Analiza matematyczna 2/Test 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

From Studia Informatyczne

Dany jest ciąg funkcyjny \displaystyle \displaystyle\{f_n\}, gdzie \displaystyle \displaystyle f_n(x)= \left\{\begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} & x\in[n,n+1]\\ 0 & \textrm{dla} & x\in \mathbb{R}\setminus[n,n+1] \end{array}  \right.    dla \displaystyle n\in\mathbb{N}. Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do \displaystyle f(x)\equiv 0

zbieżny jednostajnie do \displaystyle f(x)\equiv 0

zbieżny punktowo do funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} & x\geq 1\\ 0 & \textrm{dla} & x<0 \end{array}  \right.

Dany jest ciąg funkcyjny \displaystyle \displaystyle\{f_n\}, gdzie

\displaystyle f_n(x)= \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{1-n^{-x}}{1+n^{-x}} & \textrm{dla} & x>0\\ \\ \displaystyle \frac{2-n^{x}}{2+n^{x}} & \textrm{dla} & x<0\\ \\ 0 & \textrm{dla} & x=0\\ \end{array}  \right. \quad      dla \displaystyle  \ n=1,2,\ldots

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie

rozbieżny

Dany jest ciąg funkcyjny \displaystyle \displaystyle f_n(x)=\sqrt[n]{x} dla \displaystyle x\ge 0. Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła

Dany jest szereg \displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{2^n(x^2+1)}, \ x\in \mathbb{R}. Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji \displaystyle f(x)\equiv 0.

zbieżny jednostajnie do funkcji \displaystyle f takiej, że \displaystyle 0<f(x)<3

zbieżny jednostajnie do funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{2(x^2+1)}

Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[n]{x}}{n(n+1)(x^2+1)}. Granica \displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 3}f(x) wynosi

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{10}

\displaystyle \sqrt{3}

\displaystyle 0

Szereg \displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(x^4+4)} jest

zbieżny punktowo

zbieżny jednostajnie

rozbieżny

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=\cos 2x to

\displaystyle \displaystyle-\frac{2^6}{6!}

\displaystyle \displaystyle\frac{2^6}{6!}x^6

\displaystyle \displaystyle\frac{-4}{45}x^6

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x} o środku w \displaystyle x_0=0 wynosi

\displaystyle \displaystyle\frac{-1}{64}x^6

\displaystyle \displaystyle\frac{-1}{64}x^5

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}x^6

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji \displaystyle \displaystyle\sqrt{x} ośrodku w \displaystyle x_0=1. Współczynnik przy \displaystyle x wynosi

\displaystyle \displaystyle\frac{15}{16}

\displaystyle \displaystyle\frac{5}{16}

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{16}