Analiza matematyczna 2/Test 3: Norma. Iloczyn skalarny

From Studia Informatyczne

\displaystyle \displaystyle\|x\|_1=17 dla

\displaystyle \displaystyle x=(-4,5,-8)

\displaystyle \displaystyle x=(-1,1,17)

\displaystyle \displaystyle x=(-4,0,1)


W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 ze standardowym iloczynem skalarnym wektory \displaystyle x=(3,5) i \displaystyle y=(-1,a) są prostopadłe dla

\displaystyle \displaystyle a=-\frac{3}{5}

\displaystyle \displaystyle a=\frac{3}{5}

\displaystyle \displaystyle a=\frac{5}{3}


W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym wektory \displaystyle x=(-1,2,3) i \displaystyle y=(1,a,b) są prostopadłe dla

\displaystyle \displaystyle a=2,\ b=-1

\displaystyle \displaystyle a=5,\ b=-3

\displaystyle \displaystyle a=-1,\ b=1


W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 definiujemy \displaystyle \displaystyle ((x_1,x_2)|(y_1,y_2))=ax_1y_1+x_2y_2. Jest to iloczyn skalarny dla

\displaystyle \displaystyle a=0

\displaystyle \displaystyle a=5

\displaystyle \displaystyle a=-5


W przestrzeni euklidesowej \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 odległość wektorów \displaystyle x=(-1,2) i \displaystyle y=(3,1) wynosi

\displaystyle \displaystyle \sqrt{17}

\displaystyle \displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{10}

\displaystyle \displaystyle \sqrt{15}


W przestrzeni unitarnej \displaystyle X dane są dwa wektory \displaystyle x i \displaystyle y. Jeśli \displaystyle x\perp y, to

\displaystyle \displaystyle \|x-y\|=\|x\|^2-\|y\|^2

\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^3=\|x+y\|^3

\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2


Jeśli \displaystyle \displaystyle\{x_n\} i \displaystyle \displaystyle\{y_n\} są dwoma ciągami zbieżnymi w przestrzeni unitarnej \displaystyle \displaystyle\big(X,(\cdot|\cdot)\big), to

Ciągi \displaystyle \displaystyle\{\|x_n\|\} i \displaystyle \displaystyle\{\|y_n\|\} są zbieżne w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.

Ciąg \displaystyle \displaystyle\{(x_n|y_n)\} jest zbieżny w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}

Ciąg \displaystyle \displaystyle\{\|x_n-y_n\|\} jest zbieżny w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}


W przestrzeni unormowanej \displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot\|) prawdziwe są nierówności

\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge \|x\|-\|y\|

\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge \|y\|-\|x\|

\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\ge -\|x\|-\|y\|


Dla funkcji \displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow\mathbb{R} danej wzorem \displaystyle f(x)=\sqrt{\pi}(x^2-x) norma supremowa \displaystyle \displaystyle\|f\|_{\infty} wynosi

\displaystyle \displaystyle \sqrt{\pi}

\displaystyle \displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{\pi}

\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{4}\sqrt{\pi}