MO Moduł 10

From Studia Informatyczne

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Widać, że jednoczesna maksymalizacja obu kryteriów na zbiorze dopuszczalnym nie jest możliwa. Po dojściu do „północno-wschodniej” granicy zbioru powiększenie jednego kryterium, powoduje zmniejszenie drugiego kryterium.

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Ponieważ zbiór Pareto w przestrzeni kryteriów w zadaniu decyzyjnym pana X jest następujący
\boldsymbol{P} = \{(q_1,q_2) \in [60,140] \times [14,46] |\, q_2 =70 - {2 \over 5}q_1 \},

to podejście utylitarianistyczne oparte na maksymalizacji sumy
(q_1,q_2) \mapsto u(q_1,q_2) = q_1 + q_2
jako rozwiązanie da (q_1^{\mathrm B},q_2^{\mathrm B})= (140,14) oraz decyzję (x_1^{\mathrm B},x_2^{\mathrm B})=(14,0)tylko pracować. (Dobrze jest wykonać stosowny rysunek.)


Enlarge
Przypisanie wag poszczególnym kryteriom oznacza posłużenie się funkcją
(q_1,q_2)\mapsto u_\beta(q_1,q_2)= q_1 + \beta q_2,

gdzie współczynnik \beta można interpretować jako cenę jednostki zadowolenia. Zauważmy, że dla \beta={5 \over 2}, każdy punkt ze zbioru Pareto daje tą samą wartość funkcji \boldsymbol{u_\beta}.
Dla \beta < {5 \over 2} rozwiązaniem będzie (q_1^{\beta},q_2^{\beta})= (140,14) i (x_1^{\beta},x_2^{\beta})=(14,0) – punkt „wymuszony” przez ograniczenia: dostępnego czasu i nieujemności wariantów.
Dla \beta > {5\over2} jako rozwiązanie otrzymamy (q_1^{\beta},q_2^{\beta})= (60,46) oraz (x_1^{\beta},x_2^{\beta})=(6,8) – punkt „wymuszony” przez ograniczenia: dostępnego czasu oraz przyjętej maksymalnej liczby godzin przeznaczonych na czytanie.
(Dobrze jest wykonać stosowne rysunki.)


Enlarge

Enlarge
Podejście oparte na zasadzie sprawiedliwości jako rozwiązanie da (q_1^{\mathrm R},q_2^{\mathrm R}) = (60,46) oraz jako wybrany wariant (x_1^{\mathrm R},x_2^{\mathrm R}) = (6,8).

Nie zawsze prosta o nachyleniu 45° przecina zbiór Pareto !


Enlarge

Enlarge

Enlarge
Punkt idealny dla pana X to (q_1^{\mathrm U},q_2^{\mathrm U})=(140,46), punkt nadiru (q_1^{\mathrm N},q_2^{\mathrm N})=(50,5). Dla metryki euklidesowej najbliższym punktu idealnego w zbiorze Pareto jest punkt (q_1,q_2)=(128.9655,\,18.4138) czyli wybranymi wariantami powinna być para (x_1,x_2)=(12.8966,\,1.1034). Oczywiście pan X zaokragli ten wynik i przy takim sposobie wyboru decyzji bedzie pracował przez 13 godzin a tylko godzinę czytał, co da mu 130 zł i 18 jednostek zadowolenia.

Dla tej samej metryki, punktem najdalej położonym w stosunku do nadiru jest punkt (q_1,q_2)=(140,14) określony przez warianty (x_1,x_2)=(14,0) (tylko pracować). (Dobrze jest wykonać stosowne rysunki.)


Enlarge

Enlarge