Analiza matematyczna 2/Test 12: Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena

From Studia Informatyczne

Krzywa zadana przez parametryzację \displaystyle \displaystyle\gamma(t)=(t^3,t^3),\displaystyle \displaystyle t\in\bigg[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg] jest

łukiem gładkim

krzywą zwyczajną

krzywą mającą punkty podwójne


Krzywa zadana przez parametryzację \displaystyle x=\sin^3 t, y=\cos^3 t, \ t\in [0,\pi] jest

krzywą regularną

krzywą zamkniętą

krzywą zwyczajną


Mamy trzy parametryzacje odcinka w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 łączącego punkt \displaystyle \displaystyle (-1,-1) z punktem \displaystyle \displaystyle (0,0):

\displaystyle \gamma_I(t)=(t,t),\ t\in[-1,0]\ \ \gamma_{II}(t)=(-t,-t),\ t\in[0,1]\ \ \gamma_{III}(t)=\displaystyle (-1-t,-1-t),\ t\in[-1,0].

Parametryzacje \displaystyle \displaystyle\gamma_I i \displaystyle \displaystyle\gamma_{II} zadają przeciwne orientacje

Parametryzacje \displaystyle \displaystyle\gamma_{III} i \displaystyle \displaystyle\gamma_{II} zadają tę samą orientację

Parametryzacje \displaystyle \displaystyle\gamma_{III} i \displaystyle \displaystyle\gamma_{I} zadają tę samą orientację


Pole wektorowe na \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 dane jako \displaystyle F(x,y)=(x^2+ay,y^2+x) jest polem potencjalnym dla

\displaystyle a=-1

\displaystyle a=1

\displaystyle a=0


Całka \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_K xdx+ydy po odcinku \displaystyle \displaystyle [0,1]\times \{0\} w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 jest równa

\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}

\displaystyle 0

\displaystyle 1


Całka \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_K xdx-ydy po brzegu trójkąta o wierzchołkach \displaystyle \displaystyle (0,0), (1,0), (0,1) jest równa

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}

\displaystyle 0

\displaystyle 1


Całka \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_K \big(-y\cos^2x\big) dx+ \bigg(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x\bigg)dy po brzegu koła jednostkowego o środku w \displaystyle \displaystyle (0,0) wynosi

\displaystyle 0

\displaystyle \displaystyle\pi

\displaystyle 2\pi


Całka \displaystyle  \displaystyle\displaystyle\int\limits_Ky^2dx+2xydy po krzywej zadanej przez parametryzację \displaystyle \displaystyle\gamma(t)=(t,t^2),\ t\in[0,1] jest

równa zero

równa \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1 3s^2ds

równa \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1  5s^4 ds


Zbiór \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ 2<x^2+y^2<4\}

jest spójny

jest jednospójny

jest ograniczony