Analiza matematyczna 1/Wykład 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

From Studia Informatyczne

Spis treści

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Definiujemy pochodną funkcji i podajemy jej interpretację fizyczną i geometryczną. Wyznaczamy pochodne funkcji elementarnych. Wykazujemy podstawowe własności funkcji różniczkowalnych, w tym twierdzenie Rolle'a, Cauchy'ego i twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej. Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji pozwala na sformułowanie warunku koniecznego i wystarczającego istnienia ekstremum.

Pochodna: interpretacja fizyczna i geometryczna

Z pojęciem pochodnej zetknęliśmy się po raz pierwszy w szkole na lekcjach fizyki. Wyznaczając prędkość średnią pewnego obiektu poruszającego się po prostej, dzielimy drogę, jaką przebył w określonym czasie, przez długość tego odcinka czasu:

\displaystyle  v_{\text{średnia}}=\frac{\Delta x}{\Delta t},

gdzie \displaystyle  \Delta x=x(t_2)-x(t_1) oznacza drogę, jaką obserwowany obiekt przebył w czasie \displaystyle  \Delta t:=t_2 - t_1. Następnie spostrzegliśmy, że pomiar prędkości jest tym lepszy i bardziej adekwatny do stanu obiektu w określonej chwili, im odcinek czasu \displaystyle  \Delta t pomiędzy kolejnymi chwilami \displaystyle  t_1 a \displaystyle  t_2 jest krótszy. Granicę ilorazu

\displaystyle  \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1 )}{\Delta t} \text{ przy }\Delta t \rightarrow 0


nazywamy prędkością chwilową lub - krótko - prędkością obiektu w chwili \displaystyle  t_1 i tradycyjnie oznaczamy symbolem \displaystyle  v(t_1) lub

\displaystyle  \frac{dx}{dt}(t_1 ), \ \ \frac{d}{dt}x(t_1 ), \ \  x'(t_1), \ \ \dot{x}(t_1).
to ostatnie oznaczenie pochodnej jest często stosowane w równaniach różniczkowych.

Niech \displaystyle  f:(a,b)\mapsto \mathbb{R} będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych określoną w przedziale otwartym \displaystyle  (a, b).



Styczna (na czerwono) jest granicznym polozeniem siecznej (na zielono)

Definicja 9.1.

Mówimy, że funkcja \displaystyle  f jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle  x_0 \in (a,b), jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego

\displaystyle  \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  x_0 i oznaczamy symbolem: \displaystyle  f'(x_0 ) lub \displaystyle  \frac{df}{dx}(x_0). Funkcję \displaystyle   x\mapsto f'(x), która argumentowi \displaystyle  x przyporządkowuje wartość pochodnej \displaystyle  f'(x) funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  x nazywamy funkcją pochodną funkcji \displaystyle  f lub - krótko - pochodną funkcji \displaystyle  f.

Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej \displaystyle  x\mapsto f'(x) jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji \displaystyle  x\mapsto f(x).

Uwaga 9.2.

Jeśli funkcja \displaystyle  f jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle  x_0\in (a,b), to jest w tym punkcie ciągła. Skoro iloraz różnicowy \displaystyle  \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} ma granicę przy \displaystyle  h\to 0, to licznik \displaystyle  f(x_0+h)-f(x_0) musi zmierzać do zera, stąd \displaystyle  f jest

ciągła w punkcie \displaystyle  x_0.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Przykład 9.3.

Rozważmy funkcję \displaystyle  f(x)=|x| określoną na \displaystyle  \mathbb{R}. Funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie \displaystyle  x\in\mathbb{R}. Natomiast nie jest różniczkowalna w jednym punkcie - w punkcie \displaystyle  x=0, gdyż

\displaystyle  \lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=\left\{\aligned 1, \text{ dla }x>0\\-1, \text{ dla }x<0\endaligned \right .

Funkcja \displaystyle  f(x)=|x| jest więc różniczkowalna w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu \displaystyle  x=0, gdyż nie istnieje granica ilorazu \displaystyle  \frac{|0+h|-|0|}{h} przy \displaystyle  h\to 0. W pozostałych punktach \displaystyle  x\neq 0 mamy \displaystyle  f'(x)=\mathrm{sgn}\, x, gdzie

\displaystyle  \mathrm{sgn}\, x=\frac{x}{|x|}=\left\{\aligned 1, \text{ dla }x>0\\-1, \text{ dla }x<0\endaligned \right .
oznacza funkcję signum (znak liczby). Dziedzina pochodnej \displaystyle  f' jest podzbiorem właściwym dziedziny funkcji \displaystyle f(x)=|x|,tj. \displaystyle  \mathrm{dom}\, f' \subsetneq \mathrm{dom}\, f (to znaczy: \displaystyle  \mathrm{dom}\, f'\subset \mathrm{dom}\, f i \displaystyle  \mathrm{dom}\, f'\neq \mathrm{dom}\, f).




Wykres sumy czesciowej szeregu definiujacego funkcje g
w przykładzie 9.4

Zwróćmy uwagę, że iloraz różnicowy

\displaystyle  \dfrac{f( x_0 +h )-f(x_0 )}{h}
jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej wykresu funkcji \displaystyle  f przechodzącej przez punkty \displaystyle  (x_0, f(x_0)) oraz \displaystyle (x_0+h, f(x_0+h)), jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna ta tworzy z osią rzędnych. Gdy \displaystyle  h zmierza do zera, punkt \displaystyle  (x_0+h, f(x_0+h)) zbliża się do punktu \displaystyle  (x_0, f(x_0)). Jeśli istnieje pochodna \displaystyle  f'(x_0), to prostą o równaniu
\displaystyle  y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0),
będącą granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty \displaystyle  (x_0, f(x_0)) oraz \displaystyle  (x_0+h, f(x_0+h)), nazywamy styczną do wykresu funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  (x_0, f(x_0)). Pochodna \displaystyle  f'(x_0) jest więc współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  (x_0, f(x_0)).

