CWGI Ćwiczenie 3

From Studia Informatyczne

Grafika:CWGI_CW3_Slajd1.pngGrafika:CWGI_CW3_Slajd2.png Ćwiczenia 3. Przekroje i przenikanie wielościanów o brył obrotowych


Zadanie 3.1.

Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego

Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami ABCDW\,. Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu mkln\,. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem.


W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni \pi_1\, i \pi_2\, rozpoczynamy od przeniesienia rzutu podstawy na oś y między rzutnią \pi_1\, a rzutnią \pi_3\,. Po obrocie osi y\, do pokrycia się z osią x\, wyznaczymy (po rozwinięciu układu trzech rzutni) trzeci rzut podstawy A''' ,B''' ,C''' , D'''. Podobnie czynimy z wierzchołkiem W\,. Po obrocie i przeniesieniu rzutu poziomego do trzeciej rzutni, odmierzamy wysokość ostrosłupa, która oczywiście wyznaczy nam trzeci rzut wierzchołka W'''.

Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup mkln\,, którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi y\, po obrocie.

Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio x\, i y\,.

Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia 1' ,2' ,3' , 5'. Rzut krawędzi graniastosłupa k', będzie pokrywał się z rzutem punku 4', przebicia tej krawędzi ze ścianą CDW\,, który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej WV\,, przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek W\, ostrosłupa. Punkt 6', będący rzutem punktu przebicia boku CB' ostrosłupa ze ścianą k'l', będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy 6'' będzie znajdował się na osi x\,. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie.

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania 1', 2', 3', 4', 5', 6' oraz 1''', 2''', 3''', 4''', 5''', 6'''. Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji.


Grafika:CWGI_CW3_Slajd3.pngGrafika:CWGI_CW3_Slajd4.png Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę \alpha\, tworzy również prosta pozioma a\, oś transformacji x_{1/3} obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej a'.

Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej \alpha'''(a x c). Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu P'''Q''' oraz R'''T''', które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów P' i Q' wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli i równoległym do osi transformacji x_{1/3}\, w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów T'\, i R'\, wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów R''' i T''' płaszczyznę \varepsilon''' równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu r\, wyznaczonym z trzeciego rzutu. Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu r\, wyznaczymy T'\, i R'\,. Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy. Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna \delta'''\, dla rzutu poziomego i \beta'\, dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny \alpha'''\, przetnie nam płaszczyznę \delta'''\, otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając C'\, i D'\,. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna \beta'\, i należąca do płaszczyzny \alpha\, prosta c\,. Rzut pionowy prostej c''\, określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności A''\, i B''\, . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne.

Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki.