Analiza matematyczna 2/Test 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych

From Studia Informatyczne

Funkcja \displaystyle f(x)=ax^2-2xy+2y^2-6x

ma maksimum w punkcie \displaystyle (6,3), jeśli \displaystyle a=1

ma minimum w punkcie \displaystyle (-2,-1), jeśli \displaystyle a=-1

nie ma ekstremum, jeśli \displaystyle a=\frac14.


Funkcja \displaystyle f(x,y)=(2x-x^2)(2y+y^2)

przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie punktu \displaystyle (0,0)

ma minimum w punkcie \displaystyle (2,-2)

ma minimum w punkcie \displaystyle (1,-1).


Funkcja \displaystyle f(x,y)=(y-x^3)(y-3x^3)

zacieśniona do zbioru \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb R^2: y=2x^3\} osiąga maksimum w punkcie \displaystyle (0,0)

zacieśniona do prostej \displaystyle y=x osiąga minimum w punkcie \displaystyle (0,0)

osiąga minimum w punkcie \displaystyle (0,0).


Jeśli \displaystyle z=f(x)=x^4-2x^2 oraz \displaystyle z=F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2), to

wykres funkcji \displaystyle F powstał przez obrót wykresu funkcji \displaystyle f dookoła osi \displaystyle 0z

funkcja \displaystyle F ma maksimum lokalne

funkcja \displaystyle F ma maksimum globalne.


Maksimum globalne w punkcie \displaystyle (0,0) ma funkcja

\displaystyle f(x,y)=\cosh(x^2+y^2)

\displaystyle g(x,y)=x^4+y^2

\displaystyle h(x,y)=xy.


Funkcja \displaystyle f(x,y,z)=\ln{x}+\ln{y}+\ln{z}+\ln(4-x-y-z)

nie ma punktów krytycznych

ma maksimum w punkcie \displaystyle (1,1,1)

ma minimum w punkcie \displaystyle (-1,-1,-1).


Funkcja \displaystyle f(x,y,z)=x^6-2y^5+z^2-3x^2-5y^2-4z

ma dokładnie trzy punkty krytyczne

ma maksimum w punkcie \displaystyle (0,0,2)

ma minimum w punkcie \displaystyle (1,-1,2).


Minimum globalne w \displaystyle (0,0,0) ma funkcja

\displaystyle f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|

\displaystyle g(x,y,z)=\sqrt{x^4+y^4+z^4}

\displaystyle h(x,y,z)= \sinh(x^2+y^2+z^2).


Funkcja wielu zmiennych

może mieć nieskończenie wiele maksimów i ani jednego minimum

musi mieć przynajmniej jedno maksimum, jeśli ma jakieś minimum

ma maksimum globalne, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne.