Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

From Studia Informatyczne

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Ćwiczenie 7.1.

Zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe i różniczka w punkcie \displaystyle (0,0) funkcji

\displaystyle \text{a) } f(x,y)=\sqrt {|xy|},

\displaystyle \text{b) } f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt {x^2+y^2}} & \text {jeśli }(x,y)\neq 0, \\ 0, & \text {jeśli } (x,y)=0. \end{array}

Wskazówka

Wykorzystać definicję różniczki i pochodnych cząstkowych.

Rozwiązanie

a) Obliczmy pochodną cząstkową \displaystyle \frac {\partial f}{\partial x}(0,0). Mamy

\displaystyle \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac {f(x,0)-f(0,0)}{x}=0.

Podobnie obliczmy

\displaystyle \frac {\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac {f(0,y)-f(0,0)}{y}=0.

Tak więc w punkcie \displaystyle (0,0) istnieją pochodne cząstkowe i są równe zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,0). Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka funkcji \displaystyle f istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo \displaystyle 0, czyli \displaystyle d_{(0,0)}f=0. Z tego wynika, że następująca granica jest równa

\displaystyle 0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {f(0+k,0+h)-f(0,0)-\partial _{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt {k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\sqrt {|kh|}}{\sqrt {k^2+h^2}}.

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu \displaystyle x_n=0,y_n=\frac 1n dostajemy wartość graniczną \displaystyle 0, natomiast dla podciągu \displaystyle x_n=y_n=\frac 1n dostajemy \displaystyle \frac {1}{\sqrt 2}. Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,0) było fałszywe.

b) Rozumujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie. Obliczmy

pochodną cząstkową \displaystyle \frac {\partial f}{\partial x}(0,0). Mamy

\displaystyle \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac {f(x,0)-f(0,0)}{x}=0.

Podobnie obliczmy

\displaystyle \frac {\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac {f(0,y)-f(0,0)}{y}=0.

Tak więc w punkcie \displaystyle (0,0) istnieją pochodne cząstkowe i są równe zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,0). Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka funkcji \displaystyle f istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo \displaystyle 0, czyli \displaystyle d_{(0,0)}f=0. Z tego wynika, że następująca granica jest równa \displaystyle 0

\displaystyle \aligned &0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {f(0+k,0+h)-f(0,0)-d_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt {k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\frac {kh}{\sqrt {k^2+h^2}}}{\sqrt {k^2+h^2}} \\ &=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {kh}{k^2+h^2}. \endaligned

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu \displaystyle x_n=0,y_n=\frac 1n dostajemy wartość graniczną \displaystyle 0, natomiast dla podciągu \displaystyle x_n=y_n=\frac 1n dostajemy \displaystyle \frac {1}{2}. Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,0) było fałszywe.

Ćwiczenie 7.2.

Obliczyć różniczkę funkcji

a) \displaystyle f(x,y)=x^2y+\cos (x+y) w punkcie \displaystyle (\frac {\pi}{2},0),

b) \displaystyle f(x,y,z)=(x^3y^2z,x+y+z,\frac {xy}{z}) w punkcie \displaystyle (1,-1,1),

c) \displaystyle f(x,y,z)=(x^y,y^z) w punkcie \displaystyle (1,1),

d) \displaystyle f(x)=(\ln x,\frac {1}{x^2},\arcsin x) w punkcie \displaystyle \frac 12,

e) \displaystyle f(x,y,z)=\ln (x^2+y^2+z^2) w punkcie \displaystyle (1,1,1).

Wskazówka

Wykorzystać związek różniczki z pochodnymi cząstkowymi.

Rozwiązanie

Różniczka funkcji \displaystyle f jest reprezentowana przez macierz pochodnych cząstkowych tej funkcji.

a) Obliczmy pochodne cząstkowe. Mamy

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=2xy-\sin(x+y),\qquad \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac {\pi}{2},0\right)=-1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=x^2-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} \left(\frac {\pi}{2},0\right)=\frac {\pi^2}{4}-1. \\ \endaligned

Tak więc różniczka funkcji jest równa

\displaystyle d_{(\frac {\pi}{2},0)}f(k,h)=\left[\begin{array} {cc}-1&\frac {\pi^2}{4}-1 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k\\h \end{array} \right]=-k+\left(\frac {\pi^2}{4}-1\right)h.

