Analiza matematyczna 2/Test 15: Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

From Studia Informatyczne

Przestrzeń \displaystyle C^1[0,1] z normą

\displaystyle \|f\|=\max \{|f(t)|, 0\leq t\leq 1\}+\max \{|f'(t)|, 0\leq t\leq 1\}.


jest przestrzenią metryczną zupełną

jest przestrzenią Hilberta

ma wymiar skończony.


Jeśli funkcja Lagrange'a \displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t) nie zależy od zmiennej \displaystyle y, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}( f,   f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}( f,   f',t)=0

\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,   f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,   f',t)=C, gdzie \displaystyle C jest dowolną stałą.

\displaystyle L(f,f',t)-f'\frac{\partial L}{\partial t}(f,f',t)=0.


W przestrzeni \displaystyle C^1[0,1] określono normę

\displaystyle \|f\|=\max \{|f(t)|, 0\leq t\leq 1\}+\max \{|f'(t)|, 0\leq t\leq 1\}.

Norma funkcji \displaystyle f(t)=-\exp(-t) w tej przestrzeni wynosi

\displaystyle 0

\displaystyle 2

\displaystyle 2e^{-1}.


Jeśli funkcja Lagrange'a \displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t) nie zależy od zmiennej \displaystyle t, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,   f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,   f',t)=C, gdzie \displaystyle C jest dowolną stałą.

\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,   f',t)-\frac{\partial L}{\partial t}(f,   f',t)=0.

\displaystyle L(f,f',t)-f'\frac{\partial L}{\partial   t}(f,f',t)=0.


Równanie \displaystyle t\mapsto (x(t), y(t)), gdzie \displaystyle x(t)=r(t-\sin t), \displaystyle y(t)=r(1-\cos t) przedstawia

okrąg

elipsę

cykloidę.


Funkcjonał \displaystyle J[f]=\pi \int_{a}^{b}f^2 dt wyraża

objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji \displaystyle t\mapsto f(t), \displaystyle a\leq t\leq b, dokoła osi rzędnych

pole powierzchni obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji \displaystyle t\mapsto f(t), \displaystyle a\leq t\leq b, dokoła osi rzędnych

długość krzywej stanowiącej wykres funkcji \displaystyle t\mapsto f(t), \displaystyle a\leq t\leq b.


Jeśli funkcja Lagrange'a \displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t) nie zależy od zmiennej \displaystyle x, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}(f,f',t)=0

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial t}(f,f',t)=C, gdzie \displaystyle C jest dowolną stałą

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}(f,f',t)=C, gdzie \displaystyle C jest dowolną stałą.


Ekstremalą funkcjonału \displaystyle \displaystyle J[f]=\int_{0}^{1} \sqrt{1+(f')^2 }dt, \displaystyle f(0)=1, \displaystyle f(1)=2, jest

łuk okręgu o środku \displaystyle (1,1) i promieniu \displaystyle 1

odcinek o końcach \displaystyle (0,1), \displaystyle (1,2)

odcinek prostej o równaniu \displaystyle  f(t)=t+1.


Ekstremalą funkcjonału \displaystyle \displaystyle J[f]=\int_{-\pi}^{\pi} f\sqrt{1+(f')^2 }dt, \displaystyle f(-\pi)=0, \displaystyle f(\pi)=0, jest funkcja

\displaystyle f(t)=t^2-\pi^2

\displaystyle f(t)=1+\cos  t

\displaystyle f(t)=0.