Nietrudno podać przykład funkcji ciągłej, która nie jest różniczkowalna w skończonej liczbie punktów, np. w punktach \displaystyle  x_1, x_2,\dots, x_n. Wystarczy bowiem rozważyć np. sumę

\displaystyle  f(x)= c_1 |x-x_1|+c_2 |x-x_2|+\dots+c_n |x-x_n|,
gdzie \displaystyle  c_1, c_2, \dots, c_n są stałymi różnymi od zera. Pochodna
\displaystyle  f'(x)=c_1 \mathrm{sgn}\,(x-x_1 )+c_2 \mathrm{sgn}\,(x-x_2 )+\dots+c_n\mathrm{sgn}\,(x-x_n )
istnieje w każdym punkcie zbioru \displaystyle  \mathbb{R}\setminus \{x_1, x_2,\dots, x_n\}, czyli wszędzie poza zbiorem \displaystyle  \{x_1, x_2,\dots, x_n\}.

Skonstruujmy funkcję, która jest ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru liczb rzeczywistych.

Przykład 9.4.

Rozważmy wpierw funkcję \displaystyle  x\mapsto f(x)=\arcsin(\cos x). Pamiętamy (zob. ćwiczenia do modułu drugiego), że funkcja ta jest określona na \displaystyle  \mathbb{R}, parzysta, okresowa o okresie \displaystyle  2\pi, przy czym dla \displaystyle  -\pi\leq x\leq \pi zachodzi równość \displaystyle  \arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-|x|. Można wykazać, że funkcja określona za pomocą nieskończonego szeregu



\displaystyle  \aligned g(x)&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(4^k x)}{3^k }\\ &=f(x)+\frac{f(4 x)}{3}+\frac{f(16 x)}{9}+\frac{f(64 x)}{27}+\frac{f(256 x)}{81}+\dots\endaligned



jest określona na \displaystyle  \mathbb{R}, parzysta i okresowa o okresie \displaystyle  2\pi, ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru \displaystyle  \mathbb{R}.

Twierdzenia o pochodnych. Pochodne funkcji elementarnych

W praktyce większość funkcji elementarnych, którymi posługujemy się, jest różniczkowalna. Wyznaczmy pochodne kilku z nich, posługując się definicją i znanymi wzorami.

Przykład 9.5.

a) Funkcja stała \displaystyle  x\mapsto c określona w przedziale \displaystyle  (a,b) jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału i ma pochodną równą zeru, gdyż iloraz różnicowy \displaystyle   \frac{c-c}{h}, będąc stale równy zeru, zmierza do zera.

b) Jeśli \displaystyle  c jest stałą i istnieje \displaystyle  f'(x), to istnieje pochodna iloczynu \displaystyle  (c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x) (innymi słowy: stałą można wyłączyć przed znak pochodnej). Mamy bowiem

\displaystyle  \frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to c \cdot f'(x), przy \displaystyle  h\to 0.

c) Jednomian \displaystyle  f(x)= x^n jest różniczkowalny w każdym punkcie \displaystyle  x\in \mathbb{R} i \displaystyle  f'(x)=n x^{n-1}. Na mocy wzoru dwumianowego Newtona mamy bowiem

\displaystyle  \aligned\frac{(x+h)^n-x^n}{h}&=\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+ \binom{n}{3}x^{3}h^2+\dots+\binom{n}{n-1}x h^{n-2}+\binom{n}{n}h^{n-1}\\ &\to nx^{n-1}+0+0+\dots+0+0, \text{ gdy }h\to 0.\endaligned

d) Funkcja \displaystyle  x\mapsto \sin x jest różniczkowalna w każdym punkcie \displaystyle  x\in \mathbb{R}, ponieważ iloraz różnicowy

\displaystyle  \aligned \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}&=\frac{2\sin\frac{x+h-x}{2}\cos\frac{x+h+x}{2}}{h}\\ &=\cos(x+\frac{h}{2})\cdot \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\endaligned
zmierza do \displaystyle  \cos x, gdyż \displaystyle  \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\to 1 oraz \displaystyle  \cos (x+\frac{h}{2})\to \cos x przy \displaystyle  h\to 0.

e) Funkcja \displaystyle  x\mapsto \cos x jest różniczkowalna w każdym punkcie\displaystyle  x\in \mathbb{R}, ponieważ iloraz różnicowy

\displaystyle  \aligned \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}&=\frac{-2\sin\frac{x+h-x}{2}\sin\frac{x+h+x}{2}}{h}\\ &=-\sin(x+\frac{h}{2})\cdot \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\endaligned
zmierza do \displaystyle  -\sin x, gdyż \displaystyle  \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\to 1 oraz \displaystyle  \sin (x+\frac{h}{2})\to \sin x przy \displaystyle  h\to 0.

Zwróćmy uwagę, że dotychczas nie podaliśmy precyzyjnych definicji funkcji sinus oraz cosinus, bazując na własnościach tych funkcji, poznanych w szkole w oparciu o własności liczb \displaystyle  \sin \varphi, \displaystyle  \cos\varphi, gdy \displaystyle  \varphi jest kątem trójkąta. W szczególności skorzystaliśmy ze znanego faktu, że istnieje granica \displaystyle  \lim_{\varphi\to 0}\frac{\sin \varphi}{\varphi}=1. Formalnie istnienie tej granicy należy wykazać po podaniu definicji funkcji sinus.

Wykażemy teraz szereg prostych uwag, pozwalających efektywnie wyznaczać pochodną.

Twierdzenie 9.6.

