Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

From Studia Informatyczne

Wielowymiarowa całka Riemanna

Ćwiczenie 10.1.

Policzyć z definicji następującą całkę

\displaystyle \iint\limits_Kxy\ dxdy,

gdzie \displaystyle K=[0,1]\times[0,1].

Wskazówka

Podzielić \displaystyle K na równe kwadraty (o boku \displaystyle \displaystyle\frac{1}{n}) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy \displaystyle n\to\infty.

Rozwiązanie

<flash>file=AM2.M10.C.R01.swf|width=375|height=375</flash>

Podział kostki w \mathbb{R}^2

Skoro funkcja \displaystyle f(x,y)=xy jest ciągła na kostce \displaystyle K, to całka Riemanna z tej funkcji istnieje. W takim razie wystarczy wziąć jakikolwiek normalny ciąg podziałów \displaystyle P_n, n\in \mathbb{N}, utworzyć sumę całkową i znaleźć jej granicę przy \displaystyle n\to\infty.

Weźmy następujący podział \displaystyle P_n kostki \displaystyle K. Podzielmy każdy

z odcinków \displaystyle \displaystyle [0,1] na \displaystyle n równych części. Każda z nich będzie miała długość \displaystyle \displaystyle\frac{1}{n}. Biorąc iloczyn kartezjański tych małych odcinków, dostajemy podział \displaystyle P_n kwadratu \displaystyle K na kwadraty \displaystyle K_{ij}, \ i,j=1,\ldots,n o boku \displaystyle \displaystyle\frac{1}{n}, a zatem o objętości \displaystyle v(K_{ij})=\frac{1}{n^2}:

\displaystyle K_{ij} \ =\ \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\times \left[\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}\right].

Oczywiście \displaystyle P_n jest normalnym ciągiem podziałów.

Jako punkty pośrednie w kwadratach (kostkach) \displaystyle K_{ij} weźmy lewe

dolne rogi tych kwadratów, czyli punkty \displaystyle p_{ij} o współrzędnych \displaystyle p_{ij}:=(\frac{i}{n},\frac{j}{n}). Wartość funkcji \displaystyle f(x,y)=xy w punktach \displaystyle p_{ij}, i,j=1,\ldots,n jest równa zatem \displaystyle \displaystyle\frac{ij}{n^2}.

Utwórzmy \displaystyle n-tą sumę całkową:

\displaystyle S(f,P_n,p_{11},p_{12},\ldots,p_{nn}) \ =\ \sum_{i,j=1}^nf(p_{ij})v(K_{ij}) \ =\ \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}.

Musimy policzyć granicę tej ostatniej sumy przy \displaystyle n\to\infty. Otóż

\displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \frac{1}{n^4}\sum_{i,j=1}^nij.

Teraz wystarczy zauważyć, że

\displaystyle \sum_{i,j=1}^nij \ =\ 1\sum_{i,j=1}^nj+2\sum_{i,j=1}^nj+\ldots+n\sum_{i,j=1}^nj \ =\ (1+2+\ldots+n)\sum_{i,j=1}^nj \ =\ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2,

bo

\displaystyle \displaystyle\sum_{i,j=1}^nj=\frac{n(n+1)}{2}. A zatem

\displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \frac{1}{n^4}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{4}.

Tak więc dla \displaystyle K=[0,1]\times[0,1],

\displaystyle \iint\limits_Kxy\ dxdy=\frac{1}{4}.

Ćwiczenie 10.2.

Policzyć z definicji całkę

\displaystyle \iiint\limits_Kx\ dxdydz,

gdzie \displaystyle K=[0,1]\times[0,1]\times[0,1].

Wskazówka

Podzielić \displaystyle K na równe sześciany (o boku \displaystyle \displaystyle\frac{1}{n}) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy \displaystyle n\to\infty.

