CWGI Ćwiczenie 1

From Studia Informatyczne

Grafika:CWGI_CW1_Slajd1.png Ćwiczenia 1. Bryły i przekroje w rzucie aksonometrycznym


Zadanie1.1.

Narysować rurę stożkową o danych wymiarach w układzie dimetrii kawalerskiej


Układ dimetrii kawalerskiej pozwala przedstawiać elementy płaskie, bez zniekształceń, znajdujące się w płaszczyźnie 0yz\,. Przekrojem poprzecznym rury będą okręgi. Należy, zatem przyjąć takie usytuowanie rury w układzie dimetrii kawalerskiej, aby oś rury pokrywała się z kierunkiem osi x (przekrój poprzeczny rury będzie wówczas znajdował się na rzucie 0yz\,. Rozpoczynając rysowanie dokonujemy analizy skrótów aksonometrycznych w poszczególnych osiach. W kierunku osi x\, skrót aksonometryczny wynosi 1:2, a więc wymiary rury w tym kierunku będą zmniejszone o połowę. Mając takie informacje można rozpocząć konstruowanie rury. Dla pokazania przelotowości rury i jej wnętrza wyznaczamy widok z wycięta ćwiartka na całej długości (rys.C1.1).


Grafika:CWGI_CW1_Slajd2.png Zadanie1.2.

Narysować czworościan foremny o danym boku a, w układzie dimetrii kawalerskiej


Czworościan foremny jest bryłą, której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi (przyjmujemy wielkość boku a = 50 mm). Na rysunku C1.2. przedstawiono, po prawej stronie, trójkąt ABC, który jest podstawą tego czworościanu. Wyznaczając wysokości trójkąta, można wyznaczyć spodek wysokości czworościanu, a następnie budując trójkąt prostokątny w oparciu o znaną przyprostokątną (2/3 wysokości trójkąta - AS\,) oraz przeciwprostokątną AW\, - krawędź a\, czworościanu) otrzymamy wszystkie jego wielkości geometryczne, niezbędne do budowy bryły w układzie aksonometrycznym, a w szczególności wysokość h\, czworościanu będącą rzeczywista wielkością odcinka SW\,.


Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wykreślenia układu aksonometrycznego - perspektywy kawalerskiej. Przypominając, w osiach y\, i z\,, skrót aksonometryczny wynosi 1:1, natomiast w osi x\, wynosi 1:2. Podstawę czworościanu wykreślimy przyjmując w niezmienionej wielkości wysokość AD\, podstawy i umieszczając ją równolegle do osi y\,, przyjmując w pierwszej kolejności spodek wysokości S\, w dowolnym punkcie na osi y\,. Bok BC\,, prostopadły do wysokości AD\,, przyjmie kierunek osi x\,. Wielkość boku BC\, będzie oczywiście o połowę mniejsza od rzeczywistej, ponieważ skrót aksonometryczny w kierunku tej osi wynosi 1:2. Ze spodka wysokości w niezmienionej wielkości wykreślamy wysokość czworościanu, wyznaczając wierzchołek W\, czworościanu. Łącząc wierzchołek W\, czworościanu z wierzchołkami A, B, C\, wyznaczymy zarys bryły. Na zakończenie należy uwzględnić widoczność krawędzi obserwując bryłę z kierunku prostopadłego do płaszczyzny określonej osiami y, z\,. Krawędzie widoczne rysuje się linią grubą ciągłą, krawędzie niewidoczne linią


Grafika:CWGI_CW1_Slajd3.png Zadanie1.3.

Narysować sześcian o danym boku w dowolnym rzucie aksonometrycznym. Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzna określona przez trzy punkty (P,Q,R)\,, leżące na ścianach bocznych sześcianu


Korzystając z niezmienników rzutowania równoległego i twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, rysujemy rzut sześcianu o boku a = 30 mm w układzie perspektywy kawalerskiej.

Obieramy dowolną trójkę punktów P, Q, R,\, leżących na jego ścianach bocznych (rys.C1.3a).

Zadanie rozwiążemy wykorzystując twierdzenie "o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn". W tym celu przyjmijmy symboliczny opis trzech wybranych płaszczyzn, z których jedna jest płaszczyzną \alpha (PQR)\,, krojącą poszczególne ściany sześcianu. Dla ściślejszego zdefiniowania poszczególnych punktów PQR\,, w założeniach podano rzuty prostopadłe tych punktów na płaszczyznę podstawy ABCD\,, którą opiszemy symbolicznie literą \beta\,. Jako trzecią z płaszczyzn, biorących udział w konstrukcji przyjmijmy ścianę BCFG\, jako \gamma\,.

Zadaniem naszym jest wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzny \alpha (PQR)\, ze ścianami sześcianu.


Grafika:CWGI_CW1_Slajd4.png Krawędzie poszczególnych par płaszczyzn oznaczymy kolejno:

k_1=\alpha \cap \beta\,, k_2=\beta \cap \gamma\,, k_3=\alpha \cap \gamma\,

Wyznaczając konstrukcyjnie krawędzie k_1\, i k_2\,, możemy następnie, korzystając z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn, wyznaczyć poszukiwaną w zadaniu krawędź k_3\,.