Niech \displaystyle  f, g będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym \displaystyle  (a,b). Niech \displaystyle  x \in (a,b). Jeśli istnieją pochodne \displaystyle  f'(x) oraz \displaystyle  g'(x), to

\displaystyle  \aligned &a) &\exists &(f+g)'(x)&=&f'(x )+g'(x),&\\ &b) &\exists &(f\cdot g)'(x)&=&f'(x)g(x)+f(x )g'(x ),&\\ &c) &\exists &\bigg( \frac{1}{g} \bigg)'(x)&=&\frac{-g'(x)}{g^2 (x )}, &\text{ o ile } g(x)\neq 0, \\ &d) &\exists &\bigg( \frac{f}{g} \bigg)'(x)&=&\frac{f'(x )g(x)-f(x )g'(x)}{g^2 (x)},  &\text{ o ile } g(x)\neq 0.\endaligned

Dowód 9.6.

a) Wobec założenia o istnieniu \displaystyle  f'(x) oraz \displaystyle  g'(x) iloraz różnicowy

\displaystyle  \frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}=\frac{(f)(x+h)-(f)(x)}{h}+\frac{(g)(x+h)-(g)(x)}{h}

- na mocy twierdzenia o granicy sumy - ma granicę i jest ona równa \displaystyle  f'(x)+g'(x ).

b) Funkcja \displaystyle  g jest ciągła w punkcie \displaystyle  x, gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc \displaystyle  \displaystyle \exists \lim_{h\to 0}g(x+h)=g(x). Wobec istnienia pochodnych \displaystyle  f'(x_0) oraz \displaystyle  g'(x_0) iloraz różnicowy

\displaystyle  \frac{(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}

zmierza przy \displaystyle  t\to 0 do granicy \displaystyle  f'(x)g(x)+f(x )g'(x ).

c) Jeśli tylko \displaystyle  g(x)\neq 0, to - wobec ciągłości funkcji \displaystyle  g w punkcie \displaystyle  x i istnienia \displaystyle  g'(x) - iloraz różnicowy

\displaystyle  \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}=-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)}
zmierza do granicy \displaystyle  \displaystyle\frac{-g'(x)}{g^2 (x)} przy \displaystyle  h\to 0.

d) Zauważmy, że \displaystyle  \displaystyle \frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}. Na podstawie wykazanego już twierdzenia o pochodnej iloczynu i pochodnej odwrotności istnieje pochodna

\displaystyle  \bigg(f\cdot \frac{1}{g}\bigg)'(x)=f'(x)\frac{1}{g(x)}+f(x) \bigg(\frac{1}{g}\bigg)'(x)= \frac{f'(x)}{g(x)}-f(x) \frac{g'(x)}{g^2 (x)}=\frac{f'(x )g(x)-f(x )g'(x)}{g^2 (x)}.
image:End_of_proof.gif


Zastosujmy powyższe twierdzenie do wyznaczenia pochodnych kolejnych funkcji elementarnych.

Przykład 9.7.

a) Pamiętając, że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, możemy łatwo wyznaczyć pochodną funkcji tangens:

\displaystyle  \aligned (\mathrm{tg}\, x)'&=\bigg(\frac{\sin x}{\cos x}\bigg)'=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}\\&=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\mathrm{tg}\,^2 x .\endaligned

b) W podobny sposób wyznaczamy pochodną funkcji cotangens:

\displaystyle  \aligned (\mathrm{ctg}\, x)'&=\bigg(\frac{\cos x}{\sin x}\bigg)'=\frac{-\sin x\sin x-\cos x \cos x}{\sin^2 x}\\&=\frac{-1}{\sin^2 x}=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x .\endaligned

c) Niech \displaystyle  w(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2 +\dots +a_n x^n będzie funkcją wielomianową. Na mocy uwagi o pochodnej jednomianu i twierdzenia o pochodnej sumy w każdym punkcie zbioru \displaystyle  \mathbb{R} istnieje pochodna

\displaystyle  w'(x)=a_1 + 2 a_2 x +3 a_3 x^2 +\dots+na_nx^{n-1}.

Niech \displaystyle  f:(a,b)\mapsto \mathbb{R} i \displaystyle  g: Y\mapsto\mathbb{R} będą funkcjami takimi, że zbiór \displaystyle  Y zawiera obraz przedziału \displaystyle  (a,b) przez funkcję \displaystyle  f.

Twierdzenie 9.8.

Jeśli istnieje pochodna \displaystyle  f'(x_0) i istnieje pochodna \displaystyle  g'(y_0), gdzie \displaystyle  y_0=f(x_0 ), to istnieje pochodna złożenia \displaystyle  (g\circ f)'(x_0) i jest równa iloczynowi pochodnych, tzn. \displaystyle  (g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)\cdot f'(x_0).

Dowód 9.8.

Niech \displaystyle  y_1=f(x_1), gdzie \displaystyle  x_1\in (a,b). Wobec ciągłości funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  x_0 mamy zbieżność \displaystyle  y_1\to y_0, gdy \displaystyle  x_1\to x_0. Iloraz różnicowy

\displaystyle  \frac{g(f(x_1))-g(f(x_0))}{x_1 - x_0}=\frac{g(y_1)-g(y_0)}{y_1 - y_0}\cdot \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1 - x_0}
zmierza więc do

\displaystyle  g'(y_0)\cdot f'(x_0 ) przy \displaystyle  x_1\to x_0, gdyż \displaystyle  \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1 - x_0}\to f'(x_0), gdy \displaystyle  x_1\to x_0, zaś \displaystyle  \dfrac{g(y_1)-g(y_0)}{y_1 - y_0}\to g'(y_0), gdy \displaystyle  y_1\to y_0.

image:End_of_proof.gif


Twierdzenie 9.9.

Niech \displaystyle  g będzie funkcją odwrotną do funkcji \displaystyle  f:(a,b)\mapsto \mathbb{R}. Niech \displaystyle  x_0 \in (a,b). Jeśli istnieje pochodna \displaystyle  f'(x_0)\neq 0, to funkcja \displaystyle  g jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle  y_0 =f(x_0) i zachodzi równość:

\displaystyle  g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}.

Dowód 9.9.

Niech \displaystyle  x_0, x \in (a,b) i niech \displaystyle  y_0=f(x_0), \displaystyle  y=f(x). Funkcja \displaystyle  f jest ciągła w punkcie \displaystyle  x_0, gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc \displaystyle  y\to y_0, gdy \displaystyle  x\to x_0. Stąd istnieje granica ilorazu różnicowego

\displaystyle  \frac{g(y_0)-g(y)}{y_0 -y}=\frac{x_0-x}{f(x_0)-f(x)} =\frac{1}{\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}} \to\frac{1}{f'(x_0)}, \text{ gdy }x\to x_0.
image:End_of_proof.gif


Przykład 9.10.

