Analiza matematyczna 2/Test 14: Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych

From Studia Informatyczne

Równanie \displaystyle \displaystyle\dot{x}-\sqrt{x}t=0 jest równaniem

o zmiennych rozdzielonych

Bernoullego

liniowym


Równanie \displaystyle \displaystyle (\dot{x})^2+x=t jest równaniem różniczkowym

rzędu pierwszego

rzędu drugiego

liniowym niejednorodnym


Funkcja \displaystyle x(t)=\cos t jest rozwiązaniem równania różniczkowego

\displaystyle \displaystyle\ddot{x}+x=0

\displaystyle \displaystyle \dot{x}+x=\sqrt{2}\sin\bigg(\frac{\pi}{4}-t\bigg)

\displaystyle \displaystyle (\dot{x})^2+x^2=1


Równanie charakterystyczne dla równania \displaystyle x^{(4)}+2x=-t

ma pierwiastek podwójny równy \displaystyle -1

ma cztery pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych równych \displaystyle 0

ma cztery pierwiastki zespolone o niezerowych częściach rzeczywistych


Rozwiązaniem ogólnym równania \displaystyle \displaystyle\dot{x}-x=\cos t

jest \displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{-t}-\cos t, gdzie \displaystyle C jest stałą dowolną

jest \displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{t}, gdzie \displaystyle C jest stałą dowolną

jest \displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{t}-0.5\cos t, gdzie \displaystyle C jest stałą dowolną


Rozwiązaniem równania \displaystyle \displaystyle\sqrt{1-t^2}\dot{x}+\sqrt{1+x^2}=0 jest funkcja \displaystyle x(t) zadana równaniem

\displaystyle \displaystyle{\rm arsinh\, }{x}-\arcsin{t}=0

\displaystyle \displaystyle\ln|x+\sqrt{1+x^2}|=\arcsin{t}

\displaystyle \displaystyle\ln|x+\sqrt{1+x^2}|=\ln\bigg|\frac{1+t}{1-t}\bigg|


Dane jest równanie różniczkowe \displaystyle \displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x=t^4 mające \displaystyle n różnych pierwiastków równania charakterystycznego. Rozwiązania szczególnego (metodą przewidywań) szukamy w postaci

\displaystyle \displaystyle x(t)=a_1t^4+a_2t^3+a_3t^2+a_4t+a_5

\displaystyle \displaystyle x(t)=e^t(a_1t^4+a_2t^3+a_3t^2+a_4t+a_5)

\displaystyle \displaystyle x(t)=a_1t^5+a_2t^4+a_3t^3+a_4t^2+a_5t


W rozwiązaniu ogólnym równania \displaystyle \displaystyle \dot{x}-x=0 bierzemy stałą \displaystyle C tak, by rozwiązanie równania przechodziło przez punkt \displaystyle \displaystyle (\ln 2, 1). Ta stała jest równa

\displaystyle -2

\displaystyle 2

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}


Weźmy rozwiązanie ogólne równania \displaystyle \displaystyle \ddot{x}+x=1 ze stałymi dowolnymi \displaystyle C_1 i \displaystyle C_2. Jeśli to rozwiązanie oraz jego pochodna przechodzą przez punkt \displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{\pi}{2},\pi\bigg), to stałe \displaystyle C_1 i \displaystyle C_2 należą do zbioru

\displaystyle \displaystyle\big\{\pi,1\big\}

\displaystyle \displaystyle\big\{-\pi,\pi-1\big\}

\displaystyle \displaystyle\bigg\{1-\pi,\frac{\pi}{2}\bigg\}