Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

From Studia Informatyczne

Szeregi potęgowe. Szeregi trygonometryczne Fouriera

Ćwiczenie 5.1.

Wyznaczyć promień zbieżności oraz przedział zbieżności dla następujących szeregów potęgowych:
(1) \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 5^nx^n,
(2) \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{(n+5)3^n},
(3) \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nx^n}{n},
(4) \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(x+3)^n}{n^2}.

Wskazówka

(1)-(4) Wyznaczyć promień zbieżności szeregów, stosując odpowiedni wzór (patrz twierdzenie 5.7.). Osobno zbadać zbieżność szeregów na końcach przedziału zbieżności.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

\displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{5^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 5 \ =\ 5.

Zatem promieniem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa}=\frac{1}{5}. Szereg jest zatem zbieżny dla \displaystyle \displaystyle x\in \bigg(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\bigg) i rozbieżny dla \displaystyle \displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus\bigg[-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\bigg]. Należy sprawdzić jego zbieżność dla \displaystyle \displaystyle x=-\frac{1}{5} oraz \displaystyle \displaystyle x=\frac{1}{5}.

Dla \displaystyle \displaystyle x=-\frac{1}{5} mamy szereg

\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n, który jest rozbieżny (gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów), natomiast dla \displaystyle \displaystyle x=\frac{1}{5} mamy szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 1, który jest rozbieżny (z tego samego powodu).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{5}, a przedziałem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle\bigg(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}\bigg).

(2) Liczymy

\displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{(n+5)3^n}} \ =\ \frac{1}{3}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n+5}} \ =\ \frac{1}{3}.

Zatem promieniem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa}=3. Szereg jest zatem zbieżny dla \displaystyle x\in (2-3,2+3)=(-1,5) (gdyż środkiem tego szeregu jest \displaystyle x_0=2) i rozbieżny dla \displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus[-1,5]. Należy sprawdzić jego zbieżność dla \displaystyle x=-1 oraz \displaystyle x=5.

Dla \displaystyle x=-1 mamy szereg

\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^n}{(n+5)3^n} =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+5}, który jest zbieżny (na mocy kryterium Leibniza; patrz Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13.), natomiast dla \displaystyle x=5 mamy szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{(n+5)3^n} =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5} =\sum_{n=6}^{\infty}\frac{1}{n}, który jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi \displaystyle R=3, a przedziałem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle [-1,5).

(3) Liczymy

\displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \ =\ 1.

Zatem promieniem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa}=1. Szereg jest zatem zbieżny dla \displaystyle x\in (-1,1) i rozbieżny dla \displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus[-1,1]. Należy sprawdzić jego zbieżność dla \displaystyle x=-1 oraz \displaystyle x=1.

Dla \displaystyle x=-1 mamy szereg

\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, który jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), natomiast dla \displaystyle x=1 mamy szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}, który jest zbieżny (jako szereg anharmoniczny).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi \displaystyle R=1, a przedziałem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle (-1,1].

(4) Liczymy

\displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}} \ =\ \frac{1}{3}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{(\sqrt[n]{n})^2} \ =\ 1.

Zatem promieniem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle R=\frac{1}{\kappa}=1. Szereg jest zatem zbieżny dla \displaystyle x\in (-3-1,-3+1)=(-4,-2) (gdyż środkiem tego szeregu jest \displaystyle x_0=-3) i rozbieżny dla \displaystyle x\in \mathbb{R}\setminus[-4,-2]. Należy sprawdzić jego zbieżność dla \displaystyle x=-4 oraz \displaystyle x=-2.

Dla \displaystyle x=-4 mamy szereg

\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}, który jest zbieżny (jako uogólniony harmoniczny z wykładnikiem \displaystyle \displaystyle\alpha=2>1; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), natomiast dla \displaystyle x=-2 mamy szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}, który jest zbieżny (gdyż jest bezwzględnie zbieżny).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi \displaystyle R=1, a przedziałem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle [-4,-2].

Ćwiczenie 5.2.

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w podanym punkcie \displaystyle x_0, bez obliczania pochodnych funkcji:
(1) \displaystyle \displaystyle f(x)=x^7+11x^6+5x^4-3x^2+2,
(2) \displaystyle \displaystyle f(x)=x^2 e^x,\displaystyle x_0=0.

