Analiza matematyczna 2/Test 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac {xy\ln (x^2+y^2)}{x^2+y^2}. Wtedy

istnieją granice iterowane \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y), \displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y) i są równe

istnieją granice iterowane \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y), \displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y) i są różne

istnieje granica \displaystyle \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y).


Niech

\displaystyle \nabla f(x)=\left(\frac {\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\frac {\partial f}{\partial x_n}(x)\right )

oznacza gradient funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x=(x_1,\dots,x_n). Wtedy dla dowolnych funkcji \displaystyle f,g, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, prawdziwy jest wzór

\displaystyle \displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g

\displaystyle \displaystyle \nabla (fg)=(\nabla f,\nabla g) (symbol \displaystyle (v,u) oznacza iloczyn skalarny wektorów \displaystyle v,u)

\displaystyle \displaystyle \nabla (fg)=g\nabla f+f\nabla g.


Funkcja

\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {\sin (x^3-y^3)}{x^2+y^2}& \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array}


ma pochodną kierunkową \displaystyle \displaystyle \partial_v f(0,0), dla dowolnego wektora \displaystyle v\neq 0

jest ciągła

jest ograniczona.


Niech

\displaystyle \Delta f(x)=\sum_{j=1}^n\frac {\partial^2 f}{\partial x_j^2}(x)

oznacza laplasjan funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x=(x_1,\dots,x_n). Wtedy dla dowolnych funkcji \displaystyle f,g, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego, prawdziwy jest wzór

\displaystyle \displaystyle \Delta (f+g)=\Delta f+\Delta g

\displaystyle \displaystyle \Delta (fg)=\Delta f\Delta g

\displaystyle \displaystyle \Delta (fg)=g\Delta f+f\Delta g.


Funkcja

\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {lr} &\mathrm{arctg}\, \left(\frac {x^2}{y^2}\right ), \ \ \text{dla} \ \ y\neq 0, \\ &\frac {\pi}{2}, \ \ \text {dla} \ \ y=0, \end{array}


jest ciągła

jest ciągła w zbiorze \displaystyle \displaystyle \mathbb{R} \setminus \{(0,0)\}

jest ograniczona.


Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x,y)=x+g(xy), gdzie \displaystyle \displaystyle g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

\displaystyle \displaystyle \displaystyle x\frac {\partial f}{\partial x}-y\frac {\partial f}{\partial y}=x

\displaystyle \displaystyle x\frac {\partial f}{\partial x}+y\frac {\partial f}{\partial y}=x

\displaystyle \displaystyle y\frac {\partial f}{\partial x}-x\frac {\partial f}{\partial y}=y.


Niech \displaystyle \displaystyle f(x,y)=\mathrm{arctg}\, (\sqrt {x^2+y^2}). Wtedy zbiór

\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:|\nabla f(x,y)|=c\}


jest okręgiem \displaystyle \displaystyle x^2+y^2=1 dla \displaystyle c=1

jest pusty dla \displaystyle c\in(0,1)

jest pusty dla \displaystyle c>1.


Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x,y)=e^x(x\cos y-y\sin y) spełnia równanie

\displaystyle \displaystyle \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial x}

\displaystyle \displaystyle \frac {\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}

\displaystyle \displaystyle \frac {\partial^2 f}{\partial x^2}=-\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}.


Równanie

\displaystyle \frac {x+yy'}{xy'-y}=2

we współrzędnych biegunowych ma postać

\displaystyle \displaystyle r'+2r=0

\displaystyle \displaystyle r'=2r

\displaystyle \displaystyle 2r'=r.