Matematyka dyskretna 2/Test 4: Elementy teorii grup

From Studia Informatyczne

Zaznacz struktury będące grupami:

\displaystyle (\mathbb{Z}_4,+,0)

\displaystyle (\mathbb{Z}_4^*,\cdot,1)

\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,0)

\displaystyle (\mathbb{Z}_5^*,\cdot,1)


Dla dowolnych elementów \displaystyle x,y pewnej grupy element \displaystyle x^{-1}yy^{-1}yxy^{-1} można tez zapisać jako:

\displaystyle x^{-1}yxy^{-1}

\displaystyle 1

\displaystyle x^{-1}zzz^{-1}z^{-1}yxy^{-1}, gdzie \displaystyle z jest dowolnym elementem grupy

\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy^{-1}


W dowolnej grupie skończonej, jeśli \displaystyle x^{15}=1 i \displaystyle x^{25}=1, to:

\displaystyle x jest rzędu \displaystyle 5

\displaystyle x^5=1

\displaystyle x^{30}=1

\displaystyle x^{35}=1


Grupa \displaystyle (\mathbb{Z}_{12},+,0)

ma podgrupę \displaystyle 1-elementową

ma podgrupę \displaystyle 2-elementową

ma podgrupę \displaystyle 3-elementową

ma podgrupę \displaystyle 4-elementową


Niech \displaystyle H_0,H_1 będą podgrupami grupy \displaystyle {\mathbf G}. Wtedy:

\displaystyle H_0\cap H_1 jest podgrupą grupy \displaystyle {\mathbf G}

\displaystyle H_0\cup H_1 jest podgrupą grupy \displaystyle {\mathbf G}

\displaystyle H_0\cap H_1 jest podgrupą grupy \displaystyle {\mathbf G}, o ile \displaystyle H_0\subseteq H_1

\displaystyle H_0\cup H_1 jest podgrupą grupy \displaystyle {\mathbf G}, o ile \displaystyle H_0\subseteq H_1


Wskaż prawdziwe własności grup \displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0) dla \displaystyle n>1:

grupa \displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0) jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle n jest pierwsza

każda grupa postaci \displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0) jest cykliczna

jeśli grupa \displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m jest cykliczna, to \displaystyle m i \displaystyle n są względnie pierwsze

grupa \displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m jest cykliczna o ile \displaystyle m i \displaystyle n są względnie pierwsze


Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie \displaystyle \mathbb{Z}_n jest grupą addytywną \displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0):

\displaystyle \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3 i \displaystyle \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2

\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{3} i \displaystyle \mathbb{Z}_6

\displaystyle \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_{33} i \displaystyle \mathbb{Z}_{99}

\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 i \displaystyle \mathbb{Z}_4


Czy w dowolnej grupie postaci \displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0) elementów rzędu \displaystyle 7 jest \displaystyle 0 lub \displaystyle 6?

tak

tak, jeśli dodatkowo \displaystyle n jest wielokrotnkością \displaystyle 7

tak, jeśli dodatkowo \displaystyle n\perp 7

żadna z pozostałych


Dla podgrupy \displaystyle {\mathbf H} skończonej grupy \displaystyle {\mathbf G} zachodzi:

\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert, jeśli \displaystyle g\in H

\displaystyle gH=Hg, jeśli \displaystyle g\in H

\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert, dla dowolnego \displaystyle g\in G

\displaystyle gH=Hg, dla dowolnego \displaystyle g\in G


Jeśli element \displaystyle x grupy \displaystyle {\mathbf G} ma rząd \displaystyle n, to \displaystyle x^{3n} ma rząd:

\displaystyle 1

\displaystyle 3

\displaystyle n

żadne z pozostałych