Analiza matematyczna 2/Test 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

From Studia Informatyczne

Rozważmy funkcję \displaystyle F(x,y)=\displaystyle x^y=y^x i jej \displaystyle P(a,b). Wtedy

\displaystyle a=1 i \displaystyle b=1

poziomica \displaystyle \{F=0\} jest wykresem pewnej funkcji \displaystyle y=y(x)

jeśli \displaystyle (a,b)\neq (e,e), to w otoczeniu punktu \displaystyle P poziomica \displaystyle \{F=0\} jest wykresem pewnej funkcji \displaystyle y=y(x).


Funkcja \displaystyle \displaystyle y=y(x) uwikłana równaniem \displaystyle \displaystyle xy-\ln y-1=0 i taka, że \displaystyle y(\frac 2e)=e, ma pochodną w punkcie \displaystyle \frac 2e równą

\displaystyle e

\displaystyle -e^2

\displaystyle e^2.


Równanie \displaystyle \displaystyle x^2+y^2=e^{x^2+y^2-1}

przedstawia okrąg \displaystyle \displaystyle x^2+y^2=1

określa jednoznacznie pewną funkcję \displaystyle \displaystyle y=y(x) poza punktami \displaystyle (-1,0) i \displaystyle (1,0)

określa jednoznacznie pewną funkcję \displaystyle \displaystyle x=x(y) poza punktami \displaystyle (0,-1) i \displaystyle (0,1).


Równanie \displaystyle \displaystyle z^3-3xyz-20=0 określa jednoznacznie pewną funkcję

\displaystyle \displaystyle z=z(x,y) w otoczeniu punktu \displaystyle (-1,2,2)

\displaystyle \displaystyle x=x(y,z) w otoczeniu punktu \displaystyle (0,1,1)

\displaystyle \displaystyle y=y(x,z) w otoczeniu punktu \displaystyle (0,1,\root 3 \of {20}).


Układ równań

\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} xy+yz+zx-11=0, \\ xyz-6=0\\ \end{array}

określa jednoznacznie parę funkcji \displaystyle \displaystyle y=y(x), z=z(x) w otoczeniu punku \displaystyle (1,2,3), których pochodne w punkcie \displaystyle 1 są równe

\displaystyle \displaystyle y'(1)=-8, z'(1)=9

\displaystyle \displaystyle y'(1)=9, z'(1)=-8

\displaystyle \displaystyle y'(1)=8, z'(1)=-9.


Równanie \displaystyle \displaystyle F(x,y)=0

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję \displaystyle y=y(x) spełniającą równanie
\displaystyle \displaystyle F(x,y(x))=0

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję \displaystyle x=x(y) spełniającą równanie
\displaystyle \displaystyle F(x(y),y)=0

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie funkcję \displaystyle y=y(x) spełniającą równanie \displaystyle \displaystyle F(x,y(x))=0 lub funkcję \displaystyle x=x(y) spełniającą równanie \displaystyle \displaystyle F(x(y),y)=0.


Funkcja \displaystyle \displaystyle z=z(x,y) określona równaniem \displaystyle \displaystyle x^6+y^6+z^6-6xyz=0

ma w punkcie \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,\root 9 \of 2) maksimum lokalne

ma w punkcie \displaystyle \displaystyle (x,y)=(-\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2) minimum lokalne

ma w punkcie \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2) minimum lokalne.


Niech \displaystyle \displaystyle g(x,y)=x^2+y^2-1. Wtedy funkcja \displaystyle \displaystyle f(x,y)=x^3+y^3

ma minimum warunkowe pod warunkiem \displaystyle \displaystyle g(x,y)=0 w punkcie \displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)

ma maksimum warunkowe pod warunkiem \displaystyle \displaystyle g(x,y)=0 w punkcie \displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)

nie ma ekstremum warunkowego pod warunkiem \displaystyle \displaystyle g(x,y)=0 w punkcie \displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1).


Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 ma ekstremum warunkowe w punkcie \displaystyle (0,0,1) pod warunkiem

\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=x+y+z-1=0

\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=xy+yz+zx-1=0

\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0.