Matematyka dyskretna 1/Test 1: Indukcja

From Studia Informatyczne

Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu:

\displaystyle n\geq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil} ,

\displaystyle n\leq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil} ,

\displaystyle \left\lceil \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rceil=\left\lceil \log_2 \left( n/2 \right) \right\rceil ,

\displaystyle \left\lfloor \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rfloor=\left\lfloor \log_2 \left( n/2 \right) \right\rfloor .

Dowolny niepusty podzbiór \displaystyle S\subseteq \mathbb{N} zbioru liczb naturalnych

ma w sobie liczbę największą

ma w sobie liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą

ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej

Zbiór \displaystyle S\subseteq\mathbb{N} jest taki, że jeśli \displaystyle s\in S to \displaystyle s+1\in S . Jeśli \displaystyle 9\in S , to:

\displaystyle S=\mathbb{N}

\displaystyle S=\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace

\displaystyle S\subseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace

\displaystyle S\supseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace

Zbiór \displaystyle S\subseteq\mathbb{N} jest taki, że jeśli \displaystyle a,b\in S , to \displaystyle a+b\in S oraz \displaystyle a+b+1\not\in S . Jeśli \displaystyle 0,2 \in S , to:

\displaystyle S=\mathbb{N}

zbiór \displaystyle S zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste

zbiór \displaystyle S jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste

zbiór \displaystyle S jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste

Ostatnią cyfrą liczby \displaystyle 3^{3^n} jest:}

zawsze \displaystyle 3

zawsze \displaystyle 3 lub \displaystyle 7

zawsze \displaystyle 7

jakakolwiek z cyfr \displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Jeśli \displaystyle Z \subseteq \mathbb{N} jest jakimś zbiorem liczb naturalnych, który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru \displaystyle \mathbb{N} postaci \displaystyle \left\lbrace 0,\ldots,k-1 \right\rbrace zawiera również kolejną liczbę \displaystyle k , to wtedy

zbiór \displaystyle Z zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem

zbiór \displaystyle Z zawiera wszystkie liczby naturalne

zbiór \displaystyle Z zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych

zbiór \displaystyle Z jest pusty

Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia, że nikt z nikim się nie lubił. Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił, że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni, to nie powinno być problemu, aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi, będącymi w klasie. Drugi z nich zauważył jednak, że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma. Czy klasa jest w stanie się pogodzić?

klasa na pewno się nie pogodzi

klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia

jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby, przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić

Jeśli \displaystyle S\subseteq\mathbb{N} , to:

zbiór \displaystyle S ma element największy

zbiór \displaystyle S ma element najmniejszy

zbiór \displaystyle S ma element największy, o ile \displaystyle S jest niepusty

zbiór \displaystyle S ma element najmniejszy, o ile \displaystyle S jest niepusty