Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

From Studia Informatyczne

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ćwiczenie 4.1.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągów funkcyjnych:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{n}$ w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R},$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=(1-x)^n$ w przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,1].$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Zbadać (bezpośrednio z definicji), czy ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do swojej granicy punktowej.
(2) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Czy na podstawie postaci tej granicy punktowej można wnioskować o zbieżności jednostajnej?

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego ustalonego $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ mamy

$\displaystyle \bigg|\frac{\sin x}{n}\bigg| \ \le\ \frac{1}{n} \ \longrightarrow\ 0.$

Zatem

$\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ 0,$

to znaczy $\displaystyle f_n\longrightarrow f,$ gdzie $\displaystyle f\equiv 0.$

Aby sprawdzić, czy funkcja $\displaystyle f\equiv 0$

jest granicą jednostajną, obliczamy

$\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \bigg|\frac{\sin x}{n}\bigg| \ =\ \frac{1}{n} \ \longrightarrow\ 0,$

zatem $\displaystyle f\rightrightarrows f\equiv 0$ w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$

<flash>file=am2.m04.c.r01.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{\sin x}{n}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

<flash>file=am2.m04.c.r02.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{\sin x}{n}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

(2) Dla dowolnego $\displaystyle x\in(0,1]$ mamy $\displaystyle 1-x\in[0,1),$ zatem:

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (1-x)^n \ =\ 0,$

gdyż jest to ciąg geometryczny. Dla $\displaystyle x=0$ mamy $\displaystyle 1-x=1,$ zatem

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(0) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1 \ =\ 1.$

Zatem $\displaystyle f_n\longrightarrow f,$ gdzie

$\displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in(0,1]. \end{array} \right.$

Ponieważ funkcje $\displaystyle f_n$ są ciągłe dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ oraz ich granica punktowa $\displaystyle f$ nie jest funkcją ciągłą, więc $\displaystyle f_n\not\rightrightarrows f$ (patrz twierdzenie 4.13.).

<flash>file=am2.m04.c.r03.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji $f_n(x)=(1-x)^n$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

<flash>file=am2.m04.c.r04.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji $f_n(x)=(1-x)^n$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Ćwiczenie 4.2.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2}$ w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$

Wskazówka

Obliczyć punktową granicę $\displaystyle f$ ciągu funkcyjnego. W celu zbadania zbieżności jednostajnej (z definicji) wyznaczyć największą wartość funkcji $\displaystyle |f_n-f|.$

Rozwiązanie

Dla dowolnego $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ mamy

$\displaystyle \big|f_n(x)\big| \ =\ \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg| \ \le\ \bigg|\frac{nx}{n^2}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{n}\bigg| \ \xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}\ 0.$

Zatem $\displaystyle f_n\longrightarrow f\equiv 0.$

W celu zbadania, czy funkcja $\displaystyle f\equiv 0$ jest granicą jednostajną,

należy obliczyć

$\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg|.$

W tym celu wyznaczmy wartość największą funkcji $\displaystyle |f_n|.$ Zauważmy, że funkcje $\displaystyle f_n$ są nieparzyste. Aby wyznaczyć ekstrema, obliczamy pochodną

$\displaystyle f_n'(x) \ =\ \frac{n(n^2+x^2)-2nx^2}{(n^2+x^2)^2} \ =\ \frac{n^3-nx^2}{(n^2+x^2)^2} \ =\ \frac{n(n-x)(n+x)}{(n^2+x^2)^2}.$

Zatem $\displaystyle f_n'(x)=0$ dla $\displaystyle x=n$ oraz $\displaystyle x=-n.$ Ponieważ $\displaystyle f_n(x)\ge 0 \textrm{dla} \displaystyle x\ge 0,\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f_n(x)=0,$ więc funkcja $\displaystyle f_n$ ma maksimum globalne dla $\displaystyle x=n$ (i ponieważ jest nieparzysta, więc ma minimum globalne dla $\displaystyle x=-n$ ). Ponadto $\displaystyle \displaystyle f_n(n)=\frac{n^2}{n^2+n^2}=\frac{1}{2}.$ Zatem

$\displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \frac{1}{2} \not\longrightarrow 0,$

czyli $\displaystyle f_n\not\rightrightarrows f.$

<flash>file=am2.m04.c.r05.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2}$ dla $n=1,2,3,...$

<flash>file=am2.m04.c.r06.swf|width=375|height=375</flash>

Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2}$ dla $n=1,2,3,...$

Ćwiczenie 4.3.

Zbadać zbieżność (zbieżność jednostajną) szeregu funkcyjnego w podanym obszarze:
(1) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3n^3x^2},\displaystyle x\in[a,+\infty)$ (gdzie $\displaystyle a>0,$ )
(2) $\displays.$

Wskazówka

(1)-(2) Skorzystać kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.).

