Analiza matematyczna 2/Test 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

From Studia Informatyczne

Promień zbieżności szeregu \displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+(-1)^{n+1}}(x-2)^n wynosi

2

-1

1


Przedział zbieżności szeregu potęgowego \displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+\cos n}{n^3}(x+1)^n jest równy

\displaystyle \displaystyle [-1,1]

\displaystyle \displaystyle [-2,0]

\displaystyle \displaystyle (-2,0)


Szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n ma promień zbieżności \displaystyle R. Szereg \displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n^2+3n+2)c_{n+2}x^n ma promień zbieżności

\displaystyle R+2

\displaystyle R^2

\displaystyle R


Promień zbieżności szeregu potęgowego \displaystyle \displaystyle\sum_{n=01}^{\infty}n^nx^n jest równy

\displaystyle \displaystyle\infty

\displaystyle  0

\displaystyle n


Funkcja \displaystyle f jest dana jako suma szeregu \displaystyle \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(x-2)^n. Wówczas:

\displaystyle f jest określona i ciągła na przedziale \displaystyle \displaystyle [2,3)

\displaystyle f jest określona i ciągła na przedziale \displaystyle \displaystyle [2,3]

\displaystyle f jest określona i ciągła na przedziale \displaystyle \displaystyle (2,3)


Dana jest funkcja \displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\displaystyle f(x)=x^2-1+x-1.

\displaystyle x^2-1+x-1 jest rozwinięciem \displaystyle f w szereg Taylora o środku w \displaystyle x_0=1

\displaystyle x^2+x-1 jest rozwinięciem \displaystyle f+1 w szereg Taylora o środku w \displaystyle x_0=0

\displaystyle x^2-1+x-1 jest rozwinięciem \displaystyle f w szereg Taylora o środku w \displaystyle x_0=-1


Szereg Fouriera funkcji \displaystyle f(x)=\sin x\cos x na przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi] to

\displaystyle \displaystyle\sin x\cos x

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x

\displaystyle \displaystyle\sin x+\cos x


Na przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi] dana jest funkcja

\displaystyle f(x)   \ =\   \left\{   \begin{array} {lll}      0 & \textrm{dla} & x=-\pi \\    x^3 & \textrm{dla} & x\in (-\pi, \pi)\\      0 & \textrm{dla} & x=\pi   \end{array}    \right.

Jej szereg Fouriera jest do niej zbieżny

na całym przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi]

tylko na przedziale \displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi)

tylko na przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi)


Szereg Fouriera funkcji \displaystyle x^2+\cos x to

\displaystyle \displaystyle\frac{\pi^2}{3}-3\cos x+4\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^m\frac{\cos mx}{m^2}

\displaystyle \displaystyle\frac{\pi^2}{3}+\cos x+4\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m\frac{\cos mx}{m^2}

\displaystyle \displaystyle\frac{\pi^2}{3}+\cos  x+4\sum_{m=1}^{\infty}\cos(m\pi)\frac{\cos  mx}{m^2}