MN14LAB

From Studia Informatyczne


Kwadratury

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania
Ukryj wskazówki i rozwiązania

Ćwiczenie: Kwadratura prostokątów kontra kwadratura trapezów

Pokazać, że jeśli \displaystyle f\in C^{(2)}([a,b]) to dla kwadratury prostokątów

\displaystyle  Q_0(f)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\frac{b-a}{2} \approx S(f) = \int_a^b f(x)\, dx

mamy

\displaystyle S(f)\,-\,Q_0(f)\,=\,\frac{(b-a)^3}{24}f^{(2)}(\xi_0),

(\displaystyle \xi_0\in [a,b]), a w konsekwencji dla funkcji, których druga pochodna jest ograniczona przez stałą \displaystyle M (klasę wszystkich takich funkcji oznaczamy przez \displaystyle F^1_M([a,b])), zachodzi

\displaystyle \max_{f\in F^1_M([a,b])} |S(f)-Q_0(f)|\,=\,      \frac{M(b-a)^3}{24}.

Porównaj ten wynik z wynikiem dla kwadratury trapezów.

Rozwiązanie

Wzór najprościej dowieść, korzystając z rozwinięcia Taylora wokół środka odcinka.

Błąd w klasie \displaystyle F^1_M([a,b]) jest dla kwadratury prostokątów dwa razy mniejszy niż dla kwadratury trapezów.

Ćwiczenie

Rozpatrzmy kwadratury interpolacyjne oparte na dwóch węzłach \displaystyle x_0,x_1\in [a,b]. Pokazać, że wśród tych kwadratur najmniejszy błąd w klasie \displaystyle F^1_M([a,b]) jest osiągany przez kwadraturę

\displaystyle Q^I(f)\,=\,\frac{b-a}{2}\left(f\Big(\frac{3a+b}{4}\Big)                   +f\Big(\frac{a+3b}{4}\Big)\right),

a jej błąd

\displaystyle \sup_{f\in F^1_M([a,b])}|S(f)-Q^I(f)|\,=\,        \frac{M(b-a)^3}{32}.

Ćwiczenie

Pokazać, że drugą kolumnę tabeli kwadratur Romberga tworzą złożone kwadratury parabol, tzn.

\displaystyle \bar P_k(f)\,=\,\frac{4\bar T_{2k}(f)-\bar T_k(f)}{3}.

Ćwiczenie

Opracuj ekonomiczny program obliczający wartość \displaystyle \bar T^s_1(f) kwadratury Romberga.

Wskazówka

Tego typu tabelki już liczyliśmy, przy okazji algorytmu różnic dzielonych.

Ćwiczenie

Zaimplementuj adaptacyjną kwadraturę trapezów.

Wskazówka

Dobrze jest skorzystać ze stosu, na którym będziesz odkładać użyteczne wartości

Rozwiązanie

Bardzo dokładnie opisuje to rozdział 7.6 w podręczniku

  • D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.