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in[a,+\infty):\ \bigg|\frac{1}{2+3n^3x^2}\bigg| \ \le\ \frac{1}{3n^3x^2} \ \le\ \frac{1}{3a^2n^3}$

oraz szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3a^2n^3}=\frac{1}{3a^2}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle\alpha=3>1$ ; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3n^3x^2}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $\displaystyle \displaystyle [a,+\infty).$
Odpowiedź: Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3n^3x^2}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $\displaystyle \displaystyle [a,+\infty).$

(2) Ponieważ

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{R}:\ \bigg|\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}\bigg| \ \le\ \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} \ \le\ \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$

oraz szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle\alpha=\frac{4}{3}>1$ ; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$
Odpowiedź: Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$

Ćwiczenie 4.4.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{e^{nx}}.$

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.), dla szeregu liczbowego przy ustalonym $\displaystyle x\in\mathbb{R}.$

Rozwiązanie

(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \frac{(n+1)x}{e^{(n+1)x}}\frac{e^{nx}}{nx} \ =\ \frac{n+1}{n}e^{-x},$

zatem

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+1}{n}e^{-x} \ =\ e^{-x}.$

Gdy $\displaystyle e^{-x}<1,$ czyli $\displaystyle x>0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest zbieżny.

Gdy $\displaystyle e^{-x}>1,$ czyli $\displaystyle x<0,$ to szereg na mocy kryterium

d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest rozbieżny.

Pozostaje do sprawdzenia przypadek $\displaystyle x=0.$

Wówczas otrzymujemy szereg zerowy $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 0,$ który jest zbieżny.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{e^{nx}}$ jest przedział $\displaystyle \displaystyle [0,+\infty).$

Ćwiczenie 4.5.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n}.$

Wskazówka

Rozważyć osobno przypadki: $\displaystyle |x|>1,\displaystyle |x|<1,\displaystyle x=1$ i $\displaystyle x=-1.$ Skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) oraz sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

Dla $\displaystyle |x|>1$ mamy

$\displaystyle |1+x^n| \ >\ |x|^n-1 \ >\ |x|^n-\frac{|x|^n}{2} \ =\ \frac{|x|^n}{2},$

zatem

$\displaystyle \bigg|\frac{1}{1+x^n}\bigg| \ <\ \frac{2}{|x|^n}.$

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{|x|^n} =2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|x|^n}$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (gdyż $\displaystyle |x|>1$ ), zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n}$ jest w tym przypadku zbieżny.

Dla $\displaystyle |x|<1$ mamy

$\displaystyle \frac{1}{1+x^n} \ >\ \frac{1}{1-|x|},$

a zatem szereg liczbowy nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.

Dla $\displaystyle x=-1$ szereg nie jest określony.

Dla $\displaystyle x=1$ mamy szereg

$\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2},$ który jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu jest $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}\setminus [-1,1].$

Ćwiczenie 4.6.

Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^3+5x^2+13x+1$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=\sin^2x$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0.$
(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_0=0$ :

$\displaystyle \begin{array} {rlrl} f(x) &= x^3+5x^2+13x+1, & f(0) &= 1,\\ f'(x) &= 3x^2+10x+13, & f'(0) &= 13,\\ f''(x) &= 6x+10, & f''(0) &= 10,\\ f'''(x) &= 6, & f'''(0) &= 6,\\ f^{(n)}(x) &= 0, & f^{(n)}(0) &= 0\quad \textrm{dla} \displaystyle \ n\ge 4. \end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

$\displaystyle \aligned S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)x +\frac{1}{2!}f''(0)x^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\ldots\\ &= 1+13x+\frac{10}{2}x^2+\frac{6}{6}x^3 \ =\ 1+13x+5x^2+x^3. \endaligned$

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest skończony oraz jest równy wyjściowemu wielomianowi, to znaczy $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla każdego $\displaystyle x\in\mathbb{R}.$ Nie jest to przypadek, jak zobaczymy na następnym wykładzie.

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ :

$\displaystyle \begin{array} {rl} f(x) &= \sin^2x,\\ f'(x) &= 2\sin x\cos x=\sin 2x, \\ f''(x) &= 2\cos 2x, \\ f'''(x) &= -4\sin 2x, \\ f^{(4)}(x) &= -8\cos 2x, \\ f^{(5)}(x) &= 16\sin 2x, \end{array}$

oraz ogólnie dla $\displaystyle n\ge 1$ mamy

$\displaystyle f^{(n)}(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -2^{n-1}\cos 2x & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k,\\ 2^{n-1}\sin 2x & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k+1,\\ 2^{n-1}\cos 2x & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k+2,\\ -2^{n-1}\sin 2x & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k+3,\\ \end{array} \right.$

$f^{(n)}(0) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -2^{n-1} & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k+1,\\ 2^{n-1} & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k+2,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & n=4k+3,\\ \end{array} \right.$

lub krócej

$\displaystyle f^{(n)}(0) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} (-1)^{k+1}2^{2k-1} & \textrm{dla} \displaystyle & n=2k\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & n=2k+1.\\ \end{array} \right.$

Zatem szereg Maclaurina jest postaci

$\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}x^n \ =\ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}2^{2k-1}}{(2k)!}x^{2k}.$

Można dodatkowo sprawdzić, że obszarem zbieżności tego szeregu jest $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$ Na kolejnym wykładzie dowiemy się, że sumą tego szeregu jest wyjściowa funkcja $\displaystyle f(x)=\sin^2 x.$

Ćwiczenie 4.7.

