Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne

From Studia Informatyczne

Jeśli funkcja \displaystyle h jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą

różniczkowalną

klasy \displaystyle C^{\infty}.


Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji.

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu.

Jeśli w chwili \displaystyle t_0 mamy \displaystyle 4 g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie \displaystyle 1 g.


Funkcja \displaystyle g(t)=-\ln(1-e^t) jest rozwiązaniem

równania różniczkowego \displaystyle x'=e^{t+x}

problemu początkowego Cauchy'ego \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\end{array}

problemu początkowego Cauchy'ego \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\end{array}.


Problem początkowy Cauchy'ego

\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\end{array}

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

\displaystyle t_0=3, x_0=2

\displaystyle t_0=2,x_0=3

\displaystyle t_0=3, x_0=3.


Jednym z rozwiązań równania \displaystyle t^2x'= -x jest funkcja

\displaystyle \displaystyle f(t)=-\exp\left(\frac1t\right)+2

\displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\ 3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases

\displaystyle \displaystyle h(t)=\exp\left(\frac1t\right).


Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\end{array}

otrzymujemy

\displaystyle x_2(t)=\frac12t^2-\frac16t^3

\displaystyle x_4(t)=\frac12t^2-\frac16t^3+\frac1{24}t^4-\frac1{120}t^5

\displaystyle \displaystyle x(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-t)^n}{n!}.


Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\end{array}

w przedziale \displaystyle [0;\ 2] i biorąc \displaystyle h=0,5 otrzymujemy

łamaną o węzłach \displaystyle \displaystyle (0,0), \left(\frac12,0\right), \left(1, \frac18\right), \left(\frac32, \frac{11}{16}\right), \left(2, \frac{69}{32}\right)

wartość łamanej Eulera w punkcie \displaystyle \dfrac 32 równą \displaystyle \tilde{x}\left(\dfrac 32\right) =\dfrac{11}{16}

wartość łamanej Eulera w punkcie \displaystyle 2 równą \displaystyle \tilde{x}\left(2\right) = \dfrac{47}{32}.


Jeśli funkcja \displaystyle x jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\end{array}, to

\displaystyle x'(0)=1

\displaystyle x''(0)=1

\displaystyle x'''(0)=2.


Rozważamy równanie \displaystyle x'=\dfrac xt.

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej \displaystyle x=3t są do niej równoległe.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej \displaystyle x=0 są do niej prostopadłe.