Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

From Studia Informatyczne

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ćwiczenie 4.1.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągów funkcyjnych:
(1) \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{n} w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R},
(2) \displaystyle \displaystyle f(x)=(1-x)^n w przedziale \displaystyle \displaystyle [0,1].

Wskazówka

(1) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Zbadać (bezpośrednio z definicji), czy ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do swojej granicy punktowej.
(2) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Czy na podstawie postaci tej granicy punktowej można wnioskować o zbieżności jednostajnej?

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego ustalonego \displaystyle x\in\mathbb{R} mamy

\displaystyle \bigg|\frac{\sin x}{n}\bigg| \ \le\ \frac{1}{n} \ \longrightarrow\ 0.

Zatem

\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ 0,

to znaczy \displaystyle f_n\longrightarrow f, gdzie \displaystyle f\equiv 0.

Aby sprawdzić, czy funkcja \displaystyle f\equiv 0

jest granicą jednostajną, obliczamy

\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \bigg|\frac{\sin x}{n}\bigg| \ =\ \frac{1}{n} \ \longrightarrow\ 0,

zatem \displaystyle f\rightrightarrows f\equiv 0 w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.


<flash>file=am2.m04.c.r01.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji f_n(x)=\frac{\sin x}{n} dla n=1,2,3,... oraz funkcji granicznej

<flash>file=am2.m04.c.r02.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji f_n(x)=\frac{\sin x}{n} dla n=1,2,3,... oraz funkcji granicznej

(2) Dla dowolnego \displaystyle x\in(0,1] mamy \displaystyle 1-x\in[0,1), zatem:

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (1-x)^n \ =\ 0,

gdyż jest to ciąg geometryczny. Dla \displaystyle x=0 mamy \displaystyle 1-x=1, zatem

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(0) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1 \ =\ 1.

Zatem \displaystyle f_n\longrightarrow f, gdzie

\displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 1 &  \textrm{dla} \displaystyle   & x=0,\\ 0 &  \textrm{dla} \displaystyle   & x\in(0,1]. \end{array}  \right.

Ponieważ funkcje \displaystyle f_n są ciągłe dla \displaystyle n\in\mathbb{N} oraz ich granica punktowa \displaystyle f nie jest funkcją ciągłą, więc \displaystyle f_n\not\rightrightarrows f (patrz twierdzenie 4.13.).

<flash>file=am2.m04.c.r03.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji f_n(x)=(1-x)^n dla n=1,2,3,... oraz funkcji granicznej

<flash>file=am2.m04.c.r04.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji f_n(x)=(1-x)^n dla n=1,2,3,... oraz funkcji granicznej

Ćwiczenie 4.2.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągu funkcyjnego \displaystyle \displaystyle f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2} w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.

Wskazówka

Obliczyć punktową granicę \displaystyle f ciągu funkcyjnego. W celu zbadania zbieżności jednostajnej (z definicji) wyznaczyć największą wartość funkcji \displaystyle |f_n-f|.

Rozwiązanie

Dla dowolnego \displaystyle x\in\mathbb{R} mamy

\displaystyle \big|f_n(x)\big| \ =\ \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg| \ \le\ \bigg|\frac{nx}{n^2}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{n}\bigg| \ \xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}\ 0.

Zatem \displaystyle f_n\longrightarrow f\equiv 0.

W celu zbadania, czy funkcja \displaystyle f\equiv 0 jest granicą jednostajną,

należy obliczyć

\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg|.

W tym celu wyznaczmy wartość największą funkcji \displaystyle |f_n|. Zauważmy, że funkcje \displaystyle f_n są nieparzyste. Aby wyznaczyć ekstrema, obliczamy pochodną

\displaystyle f_n'(x) \ =\ \frac{n(n^2+x^2)-2nx^2}{(n^2+x^2)^2} \ =\ \frac{n^3-nx^2}{(n^2+x^2)^2} \ =\ \frac{n(n-x)(n+x)}{(n^2+x^2)^2}.