b) Postępujemy jak w poprzednim przykładzie. Funkcję \displaystyle f możemy zapisać jako zestawienie \displaystyle f(x,y,z)=(f^1(x,y,z),f^2(x,y,z),f^3(x,y,z)), gdzie \displaystyle f^1(x,y,z)=x^3y^2z, \displaystyle f^2(x,y,z)=x+y+z, \displaystyle f^3(x,y,z)=\frac {xy}{z}. Macierz pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial f^1}{\partial x}&\frac {\partial f^1}{\partial y}&\frac {\partial f^1}{\partial z}\\\frac {\partial f^2}{\partial x}&\frac {\partial f^2}{\partial y}&\frac {\partial f^2}{\partial z}\\\frac {\partial f^3}{\partial x}&\frac {\partial f^3}{\partial y}&\frac {\partial f^3}{\partial z} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}3x^2y^2z&2x^3yz&x^3y^2\\1&1&1\\ \frac {y}{z}&\frac {x}{z}&-\frac {xy}{z^2} \end{array} \right].

Mamy

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}3&-2&1\\1&1&1\\ -1&1&1\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k\\h\\l \end{array} \right]=\left[\begin{array} {c}3k-2h+l\\k+h+l\\-k+h+l \end{array} \right].

Tak więc różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,-1,1) jest równa

\displaystyle d_{(1,-1,1)}f(k,h,l)=(3k-2h+l,k+h+l,-k+h+l).

c) Funkcję \displaystyle f możemy zapisać jako zestawienie \displaystyle f(x,y,z)=(f^1(x,y,z),f^2(x,y,z)), gdzie \displaystyle f^1(x,y,z)=x^y, \displaystyle f^2(x,y,z)=y^z. Macierz pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial f^1}{\partial x}&\frac {\partial f^1}{\partial y}&\frac {\partial f^1}{\partial z}\\\frac {\partial f^2}{\partial x}&\frac {\partial f^2}{\partial y}&\frac {\partial f^2}{\partial z} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}yx^{y-1}&x^y\ln x&0\\0&zy^{z-1}&y^z\ln y \end{array} \right].

Mamy

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}1&0&0\\0&1&0\end{array} \right] \left[\begin{array} {c}k\\h\\l \end{array} \right]=\left[\begin{array} {c}k\\h \end{array} \right].

Tak więc różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,1,1) jest równa

\displaystyle d_{(1,1,1)}f(k,h,l)=(k,h).

d) Funkcję \displaystyle f możemy zapisać jako zestawienie \displaystyle f(x)=(f^1(x),f^2(x),f^3(x)), gdzie \displaystyle f^1(x)=\ln x, \displaystyle f^2(x)=\frac {1}{x^2}, \displaystyle f^3(x)=\arcsin x. Macierz pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {c}\frac {\partial f^1}{\partial x}\\\frac {\partial f^2}{\partial x}\\\frac {\partial f^3}{\partial x} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}\frac 1x\\-\frac {2}{x^3}\\ \frac {1}{\sqrt {1-x^2}} \end{array} \right].

Mamy

\displaystyle \left[\begin{array} {c}2\\-16\\ \frac {2}{\sqrt 3}\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k \end{array} \right]=\left[\begin{array} {c}2k\\-16k\\\frac {2}{\sqrt 3}k \end{array} \right].

Tak więc różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle \frac 12 jest równa

\displaystyle d_{\frac 12}f(k,h,l)=\left(2k,-16k,\frac {2}{\sqrt 3}k\right).

e) Macierz pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial f}{\partial x}&\frac {\partial f}{\partial y}&\frac {\partial f}{\partial z} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}\frac {2x}{x^2+y^2+z^2}&\frac {2y}{x^2+y^2+z^2}& \frac {2z}{x^2+y^2+z^2} \end{array} \right].

Tak więc różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,1,1) jest równa

\displaystyle d_{(1,1,1)}f(k,h,l)=\left[\begin{array} {ccc}\frac 23&\frac 23&\frac 23\end{array} \right] \left[\begin{array} {c}k\\h\\l \end{array} \right]=\frac 23k+\frac 23h+\frac 23l.

Ćwiczenie 7.3.

Obliczyć różniczkę funkcji złożonej \displaystyle h=g\circ f, gdy

a) \displaystyle f(x,y)=(x+y,xy), \displaystyle g(x,y)=(\sin (x+y), \frac {x}{y+1}) w punkcie \displaystyle (0,\frac {\pi}{2}),

b) \displaystyle f(x,y)=x^2+y^2-2, \displaystyle g(x)=(\mathrm{tg}\, x,\arccos x^2) w punkcie \displaystyle (1,1),

c) \displaystyle f(x,y,z)=(\sin (x-y),\cos (x+y+z),-1), \displaystyle g(x,y,z)=\frac {x-y}{y-z} w punkcie, \displaystyle (0,0,0)

d) \displaystyle f(x,y)=\frac {xy}{x^2+y^2}, \displaystyle g(x)=(\ln x,\frac {x}{x+1},x^3) w punkcie \displaystyle (1,1).

