Analiza matematyczna 2/Test 1: Przestrzenie metryczne

From Studia Informatyczne

Mamy następujące przestrzenie metryczne: \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2, d_{\infty}),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_1),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_d),\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_r), gdzie \displaystyle d_d oznacza metrykę dyskretną, a \displaystyle d_r metrykę "rzeka" z prostą \displaystyle l będącą osią \displaystyle Ox. W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 dane są dwa punkty: \displaystyle A=(-1,2) i \displaystyle B=(1,3). Wtedy:

\displaystyle d_2(A,B)^2=d_r(A,B)d_d(A,B)-d_{\infty}(A,B)

\displaystyle d_d(A,B)+d_{\infty}(A,B)=d_1(A,B)

\displaystyle d_2(A,B)^2+d_{\infty}(A,B)^2=d_1(A,B)^2


Dla zbioru \displaystyle \displaystyle A:=\bigg\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\bigg\}\cup\{0\} w przestrzeni metrycznej \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2) zachodzi

\displaystyle A=\overline{A}

\displaystyle \displaystyle\partial A=\{0\}

\displaystyle A jest zwarty


Zbiory \displaystyle B i \displaystyle C w przestrzeni metrycznej \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2) dane są jako \displaystyle \displaystyle B:=\bigg\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ y\leq x^{\frac{2}{3}}\bigg\} (gdzie za dziedzinę funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=x^{\frac{2}{3}} przyjmujemy całe \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}). Zbiór \displaystyle \displaystyle C:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ y\ge x^2\}. Wtedy \displaystyle B\cap C jest

zbiorem otwartym

zbiorem spójnym

zbiorem nieograniczonym


Jeśli \displaystyle d jest funkcją określoną na \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 jako

\displaystyle d\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)= (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2

to

\displaystyle d przyjmuje wartości nieujemne

\displaystyle d jest funkcją symetryczną

\displaystyle d jest metryką


Przedział \displaystyle \displaystyle [0,1] z metryką dyskretną

jest zwarty

jest spójny

zawiera się w kuli o środku \displaystyle \displaystyle x_0=\frac{1}{2} i promieniu \displaystyle \displaystyle r=\frac{3}{4}


Określamy metrykę na \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} wzorem \displaystyle \displaystyle d(x,y):=\mathrm{arctg}\, d_2(x,y). Niech \displaystyle \displaystyle A:=[0,+\infty). W tej przestrzeni metrycznej średnica zbioru \displaystyle A jest równa

\displaystyle \displaystyle\pi

\displaystyle \displaystyle\frac{\pi}{2}

\displaystyle \displaystyle\infty


Niech \displaystyle A_n będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}, d_2),\displaystyle \displaystyle A_n:=\bigg\{\frac{1}{k}, k>n\bigg\}. Niech \displaystyle \displaystyle B_n:=\overline{A_n}. Wtedy \displaystyle \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n jest równe

\displaystyle \displaystyle\emptyset

\displaystyle \displaystyle\{0\}

\displaystyle \displaystyle \bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n=1}^{\infty}


W przestrzeni metrycznej \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2) dane są dwa zbiory \displaystyle A=\bigg\{(x,y):\ y=\frac{1}{x}\bigg\},\displaystyle B=\big\{(x,y):\ x=y\big\}. Wówczas zbiór \displaystyle A\cup B

jest zwarty

jest spójny

ma niepuste wnętrze.


W \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^2,d_2) dany jest zbiór \displaystyle A=K((0,0),4)\setminus K((0,0),2). Brzegiem zbioru \displaystyle A jest

\displaystyle \displaystyle\big\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=2\big\}

\displaystyle \displaystyle\big\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=4\big\}

\displaystyle \displaystyle\big\{(x,y)\subseteq\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=2\ lub \displaystyle  \ x^2+y^2=4\big\}