Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora
From Studia Informatyczne
Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora
Ćwiczenie 4.1.
Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągów funkcyjnych:
(1)
w
(2)
w przedziale
Wskazówka
(1)
Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego.
Zbadać (bezpośrednio z definicji), czy
ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do
swojej granicy punktowej.
(2)
Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego.
Czy na podstawie postaci tej granicy punktowej można
wnioskować o zbieżności jednostajnej?
Rozwiązanie
(1)
Dla dowolnego ustalonego mamy

Zatem

to znaczy gdzie
Aby sprawdzić, czy funkcja
jest granicą jednostajną, obliczamy

zatem w
<flash>file=am2.m04.c.r01.swf|width=375|height=375</flash> Wykresy funkcji
![]() ![]() | <flash>file=am2.m04.c.r02.swf|width=375|height=375</flash> Wykresy funkcji
![]() ![]() |
(2)
Dla dowolnego mamy
zatem:

gdyż jest to ciąg geometryczny.
Dla mamy
zatem

Zatem gdzie
![\displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in(0,1]. \end{array} \right.](/images/math/a/c/a/aca04cfd513e4934e830f0cc4af8d9fd.png)
Ponieważ funkcje są ciągłe dla
oraz ich granica
punktowa
nie jest funkcją ciągłą, więc
(patrz twierdzenie 4.13.).
<flash>file=am2.m04.c.r03.swf|width=375|height=375</flash> Wykresy funkcji
![]() ![]() | <flash>file=am2.m04.c.r04.swf|width=375|height=375</flash> Wykresy funkcji
![]() ![]() |
Ćwiczenie 4.2.
Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągu funkcyjnego
w
Wskazówka
Obliczyć punktową granicę ciągu funkcyjnego.
W celu zbadania zbieżności jednostajnej
(z definicji) wyznaczyć największą wartość funkcji
Rozwiązanie
Dla dowolnego mamy
![\displaystyle \big|f_n(x)\big| \ =\ \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg| \ \le\ \bigg|\frac{nx}{n^2}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{n}\bigg| \ \xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}\ 0.](/images/math/2/9/2/292e4ffcabfcfbb763f82d97e54aced3.png)
Zatem
W celu zbadania, czy funkcja jest granicą jednostajną,
należy obliczyć

W tym celu wyznaczmy wartość największą funkcji
Zauważmy, że funkcje
są nieparzyste.
Aby wyznaczyć ekstrema, obliczamy pochodną

Zatem dla
oraz
Ponieważ
więc funkcja
ma maksimum globalne dla
(i ponieważ jest nieparzysta, więc ma minimum globalne dla
).
Ponadto
Zatem

czyli
<flash>file=am2.m04.c.r05.swf|width=375|height=375</flash> Wykresy funkcji
![]() ![]() | <flash>file=am2.m04.c.r06.swf|width=375|height=375</flash> Wykresy funkcji
![]() ![]() |
Ćwiczenie 4.3.
Zbadać zbieżność (zbieżność jednostajną)
szeregu funkcyjnego w podanym obszarze:
(1)
(gdzie
)
(2)
Wskazówka
(1)-(2) Skorzystać kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.).
Rozwiązanie
(1) Ponieważ

oraz szereg liczbowy
jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny
z wykładnikiem
;
patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.),
więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów
funkcyjnych
(patrz twierdzenie 4.15.)
wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny jednostajnie w obszarze
Odpowiedź:
Szereg
jest zbieżny jednostajnie w obszarze
(2)
Ponieważ
![\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{R}:\ \bigg|\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}\bigg| \ \le\ \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} \ \le\ \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}](/images/math/2/8/d/28dae1257c7e6830eebde52f2169989c.png)
oraz szereg liczbowy
jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny
z wykładnikiem
;
patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.),
więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów
funkcyjnych
(patrz twierdzenie 4.15.)
wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny jednostajnie w
Odpowiedź:
Szereg
jest zbieżny jednostajnie w
Ćwiczenie 4.4.
Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego
Wskazówka
(1)
Zastosować kryterium d'Alemberta
(patrz wniosek 7.2.),
dla szeregu liczbowego przy ustalonym
Rozwiązanie
(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

zatem

Gdy czyli
to szereg na mocy kryterium
d'Alemberta
(patrz wniosek 7.2.)
jest zbieżny.
Gdy czyli
to szereg na mocy kryterium
d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest rozbieżny.
Pozostaje do sprawdzenia przypadek
Wówczas otrzymujemy szereg zerowy
który jest zbieżny.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu
jest przedział
Ćwiczenie 4.5.
Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego
Wskazówka
Rozważyć osobno przypadki:
i
Skorzystać z kryterium porównawczego
(patrz twierdzenie 6.9.)
oraz
sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów.
Rozwiązanie
Dla mamy

zatem

Ponieważ
jest szeregiem geometrycznym zbieżnym
(gdyż
), zatem na mocy kryterium porównawczego
(patrz twierdzenie 6.9.),
szereg
jest w tym przypadku zbieżny.
Dla mamy

a zatem szereg liczbowy nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.
Dla szereg nie jest określony.
Dla mamy szereg
który jest rozbieżny, gdyż
nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu jest
Ćwiczenie 4.6.
Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
(1)
(2)
Wskazówka
(1) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji
w
(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji
w
oraz wyprowadzić ogólny wzór na
Rozwiązanie
(1)
Liczymy kolejne pochodne funkcji oraz pochodne dla
:

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest skończony
oraz jest równy wyjściowemu wielomianowi, to znaczy
dla każdego
Nie jest to przypadek, jak zobaczymy na następnym wykładzie.
(2)
Liczymy kolejne pochodne funkcji :

oraz ogólnie dla mamy


lub krócej

Zatem szereg Maclaurina jest postaci

Można dodatkowo sprawdzić, że obszarem zbieżności tego szeregu
jest
Na kolejnym wykładzie dowiemy się, że sumą tego szeregu jest
wyjściowa funkcja
Ćwiczenie 4.7.
Rozwinąć funkcję
w szereg Maclaurina.
Wskazówka
Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji
w
oraz wyprowadzić ogólny wzór na
Rozwiązanie
Liczymy kolejne pochodne funkcji oraz pochodne dla
:

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest
szeregiem geometrycznym (dla każdego )
oraz jego obszarem zbieżności jest przedział
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego,
widzimy także, że
dla
Ćwiczenie 4.8.
Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w punkcie :
(1)
(2)
Wskazówka
(1)-(2)
Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji
w punkcie
oraz wyprowadzić ogólny wzór na
Rozwiązanie
(1)
Liczymy kolejne pochodne funkcji oraz pochodne dla
:

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

Zauważmy, że otrzymany szereg Taylora jest skończony
(czyli jest wielomianem),
więc jego obszarem zbieżności jest
Oczywiście, gdybyśmy wykonali działania w powyższym
wielomianie, to otrzymalibyśmy postać w jakiej podana była
funkcja
zatem
dla
(2)
Liczymy kolejne pochodne funkcji oraz pochodne dla
:

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu
jest przedział
Ćwiczenie 4.9.
Rozwinąć funkcję
w szereg Taylora o środku w punkcie
Wskazówka
Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji
w punkcie
oraz wyprowadzić ogólny wzór na
Rozwiązanie
Liczymy kolejne pochodne funkcji oraz pochodne dla
:

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu
jest przedział