Wskazówka

Różniczkę funkcji złożonej można przedstawić za pomocą macierzy, która powstanie przez pomnożenie odpowiednich macierzy pochodnych cząstkowych funkcji składowych.

Rozwiązanie

Jeżeli \displaystyle h=g\circ f, to macierz reprezentująca różniczkę funkcji \displaystyle h powstaje z pomnożenia macierzy pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle g przez macierz pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f.

a) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f i \displaystyle g:

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}1&1\\y&x\end{array} \right]\quad {\rm i}\quad \left[\begin{array} {cc}\cos (x+y)&\cos (x+y)\\\frac {1}{y+1}&-\frac {x}{(y+1)^2}\end{array} \right]

Różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,\frac {\pi}{2}) jest reprezentowana przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}1&1\\\frac {\pi}{2}&0\end{array} \right].

Różniczka funkcji \displaystyle g w punkcie \displaystyle f(0,\frac {\pi}{2})=(\frac {\pi}{2},0) jest reprezentowana przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}0&0\\1&-\frac {\pi}{2}\end{array} \right].

Zatem różniczka funkcji \displaystyle h w punkcie \displaystyle (0,\frac {\pi}{2}) ma macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}0&0\\1&-\frac {\pi}{2}\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}1&1\\\frac {\pi}{2}&0\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}0&0\\1-\frac {\pi^2}{4}&1\end{array} \right].

b) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f i \displaystyle g:

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}2x&2y\end{array} \right] \quad {\rm i}\quad \left[\begin{array} {c}\frac {1}{\cos^2 x}\\-\frac {1}{\sqrt {1-x^4}}\end{array} \right].

Różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,1) jest reprezentowana przez macierz \displaystyle  \left[\begin{array} {cc}2&2\end{array} \right]. Różniczka funkcji \displaystyle g w punkcie \displaystyle f(1,1)=0 jest reprezentowana przez macierz \displaystyle  \left[\begin{array} {c}1\\-1\end{array} \right]. Zatem macierzą różniczki funkcji \displaystyle h w punkcie \displaystyle (1,1) jest

\displaystyle \left[\begin{array} {c}1\\-1\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2&2\end{array} \right]= \left[\begin{array} {cc}2&2\\-2&-2\end{array} \right].

c) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f i \displaystyle g:

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\cos (x-y)&-\cos (x-y)&0\\-\sin (x+y+z)&-\sin (x+y+z)&-\sin (x+y+z)\\0&0&0\end{array} \right] \quad {\rm i}\quad \left[\begin{array}{ccc} \frac {1}{y-z}&\frac {z-x}{(y-z)^2}&\frac {x-y}{(y-z)^2}\end{array} \right].

Różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,0,0) jest reprezentowana przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}1&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array} \right].

Różniczka funkcji \displaystyle g w punkcie \displaystyle f(0,0,0)=(0,1,-1) jest reprezentowana przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\frac {1}{2}&-\frac {1}{4}&-\frac {1}{4}\end{array} \right].

Zatem macierzą różniczki funkcji \displaystyle h w punkcie \displaystyle (0,0,0) jest

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\frac {1}{2}&-\frac {1}{4}&-\frac {1}{4}\end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}1&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array} \right]= \left[\begin{array} {ccc}\frac {1}{2}&-\frac {1}{2}&0\end{array} \right].

d) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f i \displaystyle g:

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}\frac {y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2}&\frac {x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}\end{array} \right] \quad {\rm i}\quad \left[\begin{array} {c}\frac {1}{x}\\\frac {1}{(x+1)^2}\\3x^2\end{array} \right].

Różniczka funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,1) jest reprezentowana przez macierz \displaystyle  \left[\begin{array} {cc}0&0\end{array} \right]. Różniczka funkcji \displaystyle g w punkcie \displaystyle f(1,1)=\frac 12 jest reprezentowana przez macierz

\displaystyle \left[\begin{array} {c}2\\\frac {4}{9}\\\frac 34\end{array} \right].