Zatem \displaystyle f_n'(x)=0 dla \displaystyle x=n oraz \displaystyle x=-n. Ponieważ \displaystyle f_n(x)\ge 0 \textrm{dla} \displaystyle x\ge 0,\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f_n(x)=0, więc funkcja \displaystyle f_n ma maksimum globalne dla \displaystyle x=n (i ponieważ jest nieparzysta, więc ma minimum globalne dla \displaystyle x=-n). Ponadto \displaystyle \displaystyle f_n(n)=\frac{n^2}{n^2+n^2}=\frac{1}{2}. Zatem

\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \frac{1}{2} \not\longrightarrow 0,

czyli \displaystyle f_n\not\rightrightarrows f.

<flash>file=am2.m04.c.r05.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2} dla n=1,2,3,...

<flash>file=am2.m04.c.r06.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2} dla n=1,2,3,...

Ćwiczenie 4.3.

Zbadać zbieżność (zbieżność jednostajną) szeregu funkcyjnego w podanym obszarze:
(1) \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3n^3x^2},\displaystyle x\in[a,+\infty) (gdzie \displaystyle a>0,)
(2) \displays.

Wskazówka

(1)-(2) Skorzystać kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.).

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in[a,+\infty):\ \bigg|\frac{1}{2+3n^3x^2}\bigg| \ \le\ \frac{1}{3n^3x^2} \ \le\ \frac{1}{3a^2n^3}

oraz szereg liczbowy \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3a^2n^3}=\frac{1}{3a^2}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem \displaystyle \displaystyle\alpha=3>1; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3n^3x^2} jest zbieżny jednostajnie w obszarze \displaystyle \displaystyle [a,+\infty).
Odpowiedź: Szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3n^3x^2} jest zbieżny jednostajnie w obszarze \displaystyle \displaystyle [a,+\infty).

(2) Ponieważ

\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{R}:\ \bigg|\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}\bigg| \ \le\ \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} \ \le\ \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}

oraz szereg liczbowy \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}} jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem \displaystyle \displaystyle\alpha=\frac{4}{3}>1; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} jest zbieżny jednostajnie w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.
Odpowiedź: Szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} jest zbieżny jednostajnie w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.

Ćwiczenie 4.4.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{e^{nx}}.

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.), dla szeregu liczbowego przy ustalonym \displaystyle x\in\mathbb{R}.

Rozwiązanie

(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \frac{(n+1)x}{e^{(n+1)x}}\frac{e^{nx}}{nx} \ =\ \frac{n+1}{n}e^{-x},

zatem

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+1}{n}e^{-x} \ =\ e^{-x}.

Gdy \displaystyle e^{-x}<1, czyli \displaystyle x>0, to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest zbieżny.

Gdy \displaystyle e^{-x}>1, czyli \displaystyle x<0, to szereg na mocy kryterium

d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest rozbieżny.

Pozostaje do sprawdzenia przypadek \displaystyle x=0.

Wówczas otrzymujemy szereg zerowy \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 0, który jest zbieżny.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{e^{nx}} jest przedział \displaystyle \displaystyle [0,+\infty).

Ćwiczenie 4.5.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n}.

Wskazówka

Rozważyć osobno przypadki: \displaystyle |x|>1,\displaystyle |x|<1,\displaystyle x=1 i \displaystyle x=-1. Skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) oraz sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

Dla \displaystyle |x|>1 mamy

\displaystyle |1+x^n| \ >\ |x|^n-1 \ >\ |x|^n-\frac{|x|^n}{2} \ =\ \frac{|x|^n}{2},

zatem

\displaystyle \bigg|\frac{1}{1+x^n}\bigg| \ <\ \frac{2}{|x|^n}.

Ponieważ \displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{|x|^n} =2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|x|^n} jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (gdyż \displaystyle |x|>1), zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), szereg \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n} jest w tym przypadku zbieżny.

Dla \displaystyle |x|<1 mamy

\displaystyle \frac{1}{1+x^n} \ >\ \frac{1}{1-|x|},

a zatem szereg liczbowy nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.

Dla \displaystyle x=-1 szereg nie jest określony.

Dla \displaystyle x=1 mamy szereg

\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}, który jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu jest \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}\setminus [-1,1].

Ćwiczenie 4.6.

Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
(1) \displaystyle \displaystyle f(x)=x^3+5x^2+13x+1
(2) \displaystyle \displaystyle f(x)=\sin^2x

Wskazówka

(1) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji \displaystyle f w \displaystyle 0.
(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji \displaystyle f w \displaystyle 0 oraz wyprowadzić ogólny wzór na \displaystyle f^{(n)}(0).

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji \displaystyle f oraz pochodne dla \displaystyle x_0=0:

\displaystyle \begin{array} {rlrl} f(x)          &= x^3+5x^2+13x+1, & f(0)        &= 1,\\ f'(x)         &= 3x^2+10x+13,    & f'(0)       &= 13,\\ f''(x)        &= 6x+10,          & f''(0)      &= 10,\\ f'''(x)       &= 6,              & f'''(0)     &= 6,\\ f^{(n)}(x)    &= 0,              & f^{(n)}(0)  &= 0\quad  \textrm{dla} \displaystyle  \ n\ge 4. \end{array}

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

\displaystyle \aligned  S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)x +\frac{1}{2!}f''(0)x^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\ldots\\ &= 1+13x+\frac{10}{2}x^2+\frac{6}{6}x^3 \ =\ 1+13x+5x^2+x^3. \endaligned

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest skończony oraz jest równy wyjściowemu wielomianowi, to znaczy \displaystyle S(x)=f(x) dla każdego \displaystyle x\in\mathbb{R}. Nie jest to przypadek, jak zobaczymy na następnym wykładzie.

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji \displaystyle f:

\displaystyle \begin{array} {rl} f(x)       &= \sin^2x,\\ f'(x)      &= 2\sin x\cos x=\sin 2x, \\ f''(x)     &= 2\cos 2x, \\ f'''(x)    &= -4\sin 2x, \\ f^{(4)}(x) &= -8\cos 2x, \\ f^{(5)}(x) &= 16\sin 2x, \end{array}

oraz ogólnie dla \displaystyle n\ge 1 mamy

\displaystyle f^{(n)}(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -2^{n-1}\cos 2x   &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k,\\ 2^{n-1}\sin 2x   &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k+1,\\ 2^{n-1}\cos 2x   &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k+2,\\ -2^{n-1}\sin 2x   &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k+3,\\ \end{array}  \right.

f^{(n)}(0) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -2^{n-1}   &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k,\\ 0         &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k+1,\\ 2^{n-1}   &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k+2,\\ 0         &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=4k+3,\\ \end{array}  \right.

lub krócej

\displaystyle f^{(n)}(0) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} (-1)^{k+1}2^{2k-1} &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=2k\\ 0                 &   \textrm{dla} \displaystyle   & n=2k+1.\\ \end{array}  \right.

Zatem szereg Maclaurina jest postaci

\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}x^n \ =\ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}2^{2k-1}}{(2k)!}x^{2k}.

Można dodatkowo sprawdzić, że obszarem zbieżności tego szeregu jest \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}. Na kolejnym wykładzie dowiemy się, że sumą tego szeregu jest wyjściowa funkcja \displaystyle f(x)=\sin^2 x.

Ćwiczenie 4.7.

Rozwinąć funkcję \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x} w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji \displaystyle f w \displaystyle 0 oraz wyprowadzić ogólny wzór na \displaystyle f^{(n)}(0).

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji \displaystyle f oraz pochodne dla \displaystyle x_0=0:

\displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x)       &= \displaystyle\frac{1}{1-x},                               & f(0)       &= 1,\\ \\ f'(x)      &= \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2},              & f'(0)      &= 1!,\\ \\ f''(x)     &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{(1-x)^3},                    & f''(0)     &= 2!,\\ \\ f'''(x)    &= \displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1-x)^4},             & f'''(0)    &= 3!,\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot\ldots \cdot n}{(1-x)^n}, & f^{(n)}(0) &= n!\quad   \textrm{dla} \displaystyle  \ n\ge 1. \end{array}

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

\displaystyle \aligned  S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)x +\frac{1}{2!}f''(0)x^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\ldots\\ &= 1+x+x^2+x^3+\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n. \endaligned

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest szeregiem geometrycznym (dla każdego \displaystyle x\in\mathbb{R}) oraz jego obszarem zbieżności jest przedział \displaystyle \displaystyle (-1,1). Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, widzimy także, że \displaystyle S(x)=f(x) dla \displaystyle x\in(-1,1)

Ćwiczenie 4.8.