Funkcja \displaystyle  x\mapsto \mathrm{arctg}\, x jest odwrotna do funkcji \displaystyle  x\mapsto \mathrm{tg}\, x, stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy

\displaystyle  \frac{d}{dx}\mathrm{arctg}\, x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\mathrm{tg}\, y}=\frac{1}{1+\mathrm{tg}\,^2 y}=\frac{1}{1+\mathrm{tg}\,^2(\mathrm{arctg}\, x)}=\frac{1}{1+x^2}.

Pochodne funkcji określonych za pomocą szeregów potęgowych

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Zobacz biografię
Enlarge
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Naturalnym uogólnieniem wielomianu (sumy skończonej ilości jednomianów) jest szereg potęgowy


\begin{array}{lll} \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n & = & a_0 +a_1 (x-x_0)+a_2 (x-x_0)^2\\ & + & a_3 (x-x_0)^3+\dots +a_n(x-x_n)^n + \dots \end{array}

o środku w punkcie \displaystyle  x_0 i współczynnikach \displaystyle  a_n. Własności szeregów potęgowych omówimy szerzej w ramach analizy matematycznej 2, pomijamy więc w tej chwili szczegółowe dowody. Aby uprościć wypowiedzi potrzebnych twierdzeń, zakładamy, że istnieje granica \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}\in[0,\infty ] (tj. skończona lub równa \displaystyle  \infty).

Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów, można wykazać

Twierdzenie 9.11. [twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda]

Szereg potęgowy \displaystyle  \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n jest zbieżny w przedziale otwartym \displaystyle  (x_0 -R, x_0 +R), gdzie \displaystyle  \frac{1}{R}=\lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}.

Jeśli \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}=0, przyjmujemy \displaystyle  R=\infty;
jeśli zaś \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\root{n}\of{|a_n|}=\infty, przyjmujemy \displaystyle  R=0.

Liczbę \displaystyle  R nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.

Można wykazać następujące

Twierdzenie 9.12.

Funkcja \displaystyle  \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału otwartego \displaystyle  (x_0-R, x_0+R), gdzie \displaystyle  R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Pochodną tej funkcji wyraża szereg potęgowy

\displaystyle  \displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n (x-x_0)^{n-1}, \ \ |x-x_0 |<R.

Innymi słowy: szereg potęgowy można różniczkować wewnątrz przedziału, w którym jest zbieżny, a jego pochodną jest szereg pochodnych jego składników.

Zastosujmy twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego do wyznaczenia pochodnej funkcji wykładniczej \displaystyle  \exp x oraz funkcji sinus i cosinus, które definiuje się za pomocą szeregów potęgowych.

Wniosek 9.13.

Funkcje

\begin{array}{lllll}  \begin{displaystyle} \displaystyle   \displaystyle x\mapsto \exp x & = &\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & = & 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\displaystyle +\frac{x^5}{5!}+\dots\\ \displaystyle x\mapsto \sin x & = &\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} & = & 0+x+0-\frac{x^3}{3!}+0+\frac{x^5}{5!}+\dots\\ \displaystyle x\mapsto \cos x & = &\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} & = & 1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!}+0-\dots \end{displaystyle}\end{array}

są różniczkowalne w każdym punkcie \displaystyle x\in \mathbb{R}, przy czym

\begin{array}{lll}\displaystyle  (\exp x)'& = & \exp x,\\  (\sin x)'& = &\cos x, \\ (\cos x)'& = & - \sin x.  \end{array}

Dowód 9.13.

Promień zbieżności każdego z powyższych szeregów definiujących odpowiednio funkcje \displaystyle  \exp sinus i cosinus równy jest nieskończoności, ponieważ \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!}=\infty. Aby przekonać się o tym, możemy na przykład zastosować oszacowanie

\displaystyle  \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, \text{ dla } n\geq 6,
z którego mamy
\displaystyle  \frac{n}{3}\leq \root{n}\of{n!}\leq \frac{n}{2}.

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach istnieje więc granica \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!}=\infty.

Stąd w całym przedziale \displaystyle  (-\infty, \infty) możemy stosować twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego i mamy

\displaystyle  \aligned(\exp x)'&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \text{\ \  (podstawiamy }k:=n-1 \text{)} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\exp x.\endaligned
W podobny sposób dowodzimy dwóch pozostałych równości: \displaystyle  (\sin x)'=\cos x oraz \displaystyle  (\cos x)'=-\sin x. image:End_of_proof.gif


Oszacowanie

\displaystyle  \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, \text{ dla } n\geq 6,
można wykazać indukcyjnie (szczegóły dowodu znajdują się np. w podręczniku Leona Jeśmianowicza i Jerzego Łosia Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, wyd.VII, Warszawa 1976). Uogólnieniem tego oszacowania jest

Twierdzenie 9.14. [twierdzenie Stirlinga]

Dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle  n istnieje liczba \displaystyle  \theta_n \in [0,1) (zależna od wyboru liczby \displaystyle  n) taka, że zachodzi równość

\displaystyle  n!=\big(\frac{n}{e}\big)^n\sqrt{2\pi n}\exp\frac{\theta_n}{12 n}.

Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych \displaystyle  n czynnik \displaystyle  \exp\frac{\theta_n}{12 n}\approx 1, stąd

\displaystyle  n!\approx \big(\frac{n}{e}\big)^n\sqrt{2\pi n}.

W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet przybliżeniem

\displaystyle  n!\approx \big(\frac{n}{e}\big)^n
lub (pamiętając, że \displaystyle  2<e<3) oszacowaniem
\displaystyle  \big(\frac{n}{3}\big)^n\leq n! \leq \big(\frac{n}{2}\big)^n, dla \displaystyle n\geq 6,
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję \displaystyle  \exp.

Pochodna logarytmu

Funkcja \displaystyle  x\mapsto \ln x jest odwrotna do funkcji \displaystyle  x\mapsto\exp x. Stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy

Uwaga 9.15. [wzór na pochodną logarytmu naturalnego]
\displaystyle  \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\exp y}=\frac{1}{\exp y}=\frac{1}{\exp(\ln x)}=\frac{1}{x}.