Zatem macierzą różniczki funkcji \displaystyle h w punkcie \displaystyle (1,1) jest

\displaystyle \left[\begin{array} {c}2\\\frac {4}{9}\\\frac 34\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}0&0\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}0&0\\ 0&0\\0&0\end{array} \right].

Ćwiczenie 7.4.

Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

a) \displaystyle f(x,y)=2x^2+y^2 w punkcie \displaystyle (1,-1),

b) \displaystyle f(x,y)=\frac {x^2-y^2}{x^2+y^2} w punkcie \displaystyle (1,1),

b) \displaystyle f(x,y)=\ln (x^2+y^2) w punkcie \displaystyle (0,1).

Rozwiązanie

Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji \displaystyle f(x,y) w punkcie \displaystyle (x_0,y_0) ma równanie

\displaystyle z-f(x_0,y_0)=\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0).

a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,-1). Mamy

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=4x, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,-1)=4; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=2y, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,-1)=-2. \endaligned

Skoro \displaystyle f(1,-1)=3, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,-1) ma postać

\displaystyle z-3=4(x-1)-2(y+1),

czyli

\displaystyle 4x-2y-z=3.

b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,1). Mamy

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {4xy^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-4x^2y}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,1)=-1. \endaligned

Skoro \displaystyle f(1,1)=0, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (1,1) ma postać

\displaystyle z=(x-1)-(y-1),

czyli

\displaystyle x-y-z=0.

c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,1). Mamy

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {2x}{x^2+y^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,1)=0; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(0,1)=2. \endaligned

Skoro \displaystyle f(0,1)=0, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle (0,1) ma postać

\displaystyle z=0(x-0)+2(y-1),

czyli

\displaystyle 2y-z=2.

Wskazówka

Jaka jest interpretacja geometryczna różniczki?

Ćwiczenie 7.5.

Wykazać, że wykresy funkcji \displaystyle f(x,y)=xy-x^2+8x-5 i \displaystyle g(x,y)=e^{2y+x+4} są styczne w punkcie \displaystyle (2,-3).

Wskazówka

Wykorzystać definicję pochodnych cząstkowych. Dlaczego różniczka istnieje?

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, czy w punkcie \displaystyle (2,-3) wartości obu funkcji są takie same. Mamy \displaystyle f(2,-3)=-6-4+16-5=1 oraz \displaystyle g(2,-3)=e^{-6+2+4}=1, zatem punkt \displaystyle (2,-3,1) jest punktem wspólnym obu wykresów. Aby sprawdzić, czy wykresy funkcji \displaystyle f i \displaystyle g są styczne w tym punkcie należy wykazać, że płaszczyzny styczne do wykresów \displaystyle f i \displaystyle g w tym punkcie są identyczne. Obliczmy teraz wartości pochodnych cząstkowych

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=y-2x+8, &\quad& \frac {\partial f}{\partial x}(2,-3)=1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=x,&& \frac {\partial f}{\partial y}(2,-3)=2; \\ &\frac {\partial g}{\partial x}=e^{2y+x+4},&& \frac {\partial g}{\partial x}(2,-3)=1;\\ &\frac {\partial g}{\partial y}=2e^{2y+x+4},&& \frac {\partial g}{\partial y}(2,-3)=2. \endaligned

Wynika stąd, że wykresy obu funkcji są styczne do siebie w naszym punkcie, a ich wspólna płaszczyzna styczna ma równanie \displaystyle x+2y-z=-5.

Ćwiczenie 7.6.

Niech \displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} będzie funkcją ciągłą. Obliczyć różniczkę funkcji

\displaystyle f(x,y)=\int_x^yg(t)dt.

Wskazówka

Wykorzystać definicję pochodnych cząstkowych. Dlaczego różniczka istnieje?

Rozwiązanie

Ustalmy punkt \displaystyle (x_0,y_0) i policzmy pochodne cząstkowe funkcji \displaystyle f w tym punkcie. Niech \displaystyle G(t) oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji \displaystyle g(t) tzn. \displaystyle G'(t)=g(t). Mamy

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\left(\int_x^{y_0}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt\right) \\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_x^{x_0}g(t)dt =\lim_{x\to x_0}\frac{G(x_0)-G(x)}{x-x_0}=-G'(x_0)=-g(x_0). \endaligned

Podobnie obliczamy

\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{y\to y_0}\frac {f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{x_0}^{y}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt \\ &=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{y_0}^yg(t)dt =\lim_{y\to y_0}\frac{G(y)-G(y_0)}{y-y_0}=G'(y_0)=g(y_0). \endaligned

Zauważmy, że z ciągłości funkcji \displaystyle g wynika ciągłość pochodnych cząstkowych \displaystyle \frac {\partial f}{\partial x} i \displaystyle \frac {\partial f}{\partial y}, a w szczególności różniczkowalność funkcji \displaystyle f. Na mocy powyższych zależności różniczka funkcji \displaystyle f jest równa

\displaystyle d_{(x_0,y_0)}f(k,h)=\left[\begin{array} {cc}-g(x_0)&g(y_0)\end{array} \right] \left[\begin{array} {c}k\\h\end{array} \right]=-g(x_0)k+g(y_0)h.

