Analiza matematyczna 2/Test 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

From Studia Informatyczne

W całce \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{x^2-2x}}f(x,y)\,dy całkujemy po zbiorze danym we współrzędnych biegunowych jako

\displaystyle \displaystyle \alpha\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg],\displaystyle \displaystyle0\le r\le \cos \alpha

\displaystyle \displaystyle \alpha\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg],\displaystyle \displaystyle 0\le r\le 2\cos\alpha

\displaystyle \displaystyle \alpha\in\bigg[0,\pi\bigg],\displaystyle \displaystyle 0\le r\le 2\sin\alpha


Całka \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1dy\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{1-y^2}}dx\displaystyle\int\limits_0^{xy}f(x,y,z)\,dz jest równa całce

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}}dy\displaystyle\int\limits_{xy}^0(-f(x,y,z))dz

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_1^0dx\displaystyle\int\limits_{\sqrt{1-x^2}}^0dy\displaystyle\int\limits_0^{xy}f(x,y,z)dz

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_1^0dy\displaystyle\int\limits_{\sqrt{1-y^2}}^0dx\displaystyle\int\limits_{xy}^0(-f(x,y,z))dz


Całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_K 2dxdy, gdzie \displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x^2+y^2\leq 4\} wynosi

\displaystyle 8\pi

\displaystyle 4\pi

\displaystyle  16\pi


Całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_D (x^2+y^2)dxdy, gdzie \displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \ x^2+y^2\leq 4\} wynosi

\displaystyle \displaystyle\frac{3}{4}\pi

\displaystyle \displaystyle 8\pi

\displaystyle \displaystyle\frac{4}{3}\pi


Całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_W dxdydz, gdzie \displaystyle W=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ z^2+y^2\leq 4, \ 0\leq x\leq H  \} (gdzie \displaystyle H jest dane i większe od zera) jest równa

\displaystyle 4\pi H^2

\displaystyle \displaystyle\pi H^2

\displaystyle  2\pi H^2


We współrzędnych biegunowych zbiór \displaystyle D\subset \mathbb{R}^2 jest zadany jako

\displaystyle \bigg\{(r,\alpha):\ 2<r\leq 4, \   \alpha\in\bigg[\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\bigg]\bigg\}.

We współrzędnych kartezjańskich zbiór \displaystyle D można zapisać jako

\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ \sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\leq 2, \ |x|\leq y\}

\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ \sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\leq 2, \ |y|\leq x\}

\displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ 2<x^2+y^2\leq 4, \ |x|\leq y\}


Całka po kuli o promieniu \displaystyle R z funkcji \displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 jest równa

\displaystyle \displaystyle \frac{4}{3}\pi R^4

\displaystyle \displaystyle \frac{4}{5}\pi R^5

\displaystyle \displaystyle \frac{2}{5}\pi R^5


Jeśli \displaystyle \displaystyle K=\underbrace{[-1,1]\times\ldots\times [-1,1]}_{ \displaystyle n razy \displaystyle  }, to całka \displaystyle \displaystyle\idotsint\limits_Kdx_1\ldots dx_n wynosi

\displaystyle 1

\displaystyle n

\displaystyle 2^n


Powierzchnia \displaystyle D ograniczona jest prostymi \displaystyle y=0,\displaystyle y=\sqrt{3}x,\displaystyle y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}. Na \displaystyle D określona jest gęstość \displaystyle \displaystyle\rho(x,y)\equiv 1. Środek ciężkości powierzchni \displaystyle D leży w punkcie:

\displaystyle \displaystyle \bigg(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\bigg)

\displaystyle \displaystyle \bigg(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\bigg)

\displaystyle \displaystyle \bigg(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)