Zauważmy też, że pochodna \displaystyle  \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, dla \displaystyle  x\neq 0. Oznaczmy symbolem \displaystyle  \mathrm{\,abs}\, (x)=|x| wartość bezwzględną liczby \displaystyle  x. Na mocy twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji mamy równość

\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{d}{dx}(\ln|x|)& = & (\ln\circ\mathrm{\,abs}\,)'(x)=(\ln)'(\mathrm{\,abs}\,(x))\cdot (\mathrm{\,abs}\,)'(x)\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{1}{|x|}\cdot\mathrm{sgn}\, x=\frac{x}{|x|^2}=\frac{1}{x}.\end{array}

Ogólnie:

Uwaga 9.16.

Jeśli \displaystyle  f jest funkcją różniczkowalną w punkcie \displaystyle  x_0 i \displaystyle  f(x_0)\neq 0, to istnieje pochodna złożenia \displaystyle  \ln |f|=\ln\circ\mathrm{\,abs}\,\circ f w punkcie \displaystyle  x_0 i jest równa \displaystyle  \displaystyle (\ln|f|)'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}.

Przykład 9.17.

Mamy

\displaystyle  \frac{d}{dx}\ln|\sin x|=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\, x,
a także
\displaystyle  \frac{d}{dx}\ln|\cos x|=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}\, x.

Wniosek 9.18.

Pochodną funkcji \displaystyle  x\mapsto g(x)^{f(x)}=\exp\big(f(x)\ln g(x)\big) wyznaczymy, różniczkując złożenie iloczynu funkcji \displaystyle  x\mapsto f(x)\ln g(x) z funkcją wykładniczą \displaystyle  \exp.

Przykład 9.19.

a) Wyznaczmy pochodną funkcji wykładniczej o podstawie \displaystyle  a>0. Mamy \displaystyle  a^x=\exp (x \ln a), więc

\displaystyle  \frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}\big(\exp (x \ln a)\big)= \exp (x \ln a)\cdot \frac{d}{dx} \big(x \ln a\big)=a^x \ln a,
czyli \displaystyle  (a^x)'=a^x \ln a.

b) Wiemy już, że \displaystyle  \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}, gdy \displaystyle  n jest liczbą naturalną. Korzystając z równości \displaystyle  x^a=\exp(a \ln x),x>0 jesteśmy także w stanie wykazać, że \displaystyle  (x^a)'=ax^{a-1}, gdy \displaystyle  a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Mamy bowiem

\displaystyle  \frac{d}{dx}x^a=\frac{d}{dx}\big(\exp(a \ln x)\big)=\exp(a \ln x)\cdot \frac{d}{dx}(a \ln x)=x^a \cdot \frac{a}{x}=ax^{a-1}.

Porównanie pochodnych funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych

Wprost z definicji funkcji hiperbolicznych, które poznaliśmy w drugim module, korzystając z faktu, że pochodna \displaystyle  (\exp x)'=\exp x, wyprowadzamy

Wniosek 9.20.

Wzory na pochodne funkcji hiperbolicznych

\begin{array}{lll} \begin{displaystyle} \displaystyle (\sinh x)'&=&\displaystyle \frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))=\cosh x,\\ \displaystyle (\cosh x)'&=&\displaystyle \frac{1}{2}(\exp x+\exp(-x))'=\frac{1}{2}(\exp x-\exp(-x))=\sinh x,&\\ \displaystyle (\textrm{tgh } x)'&=&\displaystyle \bigg(\frac{\sinh x}{\cosh x}\bigg)'=\frac{\cosh x\cosh x-\sinh x\sinh x}{\cosh^2x}=1-\tgh^2 x=\frac{1}{\cosh^2 x},\\ \displaystyle (\textrm{ctgh } x)'&=&\displaystyle \bigg(\frac{\cosh x}{\sinh x}\bigg)'=\frac{\sinh x\sinh x-\cosh x\cosh x}{\sinh^2x}=1-\ctgh^2 x=\frac{-1}{\sinh^2x}. \end{displaystyle}\end{array}

Dowodząc dwóch ostatnich wzorów, skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz z tożsamości \displaystyle  \cosh^2 x-\sinh^2 x=1, zwanej jedynką hiperboliczną.

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i powyższych wzorów, możemy łatwo wykazać, że

\displaystyle  ({\rm arsinh\, } x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}    oraz    \displaystyle ({\rm artgh\, } x)'=\frac{1}{1-x^2}.
Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy w ramach ćwiczeń.
Uwaga 9.21.

Otrzymane wzory warto zestawić i porównać ze wzorami określającymi pochodne funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych.

\displaystyle   \aligned &(\sinh x)'=\cosh x, \ \ \ \ &&(\sin x)'=\cos x,\\ &(\cosh x)'=\sinh x, \ \ \ \ &&(\cos x)'=-\sin x,\\ &(\textrm{tgh } x)'=1-\textrm{tgh }^2 x, \ \ \ \ &&(\mathrm{tg}\, x)'=1+\mathrm{tg}\,^2 x,\\ &(\textrm{ctgh } x)'=1-\textrm{ctgh }^2 x, \ \ \ \ &&(\mathrm{ctg}\, x)'=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x,\\ &({\rm arsinh\, } x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2 }}, \ \ \ \ &&(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2 }},\\ &({\rm artgh\, } x)'=\frac{1}{1-x^2 }, \ \ \ \ &&(\mathrm{arctg}\, x)'=\frac{1}{1+x^2}. \endaligned

Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne

Niech \displaystyle  X\subset \mathbb{R} będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i niech \displaystyle  f:X\mapsto \mathbb{R}. Oznaczmy przez \displaystyle  d(x,y):=|x-y| odległość punktów \displaystyle  x, y\in X.

Definicja 9.22.