Ćwiczenie 7.7.

a) Wyznaczyć jakobian odwzorowania

\displaystyle  \Psi: (0,\infty)\times \mathbb{R}\ni (r,\phi)\mapsto (r\cos\phi, r\sin\phi)\in\mathbb{R}^2

w dowolnym punkcie jego dziedziny.

b) Obliczyć jakobian odwzorowania

\displaystyle  f:\mathbb{R}^n\ni (x_1,...,x_n)\mapsto \left(\frac12x_1^2, x_1x_2,x_1x_3,...,x_1x_n\right)\in\mathbb{R}^n

w punkcie \displaystyle (1,1,...,1).

Wskazówka

Wyznaczyć macierz Jacobiego danego odwzorowania i policzyć jego wyznacznik.

Rozwiązanie

a) Macierz Jacobiego odwzorowania \displaystyle \Psi w dowolnym punkcie \displaystyle (r,\phi) ma postać

\displaystyle  \left[\begin{array} {cc}\cos\phi& -r\sin\phi\\ \sin\phi& r\cos\phi\end{array} \right].

Zatem jac\displaystyle _{(r,\phi)}\Psi=r\cos^2\phi+r\sin^2\phi=r.

b) Macierz Jacobiego odwzorowania \displaystyle f ma postać

\displaystyle  \left[\begin{array} {ccccccc}x_1& 0&0&0&\cdots&0&0\\ x_2& x_1&0&0&\cdots&0&0\\ x_3&0&x_1&0&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\x_{n-1}& 0&0&0&\cdots&x_{1}&0\\ x_n& 0&0&0&\cdots&0&x_{1}\end{array} \right].

Jest to macierz trójkątna, czyli jej wyznacznik jest ilorazem wyrazów z przekątnej. Zatem jac\displaystyle _{(x_1,x_2,...,x_n)}f=(x_1)^n, a w szczególności jac\displaystyle _{(1,1...,1)}f=1.

Ćwiczenie 7.8.

Obliczyć różniczkę rzędu drugiego funkcji

a) \displaystyle f(x,y)=x^2y^3,

b) \displaystyle f(x,y,z)=4x^2+5x^3+xyz,

c) \displaystyle f(x,y)=(xy,x^3+y^4).

Wskazówka

Jaki jest związek między różniczką drugiego rzędu a pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu?

Rozwiązanie

Różniczkę rzędu drugiego funkcji \displaystyle f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} możemy utożsamić z macierzą utworzoną z pochodnych cząstkowych rzędu drugiego tej funkcji.

a) Macierz pochodnych

cząstkowych rzędu drugiego funkcji \displaystyle f ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}\frac {\partial^2 f}{\partial x^2}&\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial x}\\\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y \end{array} \right].

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji \displaystyle f jest równa

\displaystyle \aligned &d^2 _{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1 \end{array} \right] \\ &=2y^2k_1k_2+6xy^2k_2h_1+6xy^2k_1h_2+6x^2yh_1h_2. \endaligned

b) Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji \displaystyle f ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial^ f}{\partial x^2}&\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 f}{\partial z\partial x}\\\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}&\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial z}\\\frac {\partial^2 f}{\partial z\partial x}&\frac {\partial^2 f}{\partial z\partial y}&\frac {\partial^2 f}{\partial z^2}\end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0 \end{array} \right].

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji \displaystyle f jest równa

\displaystyle \aligned &d^2 _{(x,y,z)}f((k_1,h_1,l_1),(k_2,h_2,l_2))=\left[\begin{array} {ccc}k_2&h_2&l_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1\\l_1 \end{array} \right] \\ & =(8+30x)k_1k_2+zk_1h_2+zk_2h_1+yk_1l_2+yk_2l_1+xh_1l_2+xh_2l_1. \endaligned

c) Funkcję \displaystyle f możemy zapisać jako zestawienie \displaystyle f=(g,h), gdzie \displaystyle g(x,y)=xy a \displaystyle h(x,y)=x^3+y^4. Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji \displaystyle g ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}\frac {\partial^2 g}{\partial x^2}&\frac {\partial^2 g}{\partial y\partial x}\\\frac {\partial^2 g}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 g}{\partial y^2} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}0&1\\1&0 \end{array} \right].