Wyznaczanie krawędzi k_1\,

Poprowadźmy dwie proste należące do płaszczyzny \alpha (PQR)\,: prostą a\, przechodzącą przez punkty Q\,, R\, oraz prostą b przechodzącą przez punkty Q\,, P\,. Proste te przecinają się w punkcie Q\,. Rzuty a_{xy}\, i b_{xy}\, tych prostych na płaszczyznę podstawy \beta (ABCD)\,, będą przecinały się w punkcie Q_{xy}\,. Proste a\, i a_{xy}\, przecinają się w punkcie oznaczonym cyfrą I\,. Punkt I\, jest, zatem wspólnym dla płaszczyzn \alpha\, i \beta\,, ponieważ należy do prostych a\, i a_{xy}\,, a te z kolei należą odpowiednio do płaszczyzn \alpha\, i \beta\,. Drugi punkt II\, wspólny płaszczyzn \alpha\, i \beta\, wyznaczymy prowadząc dwie, należące odpowiednio do płaszczyzn \alpha \cap \beta\,, kolejne proste b\, i b_{xy}\, które przetną się właśnie w tym punkcie. Łącząc punkty I\, i II\, wyznaczymy pierwsza z poszukiwanych krawędzi k_1 =\alpha \cap \beta\,. Jak widać na rysunku C1.3b krawędź k_1\, leży na płaszczyźnie \beta (ABCD)\,, lecz nie przecina ściany ABCD\, sześcianu.


Grafika:CWGI_CW1_Slajd5.png Wyznaczanie kolejnych krawędzi przedstawiono na rysunku C1.3c.


Wyznaczanie krawędzi k_2\,

Krawędź k_2\, wyznaczymy w sposób natychmiastowy, albowiem stanowi ona wspólną krawędź ścian ABCD\, oraz BCFG\, sześcianu.


Wyznaczanie krawędzi k_3\,

Krawędź k_2\, przecina krawędź k_1\, w punkcie oznaczonym cyfrą III\,. Punkt III\, jest, zatem punktem wspólnym trójki płaszczyzn \alpha\,, \beta\, i \gamma\,. Przez ten punkt, zgodnie z cytowanym wcześniej twierdzeniem, będzie przechodziła trzecia krawędź k_3=\alpha \cap \gamma\,. Drugi punkt wspólny tych płaszczyzn jest punktem R\, (z założenia punkt należący do płaszczyzny \alpha\, i \beta\,). Punkty III\, i R\, wyznaczą nam poszukiwaną krawędź k_3\,, która jest krawędzią przekroju płaszczyzny \alpha\, z jedną ze ścian sześcianu. Krawędź k_3\, przecina krawędzie sześcianu: BF\, w punkcie 1\, oraz CG\, w punkcie 2\,. Punkty te wyznaczają odcinek będący krawędzią przekroju ściany BCGF\, sześcianu płaszczyzną \alpha\,.


Grafika:CWGI_CW1_Slajd6.png Kolejne krawędzie przekroju sześcianu płaszczyzną \alpha\, można wyznaczyć powtarzając nasze rozumowanie, przy założeniu, że w miejsce jednej z płaszczyzn, np. \gamma\, wprowadzimy kolejną płaszczyznę przechodzącą przez inną ścianę sześcianu. Możemy jednak wyznaczyć następne boki przekroju korzystając z niezmienników rzutowania równoległego (rys.c1.3d).

Wyznaczony wcześniej punkt 2\, należy do krawędzi k_3\,, a wiec należy do płaszczyzny \alpha\,Punkt ten należy również do ściany EFGH\, sześcianu. Drugim punktem wspólnym płaszczyzny \alpha\, i górnej podstawy EFGH\, jest punkt Q\, z założenia należący do tych płaszczyzn. Zatem Kolejna krawędź k_4\, będzie przechodziła przez punkty Q\, i 2\,. Krawędź k_4\,, jak wynika z niezmienników rzutowania równoległego (płaszczyzna kroi dwie równoległe do siebie płaszczyzny wzdłuż dwóch prostych równoległych) będzie równoległa do krawędzi k_1\,.

Kolejna krawędź k_5\,, należąca do przekroju, będzie przechodziła przez punkt 3\, znajdujący się na krawędzi k_4\, oraz boku EH\, sześcianu. Krawędź ta będzie również równoległa do krawędzi k_3\,. Zamykająca przekrój krawędź k_6\, będzie przechodziła przez punkty 4\,, P\,, i 1\,.


Grafika:CWGI_CW1_Slajd7.png Kończąc zadanie: usuwamy części krawędzi sześcianu, które zostały odcięte płaszczyzną \alpha\, oraz kreskujemy figurę w płaszczyźnie przekroju, zgodnie z zasadami zapisu konstrukcji.