Analiza matematyczna 2/Test 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

From Studia Informatyczne

Całka \displaystyle \displaystyle\iiint\limits_K\ dxdydz, gdzie \displaystyle K=[-1,1]\times[-2,3]\times[-2,0] wynosi:

\displaystyle 0

\displaystyle -20

\displaystyle 20


Na zbiorze \displaystyle D=[0,1]\times[0,3] dana jest funkcja

\displaystyle f(x,y) \ =\   \left\{   \begin{array} {lll}   1  & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[0,1]\\   0  & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times(1,2)\\   -1 & \textrm{dla} & (x,y)\in [0,1]\times[2,3]\\   \end{array}    \right.

Całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy,

jest równa \displaystyle 0

jest równa \displaystyle 1

nie istnieje, bo funkcja nie jest ciągła.


W \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 dany jest odcinek \displaystyle \displaystyle [a,b]\times\{c\}=:T oraz funkcja \displaystyle f: T\to \mathbb{R} dana wzorem \displaystyle f(x,y)=x^2+y^2. Wtedy całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_Tf(x,y)\ dxdy jest równa

\displaystyle b^2-a^2

\displaystyle c^2

\displaystyle 0


Odcinek ma miarę zero w

\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}

\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2

\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3


Na zbiorze \displaystyle D=[-1,1]\times[0,2] funkcja \displaystyle f: D\to \mathbb{R} dana jest wzorem \displaystyle \displaystyle f(x,y) =\sqrt{1-x^2}. Całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_Df(x,y)\ dxdy jest równa

\displaystyle 4

\displaystyle 2\pi

\displaystyle \displaystyle\pi


\displaystyle P jest punktem w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 o współrzędnych \displaystyle \displaystyle (3,-4,4). Całka \displaystyle \displaystyle\iiint\limits_P(x^2+y^2+z^2)\ dxdydz wynosi

\displaystyle 9

\displaystyle 0

\displaystyle 41


\displaystyle D jest kołem w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 o promieniu \displaystyle 1 o środku w \displaystyle \displaystyle (0,0). Całka \displaystyle \displaystyle\iint\limits_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy jest równa

\displaystyle \displaystyle\frac{2}{3}\pi

\displaystyle \displaystyle\frac{4}{3}\pi

\displaystyle \displaystyle\frac{2}{3}\pi^2


Brzegiem kwadratu \displaystyle D=[0,1]\times[0,1] w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 jest

zbiór punktów \displaystyle \displaystyle\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}

zbiór odcinków \displaystyle \displaystyle\{\{0\}\times[0,1], \{1\}\times[0,1], [0,1]\times\{0\},[0,1]\times\{1\}\}

zbiór pusty


Brzegiem okręgu \displaystyle \displaystyle\{(x,y):\ x^2+y^2=1\} w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 jest

zbiór pusty

ten okrąg

punkt \displaystyle \displaystyle (0,-1)