Analiza matematyczna 2/Test 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

From Studia Informatyczne

Funkcja

\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {x^2y}{x^2+y^2} & \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array}


ma pochodne cząstkowe w punkcie \displaystyle (0,0)

ma różniczkę w punkcie \displaystyle (0,0)

jest ciągła w punkcie \displaystyle (0,0).


Niech \displaystyle \displaystyle P=\{(x,x^2):x\in \mathbb{R}, x\neq 0\}. Wtedy funkcja

\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, \end{array}


ma różniczkę w punkcie \displaystyle (0,0)

jest ciągła w punkcie \displaystyle (0,0)

ma pochodne kierunkowe \displaystyle \displaystyle \partial_v f(0,0) dla dowolnego wektora \displaystyle v\neq 0.


Różniczka funkcji \displaystyle \displaystyle f(x,y,x)=(xy,yz) jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}y&x&0\\0&z&y \end{array} \right]

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}y&0\\x&z\\0&y \end{array} \right]

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}y&x&0\\0&z&y\\x&y&z \end{array} \right] .


Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji \displaystyle \displaystyle f(x,y)=2x+3xy^2 w punkcie \displaystyle (a,b,f(a,b)) jest równoległa do płaszczyzny \displaystyle \displaystyle 5x+12y-z=0,

tylko jeśli \displaystyle (a,b)=(2,1)

jeśli \displaystyle (a,b)=(1,2) lub \displaystyle (a,b)=(-1,-2)

jeśli \displaystyle (a,b)=(-2,-1) lub \displaystyle (a,b)=(2,1).


Różniczka rzędu drugiego funkcji \displaystyle \displaystyle f(x,y)=\sin x+\cos y+xy jest odwzorowaniem dwuliniowym danym przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-\sin x&1\\1&-\cos y \end{array} \right]

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-\cos y&1\\1&-\sin x \end{array} \right]

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-\sin x&-\cos y\\1&1 \end{array} \right] .


Jeśli \displaystyle f:\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto \left(xe^y, x^2+y^2\right)\in\mathbb{R}^2, to

macierzą Jacobiego odwzorowania \displaystyle f w punkcie \displaystyle (3,0) jest

\displaystyle \left[\beginmatrix 1&6\\3&0\endmatrix \right]

jakobian odwzorowania \displaystyle f w każdym punkcie jest nieujemny

jakobian odwzorowania \displaystyle f zeruje się na paraboli \displaystyle y=x^2.


Niech \displaystyle \displaystyle f(x,y)=\mathrm{arctg}\, (x+y). Współczynnik przy wyrażeniu \displaystyle \displaystyle h_1^2h_2 we wzorze na wartość różniczki \displaystyle d_{(0,1)}^3(h,h,h) na trójce takich samych wektorów \displaystyle h=(h_1,h_2) jest równy

\displaystyle \displaystyle \frac {1}{2}

\displaystyle \displaystyle \frac 32

\displaystyle \displaystyle \frac 16.


Niech \displaystyle \displaystyle f(x)=(x+y,xy) i \displaystyle \displaystyle g(x,y)=(x,xy,x^2y). Wtedy różniczka funkcji złożonej \displaystyle \displaystyle g\circ f jest dana przez macierz powstałą z pomnożenia macierzy

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}1&1\\y&x \end{array} \right] \left[\begin{array} {ccc}1&y&2xy\\0&x&x^2 \end{array} \right]

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}0&1\\x&y\\x^2&2xy \end{array} \right] \left[\begin{array} {cc}1&1\\x&y \end{array} \right]

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}1&0\\y&x\\2xy&x^2 \end{array} \right] \left[\begin{array} {cc}1&1\\y&x \end{array} \right] .


Rozważmy następujące zdania

(a) \displaystyle f ma różniczkę w punkcie \displaystyle (x_0,y_0)

(b) \displaystyle f ma pochodne cząstkowe w punkcie \displaystyle (x_0,y_0)

(c) \displaystyle f jest ciągła w punkcie \displaystyle (x_0,y_0).

Wtedy prawdziwe są następujące implikacje

\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)

\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (b) i \displaystyle (c)\Rightarrow (a)

\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (c) i \displaystyle (b)\Rightarrow (c).