Mówimy, że funkcja \displaystyle  f: X\mapsto \mathbb{R} osiąga maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie \displaystyle  x_0\in X, jeśli istnieje pewne otoczenie punktu \displaystyle  x_0, w którym wartości funkcji \displaystyle  f są nie większe (odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  x_0, to znaczy

\displaystyle  \exists \delta>0 : \forall x\in X : d(x, x_0)<\delta \implies f(x)\leq f(x_0),
odpowiednio:
\displaystyle  \exists \delta>0 : \forall x\in X : d(x, x_0)<\delta \implies f(x)\geq f(x_0).
Jeśli ponadto w pewnym sąsiedztwie punktu \displaystyle  x_0 funkcja przyjmuje wartości mniejsze (odpowiednio: większe) od wartości funkcji \displaystyle  f(x_0) w punkcie \displaystyle  x_0, co zapisujemy:
\displaystyle  \exists \delta>0 : \forall x\in X : 0<d(x, x_0)< \delta \implies f(x)<f(x_0),
odpowiednio:
\displaystyle  \exists \delta>0 : \forall x\in X :0 <d(x, x_0)<\delta \implies f(x)> f(x_0),

to mówimy, że funkcja \displaystyle  f osiąga silne (ścisłe) maksimum lokalne (odpowiednio: silne (ścisłe) minimum lokalne) w punkcie \displaystyle  x_0. Jeśli \displaystyle  f(x_0)=\sup f(X) (odpowiednio: \displaystyle  f(x_0)=\inf f(X)) - to znaczy: jeśli w punkcie \displaystyle  x_0 funkcja \displaystyle  f osiąga kres górny wartości (odpowiednio: kres dolny wartości) w zbiorze \displaystyle  X, to mówimy, że funkcja \displaystyle  f osiąga w punkcie \displaystyle  x_0 maksimum globalne (odpowiednio: minimum globalne). Minima i maksima lokalne (odpowiednio: minima i maksima globalne) nazywamy też krótko ekstremami lokalnymi (odpowiednio: ekstremami globalnymi) funkcji.

Przykład 9.23.

Funkcja \displaystyle  f(x)=x^2 zawężona do przedziału \displaystyle  -1\leq x\leq 2 osiąga minimum lokalne w punkcie \displaystyle  x=0 równe \displaystyle  f(0)=0. Funkcja ta osiąga dwa maksima lokalne w punktach \displaystyle  x=-1 oraz \displaystyle  x=2 równe odpowiednio: \displaystyle  f(-1)=1 oraz \displaystyle  f(2)=4. Kresem górnym wartości funkcji \displaystyle  f w przedziale \displaystyle  [-1,2] jest liczba 4, stąd w punkcie \displaystyle  x=2 funkcja \displaystyle  f osiąga maksimum globalne. Kresem dolnym wartości funkcji \displaystyle  f jest liczba zero, stąd w \displaystyle  x=0 funkcja osiąga minimum globalne.

Z kolei \displaystyle  f(x)=x^2 zawężona do przedziału lewostronnie otwartego \displaystyle  -1< x\leq 2 osiąga minimum globalne w punkcie \displaystyle  x=0, a w punkcie \displaystyle  x=2 osiąga maksimum globalne. Nie osiąga ekstremum w punkcie \displaystyle  x=-1, gdyż nie jest określona w tym punkcie.

Zawężenie funkcji \displaystyle  f(x)=x^2 do przedziału obustronnie otwartego \displaystyle  -1<x<2 osiąga minimum globalne w punkcie \displaystyle  x=0 i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. W przedziale \displaystyle  (-1,2) nie osiąga bowiem maksimum. Kres górny zbioru wartości funkcji \displaystyle  f w przedziale \displaystyle  (-1,2) wynosi \displaystyle  4, kres ten nie jest realizowany przez żadną wartość funkcji, to znaczy nie istnieje argument \displaystyle  x\in (-1,2) taki, że \displaystyle  f(x)=\sup\{f(t),  -1<t<2\}.

Wykażemy teraz twierdzenie stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie, w którym jest ona różniczkowalna.

Niech \displaystyle  f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu \displaystyle  x_0\in \mathbb{R}.

Twierdzenie 9.24.

Jeśli funkcja \displaystyle  f:(a,b)\mapsto\mathbb{R} osiąga ekstremum w punkcie \displaystyle  x_0\in (a,b) i jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle  x_0, to pochodna \displaystyle  f'(x_0)=0.

Dowód 9.24.

Załóżmy, że w punkcie \displaystyle  x_0 funkcja osiąga maksimum lokalne. Wobec tego istnieje liczba \displaystyle  \delta >0 taka, że dla \displaystyle  x\in (x_0-\delta, x_0) mamy

\displaystyle  \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0,

natomiast dla \displaystyle  x\in (x_0, x_0+\delta) mamy

\displaystyle  \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\leq 0.

Wobec istnienia pochodnej \displaystyle  f'(x_0), istnieją granice powyższych ilorazów różnicowych

\displaystyle  \lim_{x\to x_0 -}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0 oraz \displaystyle \lim_{x\to x_0 +}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\leq 0

i muszą być równe. Stąd \displaystyle  f'(x_0)=0. W przypadku, gdy w punkcie \displaystyle  x_0 funkcja osiąga minimum, rozumowanie przebiega podobnie.

image:End_of_proof.gif

Zwróćmy uwagę, że w twierdzeniu nie zakładaliśmy ciągłości funkcji \displaystyle  f w otoczeniu punktu \displaystyle  x_0. Pamiętamy, że z faktu istnienia pochodnej \displaystyle  f'(x_0) wynika ciągłość funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  x_0.



Rysunek do twierdzenia 9.25.

Twierdzenie 9.25. [twierdzenie Rolle'a]

Niech \displaystyle  f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym \displaystyle  [a,b] i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału funkcja \displaystyle  f przyjmuje równe wartości \displaystyle  f(a)=f(b), to istnieje punkt \displaystyle  \xi\in(a,b), w którym zeruje się pochodna funkcji \displaystyle  f'(\xi)=0.

Dowód 9.25.