Wskazówka

(1) Co to jest szereg Taylora? Czy rozwinięcie w szereg Taylora jest jednoznaczne?
(2) Znamy już rozwinięcie funkcji \displaystyle g(x)=e^x w szereg Maclaurina.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ funkcja \displaystyle f jest wielomianem, więc z jednoznaczności przedstawienia funkcji w szereg potęgowy wynika, że jest ona swoim szeregiem Maclaurina

\displaystyle S(x) \ =\ f(x) \ =\ f(x)=x^7+11x^6+5x^4-3x^2+2.

(2) Ponieważ znamy już szereg Maclaurina dla funkcji \displaystyle g(x)=e^x:

\displaystyle g(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},

zatem

\displaystyle S(x) \ =\ x^2 e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} \ =\ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{(n-2)!}

jest szeregiem Maclaurina dla funkcji \displaystyle f.

Ćwiczenie 5.3.

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w podanym punkcie \displaystyle x_0, bez obliczania pochodnych funkcji:
(1) \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x},\displaystyle x_0=0,
(2) \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+4x+7},\displaystyle x_0=-2,
(3) \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^3},\displaystyle x_0=0.

Wskazówka

(1) Należy zauważyć, że funkcja \displaystyle f dla każdego \displaystyle x (bliskiego \displaystyle x_0) jest sumą pewnego znanego nam szeregu liczbowego.
(2) Zapisać trójmian kwadratowy w mianowniku w postaci kanonicznej i zauważyć, że funkcja \displaystyle f jest sumą pewnego znanego nam szeregu liczbowego.
(3) Zrobić podobnie jak (1).

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że wyrażenie \displaystyle \displaystyle \frac{1}{1-x} jest sumą szeregu geometrycznego \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n, gdy \displaystyle |x|<1. Ponieważ rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne, więc jest to szereg Maclaurina funkcji \displaystyle f:

\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n.

(2) Zauważmy, że

\displaystyle f(x) \ =\ \frac{1}{x^2+4x+7} \ =\ \frac{1}{(x+2)^2+3} \ =\ \frac{\displaystyle\frac{1}{3}}{\displaystyle\bigg(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\bigg)^2+1}.

Zauważmy, że powyższe wyrażenie jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \displaystyle \displaystyle\frac{1}{3} i ilorazie \displaystyle \displaystyle -\bigg(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\bigg)^2. Zatem następujący szereg \displaystyle S jest zbieżny do funkcji \displaystyle f (gdy \displaystyle \displaystyle\bigg|\frac{x+2}{\sqrt{3}}\bigg|<1)

\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3}\bigg(-\bigg(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\bigg)^2\bigg)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}}(x+2)^{2n}.

Ale powyższy szereg jest szeregiem potęgowym o środku \displaystyle x_0=-2. Ponieważ rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne, więc jest to szukany szereg Taylora funkcji \displaystyle f o środku w punkcie \displaystyle x_0=-2.

(3) Zauważmy, że wyrażenie \displaystyle \displaystyle \frac{1}{1+x^3} jest sumą szeregu geometrycznego \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-x^3)^n, gdy \displaystyle |-x^3|<1, czyli dla \displaystyle x\in(-1,1). Ponieważ rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne, więc szeregiem Maclaurina funkcji \displaystyle f jest:

\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{3n}.

Ćwiczenie 5.4.

Rozwinąć następującą funkcję \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^2} w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Funkcja jest pochodną funkcji z ćwiczenia 5.3. (z dokładnością do znaku). Skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie (patrz twierdzenie 5.10.).

Rozwiązanie

Zauważmy, że

\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2} \ =\ -\bigg(\frac{1}{1-x}\bigg)'.

Korzystając z rozwinięcia funkcji \displaystyle \displaystyle\frac{1}{1-x} w szereg Maclaurina (patrz ćwiczenia 5.3. (1)) oraz z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie (patrz twierdzenie 5.10.), mamy

\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{1}{(1-x)^2} &=& -\bigg(\frac{1}{1-x}\bigg)' \ =\ -\bigg(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n\bigg)'\\ &=& -\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \ =\ -\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n. \end{array}

Ćwiczenie 5.5.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \displaystyle f(x)=x zadaną na przedziale \displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi].

Wskazówka

Rozszerzyć funkcję do funkcji określonej na całym \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} i zastosować wzory Eulera-Fouriera. W obliczeniach należy użyć wzoru na całkowanie przez części.