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w punkcie \displaystyle x_0:
(1) \displaystyle \displaystyle f(x)=x^3+5x^2+13x+1,\displaystyle x_0=1,
(2) \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{x},\displaystyle x_0=3.

Wskazówka

(1)-(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x_0 oraz wyprowadzić ogólny wzór na \displaystyle f^{(n)}(0).

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji \displaystyle f oraz pochodne dla \displaystyle x_0=1:

\displaystyle \begin{array} {rlrl} f(x)          &= x^3+5x^2+13x+1, & f(1)        &= 20,\\ f'(x)         &= 3x^2+10x+13,    & f'(1)       &= 26,\\ f''(x)        &= 6x+10,          & f''(1)      &= 16,\\ f'''(x)       &= 6,             & f'''(1)     &= 6,\\ f^{(n)}(x)    &= 0,              & f^{(n)}(1)  &= 0\quad   \textrm{dla} \displaystyle  \ n\ge 4. \end{array}

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

\displaystyle \aligned  S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)(x-1) +\frac{1}{2!}f''(0)(x-1)^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)(x-1)^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)(x-1)^4 +\ldots\\ &= 20+26(x-1)+\frac{16}{2}(x-1)^2+\frac{6}{6}(x-1)^3\\ &= 20+26(x-1)+8(x-1)^2+(x-1)^3. \endaligned

Zauważmy, że otrzymany szereg Taylora jest skończony (czyli jest wielomianem), więc jego obszarem zbieżności jest \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}. Oczywiście, gdybyśmy wykonali działania w powyższym wielomianie, to otrzymalibyśmy postać w jakiej podana była funkcja \displaystyle f, zatem \displaystyle S(x)=f(x) dla \displaystyle x\in \mathbb{R}.

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji \displaystyle f oraz pochodne dla \displaystyle x_0=3:

\displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x)       &= \displaystyle\frac{1}{x},                  & f'(3)      &= \displaystyle\frac{1}{3^1}\ =\ \frac{0!}{3^1},\\ \\ f'(x)      &= \displaystyle\frac{-1}{x^2},               & f''(3)     &= \displaystyle\frac{-1}{3^2}\ =\ \frac{-1!}{3^2},\\ \\ f''(x)     &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{x^3},         & f'''(3)    &= \displaystyle\frac{2!}{3^3},\\ \\ f'''(x)    &= \displaystyle\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4}, & f^{(4)}(3) &= \displaystyle\frac{-3!}{3^4},\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}, & f^{(n)}(3) &= \displaystyle\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}}\quad   \textrm{dla} \displaystyle  \ n\ge 0. \end{array}

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^n\\ \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}n!}(x-3)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-3)^n}{3^{n+1}}

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział \displaystyle \displaystyle (0,6).

Ćwiczenie 4.9.

Rozwinąć funkcję \displaystyle \displaystyle f(x)=\ln x w szereg Taylora o środku w punkcie \displaystyle x_0=1.

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x_0 oraz wyprowadzić ogólny wzór na \displaystyle f^{(n)}(0).

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji \displaystyle f oraz pochodne dla \displaystyle x_0=1:

\displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x)       &= \displaystyle\ln x,                        & f(1)       &= 0,\\ \\ f'(x)      &= \displaystyle\frac{1}{x},                  & f'(1)      &= 1\ =\ 0!,\\ \\ f''(x)     &= \displaystyle\frac{-1}{x^2},               & f''(1)     &= -1\ =\ -1!,\\ \\ f'''(x)    &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{x^3},         & f'''(1)    &= 2!,\\ \\ f^{(4)}(x) &= \displaystyle\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4}, & f^{(4)}(1) &=  -3!,\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}, & f^{(n)}(1) &= (-1)^{n-1}(n-1)!\quad   \textrm{dla} \displaystyle  \ n\ge 1. \end{array}

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n\\ \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}(x-1)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n}

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział \displaystyle \displaystyle (0,2].