Rozwiązanie

Analogicznie jak w poprzednim zadaniu widzimy, że funkcja \displaystyle f(x,y,z)=x jest ciągła (i ograniczona na \displaystyle K), a zatem jest całkowalna w sensie Riemanna.

Utwórzmy zatem ciąg \displaystyle P_n podziałów kostki \displaystyle K na kostki

\displaystyle K_{ijt},i,j,t=1,\ldots n określone jako

\displaystyle K_{ijt}=\left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\times \left[\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}\right]\times\left[\frac{t}{n},\frac{t+1}{n}\right].

Objętość takiej kostki wynosi \displaystyle v(K_{ijt})=\frac{1}{n^3}.

Jako punkty pośrednie weźmy

\displaystyle p_{ijt}=\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{t}{n}\right).

Wartość \displaystyle f w punkcie pośrednim wynosi \displaystyle f(p_{ijt})=f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{t}{n})=\frac{i}{n}.

Utwórzmy sumę całkową

\displaystyle S(f,P_n,p_{111},p_{112},\ldots,p_{nnn})=\sum_{i,j,t=1}^nf(p_{ijt})v(K_{ijt})=\sum_{i,j,t=1}^n\frac{i}{n}\frac{1}{n^3}= \frac{1}{n^4}\sum_{i,j,t=1}^ni.

Teraz wystarczy zauważyć, że \displaystyle \displaystyle\sum_{i,j,t=1}^ni=n^2\sum{i=1}^ni=n^2\frac{n(n+1)}{2}. Zatem

\displaystyle S(f,P_n,p_{111},p_{112},\ldots,p_{nnn})=\frac{1}{n^4}n^2\frac{n(n+1)}{2}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{2}.

Ćwiczenie 10.3.

Policzyć całkę

\displaystyle \iiint\limits_K(x+y)\ dxdydz,

gdzie \displaystyle K=[0,1]\times[0,1]\times[0,1].

Wskazówka

Należy skorzystać z liniowości całki (patrz stwierdzenie 10.8.) i z ćwiczenia 10.2.

Rozwiązanie

Z liniowości całki mamy

\displaystyle \iiint\limits_K(x+y)\ dxdydz=\iiint\limits_Kx\ dxdydz+\iiint\limits_Ky\ dxdydz.

Całkę \displaystyle \displaystyle\iiint\limits_Kx\ dxdydz policzyliśmy w ćwiczeniu 10.2. Po dokładnie takich samych obliczeniach dostajemy też \displaystyle \displaystyle\iiint\limits_Ky\ dxdydz=\frac{1}{2}. A zatem

\displaystyle \iiint\limits_K(x+y)\ dxdydz=1.

Ćwiczenie 10.4.

Wykazać, że zbiór \displaystyle B\subset\mathbb{R}^N o objętości zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Punkty też są kostkami.

Rozwiązanie

Niech dane będzie \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. Szukamy kostek \displaystyle K_1,K_2,\ldots takich, że

\displaystyle B\subset K_1\cup K_2\cup\ldots=\bigcup_{j=1}^{\infty}K_j

oraz

\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}v(K_j)\leq\varepsilon.

Wiemy, że zbiór \displaystyle B ma objętość zero, czyli istnieją kostki \displaystyle K_1,\ldots,K_s takie, że

\displaystyle B\subset K_1\cup \ldots \cup K_s

oraz

\displaystyle \sum_{j=1}^sv(K_j)\leq\varepsilon.

Zauważmy, że jeden punkt \displaystyle Q=(q_1,\ldots,q_N)\in\mathbb{R}^N możemy traktować jako kostkę \displaystyle \displaystyle [q_1,q_1]\times\ldots\times[q_N,q_N] o objętości oczywiście zero. Wystarczy teraz zdefiniować

\displaystyle K_{s+1} \ =\ K_{s+2} \ =\ \ldots \ =\ Q.

