MO Moduł 1

From Studia Informatyczne

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Niewątpliwie najwięcej traktatów napisano o Bogu, następnie o miłości, ale jaki temat jest na trzecim miejscu? Patrioci optymalizacji twierdzą, że o optymalizacji (sam w domu mam ponad trzydzieści książek poświeconych tej tematyce). Dlatego (optymalny?) wybór tego co najistotniejsze z tej przywalającej człowieka góry informacji nie jest łatwy. Zatem prezentowane dalej rozważania odzwierciedlają mój punkt widzenia na to co ważne, a co można pominąć z nagromadzonej wiedzy związanej z metodami optymalizacji i zdaję sobie sprawę z tego, że mój wybór może być krytykowany.

Enlarge
Optymalizują
  • ludzie w życiu codziennym – z reguły staramy się minimalizować nakłady potrzebne do osiągnięcia wybranego celu;
  • ludzie w organizacjach – zarząd korporacji podejmuje decyzje, które mają przynieść maksymalny zysk;
  • przyroda – łańcuch układa się tak, że jego energia potencjalna jest najmniejsza, promienie światła biegną tak aby minimalizować czas podróży.

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
We wzorze określającym zysk:
p^u_j – cena jednostki j-tej benzyny w kontrakcie,

p^v_j – cena jednostki j-tej benzyny w wolnej sprzedaży,
p^z_i – cena jednostki i-tego komponentu w wolnej sprzedaży,
c^s_i – koszt wytworzenia jednostki komponentu i,
c^b_i – koszty komponowania przeliczone na jednostkę komponentu i.


Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Współczynniki \eta_i i \mu_j można traktować dla benzyn np. jako liczbę oktanową.

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Automatycy przy projektowaniu układów sterowania zamiast „opisem różniczkowym” obiektu liniowego wolą posługiwać się równoważnym opisem transmitancyjnym przyjmując, że funkcja \varphi(\cdot) będąca rozwiązaniem równania różniczkowego obiektu oraz sygnał sterujący \delta(\cdot) mają transformaty Laplace’a.

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Zatem do oceny "odległości od zera” uchybu możemy posłużyć się całką z modułu uchybu (32.A), albo całką z kwadratu uchybu (32.B).

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Przypadku
x_i^- = -\infty albo x_i^+ = \infty,

nie wykluczamy.


Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Widać, że najbardziej restrykcyjne są ograniczenia równościowe. Bez nich przykładowy zbiór dopuszczalny byłby spójny (składałby się z jednej części) i “miał punkty w środku” (tak jak zbiór z rysunku poprzedniego), matematyk powie: miał niepuste wnętrze.

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Jest to nieskończony przeliczalny zbiór izolowanych punktów płaszczyzny, a warianty są opisywane wektorami całkowitoliczbowymi. Zbiory tego typu nazywamy zbiorami dyskretnymi.

Zauważmy, że przedstawiony przykład ograniczeń definiujących zbiór całkowitoliczbowy jest przykładem teoretycznym i ma głównie na celu pokazanie bogactwa "różności” jakie kryje w sobie przyjęta definicja zbioru dopuszczalnego


Enlarge

Enlarge
Niepodzielny produkt to np. lodówka, lub lokówka, ale także paleta z kubeczkami jogurtu.

Enlarge

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Jest to funkcja n\cdot m + n +n\cdot m = n(2m + 1) zmiennych. Przy czterech miejscach lokalizacji, n = 4,, i dwudziestu pięciu odbiorcach, m = 25, daje to 204 zmienne. W porównaniu do zadań optymalizacji, które naprawdę są rozwiązywane przy wspomaganiu decyzji podejmowanych przez menedżerów różnych korporacji, gdzie zmiennych potrafi być kilkanaście tysięcy (np. dlatego bo trzeba uwzględnić różne produkty a także różne ich rodzaje), jest to niewiele.

Enlarge
Ograniczenia (85.C) mogliśmy zapisać w takiej postaci, bo jeżeli w miejscu i nie zostanie wybudowana nowa fabryka to, y_i = 0, zatem na mocy (85.A) i (85.B), dla każdego j wielkość przewozu x_i_j = 0.

Enlarge
Są to związki logiczne a nie nierówności. Nie pasują zatem do przyjętego sposobu określania zbioru dopuszczalnego!

Enlarge

Enlarge

Enlarge
Przez \mathbb{Z} oznaczono zbiór liczb całkowitych tj. zbiór
\{...,-1,0,1,2,...\}.

Enlarge

Enlarge
Mamy zadania optymalizacji (wektory rzeczywiste, jak mówimy zmienne są ciągłe) i zadania dyskretne (wektory całkowitoliczbowe – zmienne dyskretne) mogą więc być zadania mieszane, w których część zmiennych jest ciągła, a pozostała – dyskretna.

Enlarge
Przedstawione dotąd rozważania pokazały, że analizując zadania optymalizacji, obok zwrócenia uwagi na stopień trudności znajdowania ich rozwiązania („łatwiejsze – trudniejsze”, czyli: bez ograniczeń – z ograniczeniami, liniowe – nieliniowe itp.) trzeba także zwrócić uwagę na ich strukturę, co prowadzi do klasyfikacji takiej jak na rysunku.

Enlarge