Rozwiązanie

Rozszerzamy naszą funkcję do funkcji określonej na całym \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}, dostajemy funkcję z rysunku poniżej:

Następnie liczymy

współczynniki szeregu Fouriera:

\displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}xdx=\frac{1}{4\pi}x^2\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0.

Dla \displaystyle m=1,2,\ldots liczymy \displaystyle a_m i \displaystyle b_m:

\displaystyle a_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\cos(mx)dx=

tu całkujemy przez części (\displaystyle u(x)=x, v'(x)=\cos(mx))

\displaystyle =\frac{1}{\pi}x\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(mx)}{m}dx=\frac{1}{\pi}\frac{\cos(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\cos(m\pi)}{m}-\frac{\cos(m(-\pi))}{m}\right) \ =\ 0.

Licząc analogicznie, mamy

\displaystyle \aligned  b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\sin(mx)dx=-\frac{1}{\pi}x\frac{\cos(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos(mx)}{m}dx\\ &= -\left(\frac{1}{\pi}\pi\frac{\cos(m\pi)}{m}-\frac{1}{\pi}(-\pi)\frac{\cos(m(-\pi))}{m}\right)+ \frac{1}{m\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)=\frac{2}{m}(-1)^{m+1}+\frac{1}{m^2\pi}\sin(mx)\bigg|_{-\pi}^{\pi}\\ &= \frac{2}{m}(-1)^{m+1}. \endaligned

A zatem szereg Fouriera funkcji \displaystyle f(x)=x w przedziale \displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi] jest dany wzorem

\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m+1}}{m}\sin(mx).

<flash>file=AM2.M05.W.R08.swf|width=375|height=375</flash>

Funkcja f(x)=x  rozszerzona okresowo

<flash>file=am2.m05.c.r01.swf|width=375|height=375</flash>

Kolejna przybliżenia funkcji f(x)=x

Uwaga: Z kryterium Dirichleta (patrz twierdzenie 5.18.) wynika, że ten szereg jest zbieżny do \displaystyle f na całym przedziale otwartym \displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi). Na końcach przedziału suma szeregu wynosi (oczywiście!) zero, także zgodnie z kryterium Dirichleta (patrz twierdzenie 5.18.).

Ćwiczenie 5.6.

Wykazać, że szereg Fouriera funkcji parzystej (całkowalnej i okresowej o okresie \displaystyle 2\pi) zawiera same cosinusy, a funkcji nieparzystej same sinusy.

Wskazówka

Najpierw wykazać, że jeśli \displaystyle g(x) jest funkcją daną w przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi], całkowalną i nieparzystą, to

\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}g(x)dx \ =\ 0

Rozwiązanie

Niech \displaystyle g(x) będzie funkcją daną w przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi], całkowalną i nieparzystą. Wówczas

\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}g(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{0}g(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(x)dx=

(stosujemy w pierwszej całce podstawienie \displaystyle x=-t)

\displaystyle =\displaystyle\int\limits_{\pi}^{0}g(-t)(-dt)+\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(x)dx=-\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(t)dt+\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(x)dx \ =\ 0.

Niech teraz \displaystyle f będzie funkcją parzystą. Wtedy \displaystyle f(x)\sin(nx) jest funkcją nieparzystą. Zatem, stosując pierwszy udowodniony fakt, mamy

\displaystyle b_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \ =\ 0,

więc wszystkie współczynniki przy sinusach są równe zero.

Jeśli funkcja \displaystyle f jest nieparzysta, to \displaystyle f(x)\cos(nx) jest też

funkcją nieparzystą i wtedy

\displaystyle a_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx=0,

a zatem znikają wszystkie współczynniki przy cosinusach.

Ćwiczenie 5.7.

Rozwinąć funkcję \displaystyle f(x)=x, zadaną na przedziale \displaystyle \displaystyle [0,\pi] w szereg Fouriera zawierający same cosinusy.

Wskazówka

Takie sformułowanie zadania oznacza, że nie powinnytraktować naszej funkcji jako funkcji okresowej o okresie \displaystyle \displaystyle\pi, ale najpierw rozszerzyć ją do przedziału \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi], a dopiero potem na całe \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}. Oczywiście, to jak rozszerzymy funkcję do przedziału \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi] zależy od tego, jaki szereg chcemy uzyskać. Z ćwiczenia 5.6. wynika, że szereg Fouriera funkcji parzystej będzie zawierał same cosinusy, a szereg Fouriera funkcji nieparzystej - same sinusy.