Wtedy

\displaystyle B\subset K_1\cup \ldots \cup K_s \ \subset\ K_1\cup \ldots \cup K_s\cup K_{s+1}\cup K_{s+2}\cup\ldots

oraz

\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}v(K_j) \ =\ \sum_{j=1}^sv(K_j)+0+0+\ldots\leq\varepsilon.

Ćwiczenie 10.5.

Wykazać, że odcinek \displaystyle T\subset \mathbb{R}^2 ma objętość zero.

Wskazówka

Odcinek można zmieścić w jednej kostce.

Rozwiązanie

Możemy tak dobrać układ współrzędnych w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2, że nasz odcinek \displaystyle T jest odcinkiem osi \displaystyle Oy, to znaczy \displaystyle  T=\{(0,y) :\ y\in[0,a]\}. Weźmy dowolne \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. Odcinek \displaystyle T zawiera się w kostce \displaystyle \displaystyle \bigg[\frac{-\varepsilon}{2a},\frac{\varepsilon}{2a}\bigg]\times[0,a]. Objętość (pole) tej kostki wynosi \displaystyle \displaystyle\varepsilon, a zatem \displaystyle T ma objętość zero.

Ćwiczenie 10.6.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Wykazać, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Dla każdego ze zbiorów \displaystyle B_j, j\in\mathbb{N} miary zero, znaleźć pokrycie kostkami o łącznej objętości co najwyżej \displaystyle \displaystyle\frac{\varepsilon}{2^j}.

Rozwiązanie

Weźmy zbiór \displaystyle B będący przeliczalną sumą zbiorów miary zero, czyli

\displaystyle B=\bigcup_{j=1}^{\infty}B_j

oraz \displaystyle m(B_j)=0, \ j=1,2,3,\ldots Weźmy \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. Ponieważ zbiór \displaystyle B_j jest miary zero, istnieje przeliczalna ilość kostek \displaystyle K_1^j,K_2^j,\ldots takich, że

\displaystyle B_j\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}K_i^j

oraz

\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j) \ \leq\ \frac{\varepsilon}{2^j}.

Weźmy teraz wszystkie kostki \displaystyle \displaystyle\{K_i^j, \ i,j\in \mathbb{N}\}. Ten zbiór jest przeliczalny (bo dla każdego \displaystyle j mamy przeliczalną ilość kostek \displaystyle K_i^j,i\in \mathbb{N}, a suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym), zatem możemy te wszystkie kostki ustawić w ciąg, powiedzmy \displaystyle \displaystyle (K_1^1,K_1^2,K_2^1,K_1^3,K_2^2,K_3^1,\ldots). Mamy zatem:

\displaystyle B\subseteq\bigcup_{i,j=1}^{\infty}K_i^j

oraz

\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j) \ =\ \sum_{j=1}^{\infty}\left(\sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j)\right) \ \leq\ \sum_{j=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^j} \ =\ \varepsilon.

A zatem dla dowolnego \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 zbiór \displaystyle B zawarliśmy w przeliczalnej sumie kostek o łącznej objętości co najwyżej \displaystyle \displaystyle\varepsilon. To kończy zadanie.

Ćwiczenie 10.7.

Wykazać, że prosta w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 ma miarę zero.

Wskazówka

Rozwiązanie

Dobierzmy układ współrzędnych tak, by nasza prosta była osią układu, na przykład osią \displaystyle Ox. Możemy ją przedstawić jako przeliczalną sumę odcinków, \displaystyle \displaystyle [0,1]\cup [1,2]\cup \[-1,0]\cup [2,3]\cup [-2,-1]\cup \ldots W zadaniu 10.4 udowodniliśmy, że odcinki w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 mają miarę zero, w ćwiczenia 10.6 pokazaliśmy, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero, a zatem prosta w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 ma miarę zero.