Jeśli funkcja \displaystyle  f jest stała, to w każdym punkcie \displaystyle  \xi\in (a,b) mamy \displaystyle  f'(\xi)=0. Jeśli natomiast \displaystyle  f nie jest stała, to z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że w pewnym punkcie \displaystyle  \xi\in (a,b) funkcja \displaystyle  f osiąga kres górny lub kres dolny. Na podstawie poprzedniego twierdzenia pochodna w tym punkcie zeruje się, tj. \displaystyle  f'(\xi)=0.

image:End_of_proof.gif

Twierdzenie Rolle'a (zgodnie z interpretacją geometryczną pochodnej) orzeka, że jeśli funkcja różniczkowalna w przedziale \displaystyle  (a,b) przyjmuje na końcach przedziału \displaystyle  [a,b] (w którym jest ciągła) tę samą wartość, to między punktami \displaystyle  a i \displaystyle  b da się znaleźć punkt \displaystyle  \xi taki, że styczna do wykresu funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  (\xi, f(\xi)) jest pozioma, tj. równoległa do osi rzędnych.

Twierdzenie Rolle'a wymaga założenia o ciągłości funkcji w przedziale domkniętym \displaystyle  [a,b] i różniczkowalności we wszystkich punktach przedziału \displaystyle  (a,b).



Rysunek do przykładu 9.26.

Przykład 9.26.

Funkcja

\displaystyle  f(x)=\left\{\aligned &0, &\text{ dla }&x=0\\ &\mathrm{ctg}\,(x), &\text{ dla }&0<x<\frac{\pi}{2}, \endaligned\right.
jest określona na przedziale domkniętym \displaystyle  [0, \frac{\pi}{2}] i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, gdyż
\displaystyle  \forall x\in(0, \pi)\ \exists f'(x)=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x \leq -1 < 0.

Stąd w żadnym punkcie przedziału \displaystyle  (0, \frac{\pi}{2}) pochodna \displaystyle  f' nie zeruje się, mimo że na końcach tego przedziału funkcja przyjmuje takie same wartości: \displaystyle  f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0. Twierdzenie Rolle'a nie zachodzi w tym przypadku, funkcja \displaystyle  f nie jest bowiem ciągła w punkcie \displaystyle  x=0.

Przykład 9.27.

Funkcja \displaystyle  f(x)=|x| jest ciągła w przedziale \displaystyle  [-1,1] i na jego końcach osiąga równe wartości. Jest także różniczkowalna we wnętrzu tego przedziału z wyjątkiem tylko jednego punktu \displaystyle  x=0, w którym nie istnieje pochodna \displaystyle  f'. Twierdzenia Rolle'a również w tym przypadku nie stosuje się, gdyż - jak pamiętamy - dla \displaystyle  x\neq 0 mamy

\displaystyle  f'(x)=\mathrm{sgn}\,(x)=\left\{\aligned 1&, &\text{ dla } &x>0\\ -1&, &\text{ dla } &x<0. \endaligned\right,
a więc nie ma w zbiorze \displaystyle  (-1, 0)\cup (0, 1) takiego punktu, w którym zerowałaby się pochodna \displaystyle  f'.

W szczególności nie istnieje styczna do wykresu funkcji \displaystyle  x\mapsto |x| w punkcie \displaystyle  (0,0).

Dziedzina \displaystyle  \mathrm{dom}\, f' pochodnej \displaystyle  f' jest zawsze podzbiorem dziedziny \displaystyle  \mathrm{dom}\, f funkcji \displaystyle  f. Z twierdzenia 9.24. wynika, że jeśli funkcja osiąga ekstremum w punkcie \displaystyle  a\in \mathrm{dom}\, f', to \displaystyle  f'(a)=0. Jednak funkcja \displaystyle  f może osiągać również ekstrema w tych punktach, w których nie istnieje pochodna, tzn. w punktach zbioru \displaystyle  \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'.

Definicja 9.28.

Niech \displaystyle  f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}. Mówimy, że punkt \displaystyle  a\in \mathrm{dom}\, f jest punktem krytycznym funkcji \displaystyle  f, jeśli funkcja \displaystyle  f nie jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle  a albo jest w tym punkcie różniczkowalna i pochodna \displaystyle  f'(a)=0. Zbiór punktów

\displaystyle  \{a\in \mathrm{dom}\, f: a\notin \mathrm{dom}\, f'\}\cup \{a\in \mathrm{dom}\, f': f'(a)=0\}
nazywamy zbiorem punktów krytycznych funkcji \displaystyle  f.

Wiemy (zob. przykład 9.4.), że funkcja \displaystyle  f może nie być różniczkowalna w kilku punktach, a nawet w żadnym punkcie swojej dziedziny, mimo że jest ciągła. Badając przebieg zmienności funkcji, nie możemy więc zawężać poszukiwania punktów ekstremalnych wyłącznie do tych punktów, w których funkcja jest różniczkowalna.

Uwaga 9.29.

Jeśli funkcja \displaystyle  f osiąga ekstremum w pewnym punkcie, to punkt ten jest jej punktem krytycznym.

Dowód 9.29.

Funkcja \displaystyle  f może osiągać ekstremum w punkcie, który należy do dziedziny pochodnej \displaystyle  \mathrm{dom}\, f' albo do różnicy dziedziny funkcji i dziedziny jej pochodnej \displaystyle  \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'. W przypadku, gdy \displaystyle  a\in\mathrm{dom}\, f', na mocy twierdzenia 9.24. mamy

\displaystyle  f'(a)=0, punkt \displaystyle  a jest więc krytyczny. Z kolei, jeśli \displaystyle  a\in\mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f', to punkt \displaystyle  a jest krytyczny, z definicji 9.28.. image:End_of_proof.gif


Zauważmy, że powyższa uwaga doprecyzowywuje warunek konieczny istnienia ekstremum zawarty w twierdzeniu 9.24. w przypadku, gdy funkcja \displaystyle  f nie jest różniczkowalna w punkcie, w którym osiąga ekstremum. Co więcej, funkcja \displaystyle  f może osiągać ekstremum w punkcie, w którym nie jest nawet ciągła (zob. przykład poniżej). Punkt taki - na mocy uwagi uwagi 9.2. - należy do zbioru \displaystyle  \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f', jest więc krytyczny.



