Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

From Studia Informatyczne

Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

jest stały

jest od pewnego miejsca stały

zawsze


Ciąg \displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n \in\mathbb{N}} w przestrzeni metrycznej \displaystyle \displaystyle\big(\mathbb{R}\setminus \{0\}, d_2\big) jest ciągiem

zbieżnym w tej przestrzeni

spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni

ograniczonym w tej przestrzeni


W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 z metryką kolejową o węźle \displaystyle O=(0,0) dany jest ciąg \displaystyle x_n=(-\frac{1}{n},-1) dla \displaystyle n\in\mathbb{N}. Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu \displaystyle d(x_n,x_{n+1})

maleje do zera, gdy \displaystyle n\rightarrow+\infty

jest zawsze w przedziale \displaystyle \displaystyle [1,2]

jest zawsze w przedziale \displaystyle \displaystyle [2,4]


Punktami stałymi odwzorowania \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\displaystyle f(x)=x^2+x-1

\displaystyle \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} i \displaystyle \displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}

\displaystyle -1 i \displaystyle 1

odwzorowanie nie ma punktów stałych


Obrazem odcinka \displaystyle \displaystyle [0,1] przez funkcję \displaystyle \displaystyle\frac{1}{x-2} jest

\displaystyle \displaystyle \bigg[\frac{1}{2},1\bigg]

\displaystyle \displaystyle \bigg[-1,-\frac{1}{2}\bigg]

\displaystyle \displaystyle \bigg(-\infty,-\frac{1}{2}\bigg]


W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} z metryką dyskretną rozważamy zbiór \displaystyle A=\{5,25\}. Zbiór \displaystyle A

jest spójny

jest zwarty

zawiera się w pewnej kuli o promieniu \displaystyle 2


Niech \displaystyle A będzie kulą w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 z metryką \displaystyle d_1 o środku \displaystyle \displaystyle (0,0) i promieniu \displaystyle 1. Promień największej kuli w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 z metryką \displaystyle d_2 o środku \displaystyle \displaystyle (0,0) zawartej w kuli \displaystyle A wynosi

\displaystyle 1

\displaystyle \displaystyle\sqrt{2}

\displaystyle \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}


W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty \displaystyle A. Wówczas zbiór \displaystyle A jest

zwarty

skończony

ograniczony


W przestrzeni metrycznej \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2) dany jest zbiór \displaystyle A=\{-1\}\cup [2,3]. Wówczas

\displaystyle \displaystyle\mathrm{int}\, A=(2,3)

\displaystyle \displaystyle\partial A=\{2,3\}

\displaystyle \displaystyle\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}