Uwaga. To zadanie można zrobić, nie korzystając

z ćwiczenia 10.6. Podzielmy prostą na odcinki, tak jak wyżej. Utwórzmy sumę kostek:

\displaystyle \left([0,1]\times\left[\frac{-\varepsilon}{2^2},\frac{\varepsilon}{2^2}\right]\right)\cup \left([1,2]\times\left[\frac{-\varepsilon}{2^3},\frac{\varepsilon}{2^3}\right]\right)\cup \left([-1,0]\times\left[\frac{-\varepsilon}{2^4},\frac{\varepsilon}{2^4}\right]\right)\cup \left([2,3]\times\left[\frac{-\varepsilon}{2^5},\frac{\varepsilon}{2^5}\right]\right)\cup \left([-2,-1]\times\left[\frac{-\varepsilon}{2^6},\frac{\varepsilon}{2^6}\right]\right)\cup\ldots

Oczywiście prosta zawiera się w sumie tych kostek, a suma objętości tych kostek wynosi

\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2^2}+\frac{\varepsilon}{2^3}+\frac{\varepsilon}{2^4}+ \frac{\varepsilon}{2^5}+\frac{\varepsilon}{2^6}+\ldots=\varepsilon.

Ćwiczenie 10.8.

Wykazać, że ściana kostki \displaystyle K w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N ma miarę zero.

Wskazówka

Można zacząć od dowodu, że odcinek ma miarę zero w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2, a prostokąt ma miarę zero w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle K=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_N,b_N]. Ściany kostki to zbiory postaci

\displaystyle \aligned  \{a_1\}\times [a_2,b_2]\times \ldots\times [a_N,b_N], && \{b_1\}\times [a_2,b_2] \times\ldots\times [a_N,b_N],\ldots \cr [a_1,b_2]\times [a_2,b_2] \times\ldots\times \{a_N\}, && [a_1,b_2]\times [a_2,b_2] \times\ldots\times \{b_N\}. \endaligned

Wykażemy na przykład, że \displaystyle K_1=\{a_1\}\times [a_2,b_2]\times \ldots\times [a_N,b_N] ma miarę zero. Weźmy dowolne \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. Wystarczy zauważyć, że \displaystyle K_1 zawiera się w kostce

\displaystyle \bigg[ a_1- \frac{\varepsilon}{2(b_2-a_2)(b_3-a_3)\ldots (b_N-a_N)}, a_1+ \frac{\varepsilon}{2(b_2-a_2)(b_3-a_3)\ldots (b_N-a_N)} \bigg] \times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_N,b_N]

o objętości dokładnie \displaystyle \displaystyle\varepsilon.

Ćwiczenie 10.9.

Znaleźć przykład funkcji na odcinku \displaystyle \displaystyle [0,1], która jest różna od funkcji ciągłej na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie.

Wskazówka

Jaka znana funkcja nie jest ciągła w żadnym punkcie?

Rozwiązanie

Jako funkcję ciągłą na odcinku \displaystyle \displaystyle [0,1] weźmy funkcję stale równą zero, to znaczy \displaystyle f(x)=0 dla \displaystyle x\in[0,1].

Zauważmy, że zbiór

\displaystyle B=[0,1]\cap\mathbb{Q} jest zbiorem miary zero (bo jest sumą przeliczalnej ilości punktów, które mają objętość zero, a więc i miarę zero; zobacz wykład i Zadanie 10.5).

Określmy funkcję

\displaystyle g(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 &  \textrm{gdy} \displaystyle   & x\in [0,1]\setminus\mathbb{Q},\\ 1 &  \textrm{gdy} \displaystyle   & x\in [0,1]\cap\mathbb{Q}. \end{array}  \right.

To jest znana z wykładu Analizy Matematycznej 1, funkcja Dirichleta (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 14.9.). Wiemy, że nie jest ona ciągła w żadnym punkcie przedziału \displaystyle \displaystyle [0,1], a różni się od funkcji ciągłej \displaystyle f tylko na zbiorze miary zero.