Matematyka dyskretna 1/Test 4: Sumy skończone i rachunek różnicowy

From Studia Informatyczne

Czarta funkcja różnicowa \displaystyle \Delta^4(4^x) to:

\displaystyle 3^4\cdot4^x

\displaystyle 4^4\cdot4^x

\displaystyle 5^4\cdot4^x

\displaystyle \frac{4^x}{5^4}

Wskaż błędne przejścia (o ile istnieją) w poniższym wyprowadzeniu

\displaystyle \aligned \sum_{i=0}^ni^4&=\sum_{i=0}^n(i^{\underline{1}}+7i^{\underline{2}}+6i^{\underline{3}}+i^{\underline{4}})\\ &=\sum_0^n(x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+6x^{\underline{3}}+x^{\underline{4}})\delta x\\ &=\sum_0^nx^{\underline{1}}\delta x+7\sum_0^nx^{\underline{2}}\delta x+6\sum_0^nx^{\underline{3}}\delta x+\sum_0^nx^{\underline{4}}\delta x\\ &=\frac{1}{2}n^{\underline{2}}+\frac{7}{3}n^{\underline{3}}+\frac{6}{4}n^{\underline{4}}+\frac{1}{5}n^{\underline{5}} \endaligned


pierwsza równość

druga równość

trzecia równość

czwarta równość

wszystkie są poprawne

Jeśli \displaystyle f(n) jest \displaystyle n-tą liczbą Fibonacciego, to dla \displaystyle n>1 wartość funkcji \displaystyle (\Delta f)(n) wynosi:

\displaystyle f(n-1)

\displaystyle f(n)

\displaystyle f(n+1)

\displaystyle \sum_{i=0}^n f(i)

Zaznacz zdania prawdziwe:

\displaystyle \Delta x^{\underline{m}}=mx^{\underline{m-1}}, dla dowolnego \displaystyle m\in\mathbb{Z}

\displaystyle x^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}x^{\underline{n}}, dla dowolnego \displaystyle m,n\in\mathbb{Z}

\displaystyle \sum_a^ag(x)\delta x=0, dla dowolnego \displaystyle a\in\mathbb{N}

\displaystyle \Delta(f(x)g(x))=g(x)\Delta f(x)+f(x)\Delta g(x)

Suma nieoznaczona \displaystyle \sum 10^x\delta x to:

\displaystyle 9\cdot 10^x+C

\displaystyle \frac{10^x}{9}+C

\displaystyle \frac{9^x}{10}+C

\displaystyle 10\cdot9^x+C

Równość \displaystyle \sum f(x)\delta x=H_x+C zachodzi dla:

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+c, przy dowolnym \displaystyle c\in\mathbb{Z}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+\sin{x\pi}

\displaystyle f(x)=H_{x+1}

Dla dowolnego wielomianu \displaystyle p(x) o stopniu \displaystyle n:

\displaystyle \Delta^n p(x)=0

\displaystyle \Delta^{n-1} p(x)=c, dla pewnego \displaystyle c\in\mathbb{R}

\displaystyle \Delta^{n+1} p(x)=0

\displaystyle \Delta^{2n} p^2(x)=c, dla pewnego \displaystyle c\in\mathbb{R}

Wielomian \displaystyle x^5 można przedstawić jako następującą sumę dolnych silni:

\displaystyle x^{\underline{1}}+15x^{\underline{2}}+25x^{\underline{3}}+10x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}

\displaystyle x^{\underline{1}}+2x^{\underline{2}}+7x^{\underline{3}}+6x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}

\displaystyle x^{\underline{1}}+11x^{\underline{2}}+21x^{\underline{3}}+11x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}

\displaystyle x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+15x^{\underline{3}}+10x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}