MIMINF:Analiza matematyczna 1

From Studia Informatyczne

Spis treści

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Aksjomatyka liczb rzeczywistych, potęga rzeczywista, ciągi liczbowe, szeregi liczbowe, granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, rachunek różniczkowy jednej zmiennej, zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych.

Sylabus

Autorzy

  • Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
  • Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
  • Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki.

Wymagania wstępne

  • Znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.

Zawartość

  1. Szkic teorii aksjomatycznej liczb rzeczywistych, w tym też: indukcja, zapis dziesiętny liczb całkowitych, kresy, potęga rzeczywista.
  2. Ciągi liczbowe: zbieżność, elementarne własności granicy skończonej i nieskończonej, podciągi i tw. Bolzano-Weierstrassa, warunek Cauchy'ego i zupełność, informacje o dalszych twierdzeniach z teorii granicy (np. tw. Stolza).
  3. Szeregi liczbowe: zbieżność i zbieżność bezwzględna, kryteria: porównawcze, asymptotyczne, d'Alemberta, Cauchy'ego, Dirichleta, zmiana kolejności sumowania, iloczyn Cauchy'ego szeregów.
  4. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, własności granicy, własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów, ciągłość jednostajna, szeregi potęgowe i kilka funkcji elementarnych (wykładnicza, logarytmiczna, potęgowa, trygonometryczne).
  5. Rachunek różniczkowy: własności algebraiczne pochodnej, różniczkowanie elementarnych funkcji, ekstrema lokalne, twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego o wartości średniej, reguła de l'Hospitala, wyższe pochodne, wypukłość, wzór Taylora.
  6. Zbieżności (punktowa, jednostajna, niemal jednostajna) ciągów i szeregów funkcyjnych: norma "sup" funkcji, warunki konieczne i dostateczne (kryt. Weierstrassa) zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych, twierdzenia o ciągłości i o różniczkowalności granicy, informacja o aproksymacji jednostajnej wielomianami.

Literatura

  1. Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, PWN (np. wyd. 6-te, 1973 r.).