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji \displaystyle g jest równa

\displaystyle d^2 _{(x,y)}g((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}0&1\\1&0 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1 \end{array} \right]=k_1h_2+k_2h_1.

Podobnie macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji \displaystyle h ma postać

\displaystyle \left[\begin{array} {cc}\frac {\partial^2 h}{\partial x^2}&\frac {\partial^2 h}{\partial y\partial x}\\\frac {\partial^2 h}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 h}{\partial y^2} \end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}6x&0\\0&12y^2 \end{array} \right].

Stąd różniczka rzędu drugiego funkcji \displaystyle f jest równa

\displaystyle d^2 _{(x,y)}g((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}6x&0\\0&12y^2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1 \end{array} \right]=6xk_1k_2+12y^2h_1h_2.

Zatem różniczka rzędu drugiego funkcji \displaystyle f jest postaci

\displaystyle d^2 _{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=(k_1h_2+k_2h_1,6xk_1k_2+12y^2h_1h_2).

Ćwiczenie 7.9.

Obliczyć wartość różniczki \displaystyle d_{(1,1)}^3f na trójce jednakowych wektorów \displaystyle h=(h_1,h_2), jeśli

a) \displaystyle f(x,y)=5x^3+x^2y+3xy^2-y^3,

a) \displaystyle f(x,y)=(2x+e-2)^y,

b) \displaystyle f(x,y)=x\mathrm{arctg}\,{y}-9y\sqrt[3]{x}.

Wskazówka

Jak można wyrazić wartość różniczki \displaystyle n-tego rzędu na \displaystyle n-tce takich samych wektorów?

Rozwiązanie

Niech \displaystyle z=(z_1,z_2)=(x,y). Zastosujemy wzór

\displaystyle \aligned &d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h) =\sum_{|\alpha|=3} \binom{3}{\alpha} \frac{\partial ^3}{\partial z^\alpha} f(1,1)h^\alpha =\\&= \frac{\partial ^3f}{\partial x^3} (1,1)h_1^3+3 \frac{\partial ^3f}{\partial x^2\partial y} (1,1)h_1^2h_2+3 \frac{\partial ^3f}{\partial x\partial y^2} (1,1)h_1h_2^2+ \frac{\partial ^3f}{\partial y^3} (1,1)h_2^3. \endaligned

a) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji \displaystyle f(x,y)=5x^3+x^2y+3xy^2-y^3:

\displaystyle \aligned \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=30, && \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=2, && \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=6, && \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=-6 \endaligned

i wstawiamy ich wartości w punkcie \displaystyle (1,1) do wzoru, otrzymując

\displaystyle  d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)= 30h_1^3+6h_1^2h_2+18h_1h_2^2-6h_2^3.

b) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji \displaystyle f(x,y)=(2x+e-2)^y:

\displaystyle \aligned \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8y(y-1)(y-2)(2x+e-2)^{y-3}, \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=4(2x+e-2)^{y-2}\left[2y-1+y(y-1)\ln(2x+e-2)\right], \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=2(2x+e-2)^{y-1}\ln(2x+e-2)[2+y\ln(2x+e-2)], \\ \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=(2x+e-2)^y\ln^3(2x+e-2) \endaligned

i wstawiamy ich wartości w punkcie \displaystyle (1,1) do wzoru, otrzymując

\displaystyle  d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)= 0h_1^3+\frac{12}eh_1^2h_2+18h_1h_2^2+eh_2^3.

c) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji \displaystyle f(x,y)=x\mathrm{arctg}\,{y}-9y\sqrt[3]{x}:

\displaystyle \aligned &\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-\frac{10y}{3\sqrt[3]{x^8}}, && \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=\frac2{\sqrt[3]{x^5}}, \\ &\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=\frac{-2y}{(1+y^2)^2}, &\qquad& \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=\frac{2x(3y^2-1)}{(1+y^2)^3} \endaligned

i wstawiamy ich wartości w punkcie \displaystyle (1,1) do wzoru, otrzymując

\displaystyle  d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)= -\frac{10}3h_1^3+6h_1^2h_2-\frac32h_1h_2^2+\frac12h_2^3.