Rozwiązanie

Skorzystamy z ćwiczenia 5.6..

Jeśli zatem mamy rozwinąć funkcję \displaystyle f(x)=x, zadaną na przedziale

\displaystyle \displaystyle [0,\pi] w szereg Fouriera zawierający same cosinusy, to musimy najpierw przedłużyć ją na przedział \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi] tak, by dostać funkcję parzystą. Funkcja przedłużona jest zatem określona wzorem

<flash>file=am2.m05.c.r02.swf|width=375|height=375</flash>

Aproksymacja funkcji f(x)=|x|  kolejnymi sumami szeregu Fouriera

\displaystyle \tilde f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} x, &  \textrm{dla} \displaystyle   & x\in [0,\pi] \\ -x, &  \textrm{dla} \displaystyle   & x\in  [-\pi,0]. \end{array}  \right.

Funkcję \displaystyle \displaystyle\tilde f(x) rozszerzamy następnie okresowo na całe

\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.

Ze wzorów Eulera-Fouriera mamy:

\displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x)dx=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}xdx \ =\ \frac{x^2}{2}\bigg|_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}.

Dla \displaystyle n=1,2,\ldots

\displaystyle a_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x)\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\cos(nx)dx=

(całkujemy przez części, \displaystyle u(x)=x, v'(x)=\cos(nx))

\displaystyle =\frac{2}{\pi}x\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi} -\frac{2}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\sin(nx)dx=\frac{2}{n^2\pi}(\cos(n\pi)-1).

Zatem, skoro \displaystyle \displaystyle\cos(n\pi)=(-1)^n, mamy

\displaystyle a_{2k}=0, \ a_{2k-1}=\frac{-4}{(2k-1)^2\pi}.

Oczywiście z powyższych rozważań wynika, że \displaystyle b_n=0 dla

\displaystyle n=1,2,\ldots.

Tak więc szukany szereg, to

\displaystyle \frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-4}{(2k-1)^2\pi}\cos((2k-1)x).

Ćwiczenie 5.8.

Policzyć sumę szeregu Leibniza:

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots

Wskazówka

Należy wykorzystać ćwiczenie 5.5.

Rozwiązanie

Z ćwiczenie 5.5. (1) wiemy, jak wygląda szereg Fouriera funkcji \displaystyle f(x)=x na przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi, \pi]. (Funkcja jest nieparzysta, więc nic dziwnego, że szereg zawiera same sinusy, porównaj z ćwiczeniem 5.6.) Z kryterium Dirichleta (patrz twierdzenie 5.18.) wynika, że dla \displaystyle x\in(-\pi, \pi) mamy równość:

\displaystyle x \ =\ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m+1}}{m}\sin(mx).

Wstawmy zatem \displaystyle x=\frac{\pi}{2}. Dostaniemy:

\displaystyle \frac{\pi}{2} \ =\ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m+1}}{m}\sin(m\frac{\pi}{2}).

Zauważmy, że \displaystyle \displaystyle\sin((2k-2)\frac{\pi}{2})=0, \sin((4k-3)\frac{\pi}{2})=1, \sin((4k-1)\frac{\pi}{2})=-1, k=1,2,\ldots, a zatem naszą równość możemy zapisać tak:

\displaystyle \frac{\pi}{2}=2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{4k-1}+\frac{1}{4k-3}\right)= 2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}.

To daje odpowiedź na nasze pytanie,

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4}.

Ćwiczenie 5.9.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję daną w przedziale \displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi] wzorem

\displaystyle f(x)=\sin(2x)-3\cos(2x)+11\cos(5x)-0.1\sin(6x).

Wskazówka

Rozwiązanie jest oczywiste.

Rozwiązanie

<flash>file=am2.m05.c.r03.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji f

Szereg Fouriera tej funkcji jest jej równy, bo ona już jest swoim (skończonym) szeregiem trygonometrycznym. (Należy zwrócić uwagę, że współczynniki w szeregu Fouriera są wyznaczone jednoznacznie, zatem jeśli znajdziemy jakieś przedstawienie funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego, to mamy już rozwinięcie w szereg Fouriera).