie od wartości impedancji odbiornika jest równa zeru

I_A+I_B+I_C=0

Animacja poniżej oraz slajd obok przedstawiają wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym o połączeniu trójkątnym.

Grafika:PEE_M6_anim_8.gif


W przypadku pełnej symetrii generatora i odbiornika wszystkie układy napięć i prądów w układzie będą również symetryczne a przesunięcia między prądami oraz napięciami poszczególnych faz w odpowiednich układach będą równe 120^\circ. Interesująca jest wówczas relacja między prądami fazowymi oraz liniowymi układu. Z wykresu wektorowego przedstawionego na wcześniejszym rysunku widać, że w przypadku symetrycznym moduły wszystkich prądów liniowych są sobie równe, podobnie jak moduły wszystkich prądów fazowych przy równych przesunięciach fazowych między wektorami o kąt 120^\circ. Z analizy przesunięć kątowych wynika, że kąt między wektorem prądu fazowego I_f oraz liniowego I_l jest równy 30^\circ. Z zależności trygonometrycznych wynika, że

{0,5|I_l| \over |I_f|}=cos30^\circ

skąd po prostych przekształceniach matematycznych otrzymuje się

|I_l|=2|I_f|cos30^\circ=\sqrt{3}|I_f|

W układzie symetrycznym prąd liniowy jest \sqrt{3} razy większy niż prąd fazowy. Jest to identyczna relacja jaka istnieje między napięciami fazowymi i międzyfazowymi (liniowymi).


Jako przykład wyznaczymy prądy w układzie trójfazowym o odbiorniku połączonym w trójkąt przedstawionym na rysunku obok (slajd 25). Należy również sporządzić wykres wektorowy prądów i napięć. Przyjąć następujące wartości parametrów elementów: |E_f|=200V, R=X_L=X_C =10\Omega.

Napięcia międzyfazowe:
|E_{mf}|=\sqrt{3}|E_f|
E_{AB}=200\sqrt{3}
E_{BC}=200\sqrt{3}e^{-j120^\circ}
E_{CA}=200\sqrt{3}e^{j120^\circ}


Prądy fazowe odbiornika:

I_{AB}={E_{AB} \over -jX_C}=20\sqrt{3}e^{j90^\circ}
I_{BC}={E_{BC} \over jX_L}=20\sqrt{3}e^{-j210^\circ}
I_{CA}={E_{CA} \over R}=20\sqrt{3}e^{j120^\circ}


Prądy liniowe układu:

I_A=I_{AB}-I_{CA}=17,32+j4,64
I_B=I_{BC}-I_{AB}=-30-j17,32
I_C=I_{CA}-I_{BC}=12,68+j12,68

Wykres wektorowy prądów i napięć przedstawiony jest na rysunku poniżej oraz na slajdzie obok.


Grafika:PEE_M6_anim_9.gif


Przełączenie impedancji odbiornika z połączenia trójkątnego w gwiazdowe powoduje zmianę mocy wydzielonej w odbiorniku. Załóżmy dla uproszczenia, że obwód trójfazowy jest symetryczny o impedancji fazy równej Z\,. Schemat połączenia trójkątny i gwiazdowy impedancji przedstawiony jest na rysunku obok.

Jak łatwo pokazać dla układu trójkątnego moc czynna P\, układu jest równa

P=3{(\sqrt{3}|U_f|)^2 \over |Z|}\cos \varphi = 9{|U_f|^2 \over |Z|}\cos \varphi

natomiast w układzie gwiazdowym wobec U_N = 0 mamy

P=3{|U_f|^2 \over |Z|}\cos \varphi

Jak wynika z powyższych wzorów przy przełączeniu odbiornika symetrycznego z gwiazdy na trójkąt pobór mocy czynnej wzrasta 3-krotnie. Przy tej samej wartości impedancji w obu połączeniach oznacza to \sqrt{3}-krotny wzrost prądu płynącego przez impedancję.



Do obliczeń prądów, napięć i mocy w obwodach trójfazowych został opracowany program „Obwody trójfazowe” umieszczony obok. Pozwala on na symulację pracy układu trójfazowego o dowolnej strukturze połączeń.

Centralne pole programu zajmuje schemat badanego obwodu (dostępne konfiguracje: gwiazda-gwiazda Y-Y\,, gwiazda-trójkąt Y-\Delta, trójkąt-trójkąt \;\Delta-\Delta\; i trójkąt-gwiazda \Delta-Y), z symbolicznie zaznaczonym odbiornikiem i zasilaniem trójfazowym.

Działanie programu rozpoczyna się po wybraniu odpowiedniej opcji obliczeń. Użytkownik może definiować własną strukturę obwodu (\Delta\,,Y\,, przewód zerowy), rodzaj i wartości parametrów odbiornika (R, L, C), wartości źródeł wymuszających, impedancję przewodu zerowego, format liczb zespolonych.

W wyniku obliczeń otrzymuje się wartości prądów, napięć i mocy w obwodzie, jak również wykres wektorowy prądów i napięć oraz ich przebiegi czasowe. Program stanowi efektywne wirtualne laboratorium obwodów trójfazowych, umożliwiające studentowi samodzielne badanie zjawisk zachodzących w obwodach trójfazowych.



Zadania sprawdzające


Zadanie 6.1

Wyznaczyć prądy w obwodzie trójfazowym podanym na rysunku poniżej. Przyjąć następujące wartości parametrów elementów: |E_f|=200V, Z_A=10\Omega, Z_B=(10-j10)\Omega, Z_C=(10+j10)\Omega, Z_N=50\Omega.


Grafika:PEE_M4_zadanie_6_1.png


Rozwiązanie

Przyjmujemy następujące wartości symboliczne elementów:

E_A=200
E_B=200e^{-j120^\circ}
E_C=200e^{j120^\circ}


Y_A={1 \over Z_A}=0,1
Y_B={1 \over Z_B}=0,05+j0,05
Y_C={1 \over Z_C}=0,05-j0,05
Y_N={1 \over Z_N}=0,02


Napięcie niezrównoważenia U_N

U_N={E_AY_A+E_BY_B+E_CY_C \over Y_A+Y_B+Y_C+Y_N}=124,18


Prądy fazowe:

I_A=(E_A-U_N)Y_A=7,58
I_B=(E_B-U_N)Y_B=-2,55-j19,87
I_C=(E_C-U_N)Y_C=2,55+j19,87
I_N=U_NY_N=2,48