Matematyka dyskretna 2/Test 6: Ciała skończone

From Studia Informatyczne

Dla dowolnego \displaystyle x w pierścieniu \displaystyle {\mathbf R}

\displaystyle x\cdot0=x\cdot(0+0)=x\cdot0+x\cdot0

czyli

\displaystyle 0=x\cdot0.

W przedstawionym rozumowaniu:

pierwsza równość jest błędna

druga równość jest błędna

implikacja dająca trzecią równość jest błędna

żadne z powyższych


Zbiór \displaystyle M_{3\times3} wszystkich macierzy wymiaru \displaystyle 3\times3 wypełnionych liczbami całkowitymi wraz z dodawaniem i mnożeniem macierzy jest:

pierścieniem

pierścieniem przemiennym

pierścieniem bez dzielników zera

ciałem


Dla wielomianów \displaystyle a(x), b(x) nad pierścieniem \displaystyle {\mathbf R}:

\displaystyle {\sf deg}(a(x)\cdot b(x))={\sf deg}(a(x))+{\sf deg}(b(x))

\displaystyle {\sf deg}(a(x)+b(x))\leqslant\max\left( {{\sf deg}(a(x))},{{\sf deg}(b(x))} \right)

\displaystyle {\sf deg}(a(x)+b(x))\leqslant{\sf deg}(a(x))+{\sf deg}(b(x))

\displaystyle {\sf deg}(a(x)\cdot b(x))\leq{\sf deg}(a(x))\cdot{\sf deg}(b(x))


Jeśli \displaystyle 1 jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów \displaystyle a(x) i \displaystyle b(x) nad \displaystyle \mathbb{Z}_3, to ich największym wspólnym dzielnikiem jest także:

\displaystyle 0

\displaystyle 2

\displaystyle x+1

żaden z pozostałych


W pierścieniu wielomianów nad \displaystyle \mathbb{Z}_3 ideał główny generowany przez \displaystyle x^2+2 zawiera:

\displaystyle 0

\displaystyle x

\displaystyle 2x^2+2

\displaystyle 2x^3+x


Dla dowolnego \displaystyle p(x) nierozkładalnego wielomianu nad ciałem \displaystyle {\bf F}:

\displaystyle {\sf deg}(p(x))\leq \left\vert F \right\vert

\displaystyle p(x) jest odwracalny,

jeśli \displaystyle p(x)=a(x)b(x), to \displaystyle {\sf deg}(a(x))=0 lub \displaystyle {\sf deg}(b(x))=0

jeśli \displaystyle p(x)|a(x)b(x), to \displaystyle p(x)|a(x) lub \displaystyle p(x)|b(x)


Wskaż wielomiany nierozkładalne nad \displaystyle \mathbb{Z}_3

\displaystyle 2x+1

\displaystyle 2x^3+x^2+x+2

\displaystyle x^2+2

\displaystyle x^2+1


Dla \displaystyle p(x) wielomianu nad ciałem \displaystyle {\bf F} jeśli \displaystyle (x-c)^2|p(x) to:

\displaystyle p(c)=0

\displaystyle p(x)=(x-c)^2q(x) i \displaystyle q(c)=0, dla pewnego wielomianu \displaystyle q(x)

\displaystyle p(x)=(x-c)q(x) i \displaystyle q(c)=0, dla pewnego wielomianu \displaystyle q(x)

\displaystyle p(x)=(x-c)q(x) i \displaystyle x-c|q(x), dla pewnego wielomianu \displaystyle q(x)


Stopień dowolnego niezerowego elementu ciała \displaystyle \mathbb{Z}_p to:

\displaystyle 0

\displaystyle 1

\displaystyle p-1

\displaystyle p


Istnieje ciało o liczności:

\displaystyle 8

\displaystyle 9

\displaystyle 10

\displaystyle 11