Rozwinąć funkcję $\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}$ w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_0=0$ :

$\displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= \displaystyle\frac{1}{1-x}, & f(0) &= 1,\\ \\ f'(x) &= \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}, & f'(0) &= 1!,\\ \\ f''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{(1-x)^3}, & f''(0) &= 2!,\\ \\ f'''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1-x)^4}, & f'''(0) &= 3!,\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot\ldots \cdot n}{(1-x)^n}, & f^{(n)}(0) &= n!\quad \textrm{dla} \displaystyle \ n\ge 1. \end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

$\displaystyle \aligned S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)x +\frac{1}{2!}f''(0)x^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\ldots\\ &= 1+x+x^2+x^3+\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n. \endaligned$

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest szeregiem geometrycznym (dla każdego $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ ) oraz jego obszarem zbieżności jest przedział $\displaystyle \displaystyle (-1,1).$ Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, widzimy także, że $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in(-1,1)$

Ćwiczenie 4.8.

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w punkcie $\displaystyle x_0$ :
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^3+5x^2+13x+1,\displaystyle x_0=1,$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{x},\displaystyle x_0=3.$

Wskazówka

(1)-(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_0=1$ :

$\displaystyle \begin{array} {rlrl} f(x) &= x^3+5x^2+13x+1, & f(1) &= 20,\\ f'(x) &= 3x^2+10x+13, & f'(1) &= 26,\\ f''(x) &= 6x+10, & f''(1) &= 16,\\ f'''(x) &= 6, & f'''(1) &= 6,\\ f^{(n)}(x) &= 0, & f^{(n)}(1) &= 0\quad \textrm{dla} \displaystyle \ n\ge 4. \end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\displaystyle \aligned S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)(x-1) +\frac{1}{2!}f''(0)(x-1)^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)(x-1)^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)(x-1)^4 +\ldots\\ &= 20+26(x-1)+\frac{16}{2}(x-1)^2+\frac{6}{6}(x-1)^3\\ &= 20+26(x-1)+8(x-1)^2+(x-1)^3. \endaligned$

Zauważmy, że otrzymany szereg Taylora jest skończony (czyli jest wielomianem), więc jego obszarem zbieżności jest $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.$ Oczywiście, gdybyśmy wykonali działania w powyższym wielomianie, to otrzymalibyśmy postać w jakiej podana była funkcja $\displaystyle f,$ zatem $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in \mathbb{R}.$

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_0=3$ :

$\displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= \displaystyle\frac{1}{x}, & f'(3) &= \displaystyle\frac{1}{3^1}\ =\ \frac{0!}{3^1},\\ \\ f'(x) &= \displaystyle\frac{-1}{x^2}, & f''(3) &= \displaystyle\frac{-1}{3^2}\ =\ \frac{-1!}{3^2},\\ \\ f''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{x^3}, & f'''(3) &= \displaystyle\frac{2!}{3^3},\\ \\ f'''(x) &= \displaystyle\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4}, & f^{(4)}(3) &= \displaystyle\frac{-3!}{3^4},\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}, & f^{(n)}(3) &= \displaystyle\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}}\quad \textrm{dla} \displaystyle \ n\ge 0. \end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^n\\ \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}n!}(x-3)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-3)^n}{3^{n+1}}$

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $\displaystyle \displaystyle (0,6).$

Ćwiczenie 4.9.

Rozwinąć funkcję $\displaystyle \displaystyle f(x)=\ln x$ w szereg Taylora o środku w punkcie $\displaystyle x_0=1.$

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_0=1$ :

$\displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= \displaystyle\ln x, & f(1) &= 0,\\ \\ f'(x) &= \displaystyle\frac{1}{x}, & f'(1) &= 1\ =\ 0!,\\ \\ f''(x) &= \displaystyle\frac{-1}{x^2}, & f''(1) &= -1\ =\ -1!,\\ \\ f'''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{x^3}, & f'''(1) &= 2!,\\ \\ f^{(4)}(x) &= \displaystyle\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4}, & f^{(4)}(1) &= -3!,\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}, & f^{(n)}(1) &= (-1)^{n-1}(n-1)!\quad \textrm{dla} \displaystyle \ n\ge 1. \end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n\\ \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}(x-1)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n}$

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $\displaystyle \displaystyle (0,2].$

Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/%C4%86wiczenia_4:_Ci%C4%85gi_i_szeregi_funkcyjne._Szereg_Taylora"

Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

From Studia Informatyczne

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Nawigacja

Szukaj

Napisz do nas