Rysunek do przykładu 9.30.


Rysunek do przykładu 9.32.

Przykład 9.30.

a) Funkcja \displaystyle  f(x)=|x| określona jest w zbiorze \displaystyle  \mathrm{dom}\, f= \mathbb{R}, a różniczkowalna w \displaystyle  \mathrm{dom}\, f'=\mathbb{R}\setminus \{0\}. Jedynym punktem krytycznym \displaystyle  f jest punkt \displaystyle  0\in \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f', w którym \displaystyle  f osiąga minimum.

b) Funkcja

\displaystyle  \tilde{f}(x)=\left\{\aligned 1, \text{ dla } x=0, \\|x|, \text{ dla } x\neq 0\endaligned \right.
różni się od poprzedniej funkcji jedynie wartością w zerze, nie jest w tym punkcie ciągła. Pochodna \displaystyle  \tilde{f}'(x)=\mathrm{sgn}\, x nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny \displaystyle  \mathrm{dom}\, \tilde{f}'=(-\infty, 0)\cup (0, \infty). Jedynym punktem krytycznym funkcji \displaystyle  \tilde{f} jest więc zero, w którym funkcja ta osiąga silne maksimum lokalne, gdyż dla \displaystyle  0<|x|<1 mamy \displaystyle  \tilde{f}(x)<1=\tilde{f}(0).

Przykład 9.31.

Funkcja \displaystyle  f(x)=x zacieśniona do przedziału domkniętego \displaystyle  [-1, \ 2] jest różniczkowalna w przedziale otwartym \displaystyle  (-1,\ 2). W każdym punkcie \displaystyle  -1<x<2 mamy \displaystyle  f'(x)=1\neq 0. Stąd jedynymi punktami krytycznym są punkty \displaystyle  \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f'=\{-1, \ 2\}, czyli końce przedziału domkniętego. W punkcie \displaystyle  x=-1 funkcja \displaystyle  f osiąga minimum \displaystyle  f(-1)=-1, a w \displaystyle  x=2 maksimum \displaystyle  f(2)=2.

Przykład 9.32.

Funkcja \displaystyle  f(x)=\sqrt{1-x^2} określona jest na przedziale domkniętym \displaystyle  \mathrm{dom}\, f=[-1, \ 1], a jej pochodna \displaystyle  f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} istnieje w punktach przedziału otwartego \displaystyle  \mathrm{dom}\, f'=(-1,1). Pochodna zeruje się w punkcie \displaystyle  x=0. Stąd zbiór punktów krytycznych funkcji \displaystyle  f składa się z trzech punktów: \displaystyle  \{-1, \ 0, \ 1\}. Funkcja \displaystyle  f osiąga w punkcie \displaystyle  0 maksimum \displaystyle  f(0)=1, a w dwóch pozostałych punktach krytycznych osiąga minima \displaystyle  f(-1)=f(1)=0. Zwróćmy uwagę, że w obu tych punktach pochodna nie istnieje. Co więcej, granice jednostronne pochodnej \displaystyle  f':

\displaystyle  \lim_{x\to -1+}f'(x)=\infty \ \  \text{ oraz } \ \  \lim_{x\to 1-}f'(x)=-\infty
są nieskończone.

Przykład 9.33.

Funkcja \displaystyle  f(x)=\sqrt{x^2 -1} określona jest dla \displaystyle  |x|\geq 1. Stąd \displaystyle  \mathrm{dom}\, f=(-\infty, -1]\cup[1, \infty). Jej pochodna \displaystyle  f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} określona jest w sumie przedziałów otwartych \displaystyle  \mathrm{dom}\, f'=(-\infty, -1)\cup (1, \infty). Zwróćmy uwagę, że pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny. Jednak zbiór punktów krytycznych funkcji \displaystyle  f zawiera dwa punkty: \displaystyle  -1 oraz \displaystyle  1, w których funkcja \displaystyle  f osiąga minima

\displaystyle  f(-1)=f(1)=0.

W punktach zbioru \displaystyle  \mathrm{dom}\, f\setminus \mathrm{dom}\, f' funkcja nie musi osiągać ekstremum, co ilustrują kolejne przykłady.

Przykład 9.34.

Każdy punkt przedziału \displaystyle  [0,1] jest punktem krytycznym funkcji Dirichleta

\displaystyle  f(x)=\left\{\aligned &1, &\text{ dla }& x\in[0,1]\cap \mathbb{Q}\\&0, &\text{ dla }&x\in[0,1]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\endaligned \right.
gdyż nie jest ona różniczkowalna (ani nawet ciągła) w żadnym punkcie tego przedziału. Jednak w żadnym punkcie przedziału \displaystyle  [0,1] (ani w punkcie wymiernym, ani w niewymiernym) funkcja Dirichleta nie osiąga ekstremum, gdyż w dowolnie małym otoczeniu któregokolwiek punktu znajdziemy punkty wymierne i niewymierne, w których funkcja przyjmuje skrajnie różne wartości: albo jeden, albo zero.



Rysunek do przykładu 9.33.


Rysunek do przykładu 9.35.

Przykład 9.35.

Funkcja
\displaystyle  f(x)=\left\{\aligned &\sqrt{x}, &\text{dla } &x\geq 0\\ -&\sqrt{-x}, &\text{ dla } &x< 0\endaligned\right.,

określona jest dla wszystkich liczb rzeczywistych, stąd \displaystyle  \mathrm{dom}\, f=(-\infty, \infty). Jej pochodna

\displaystyle  f'(x)=\left\{\aligned &\frac{1}{2\sqrt{x}}, &\text{ dla } &x> 0\\ &\frac{1}{2\sqrt{-x}}, &\text{ dla } &x< 0\endaligned\right\} =\frac{1}{2\sqrt{|x|}}, \text{ dla } x\neq 0

nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny \displaystyle  \mathrm{dom}\, f'=(-\infty, 0)\cup (0, \infty). Funkcja \displaystyle  f jest nieparzysta, ściśle rosnąca, nie osiąga więc ekstremum w żadnym punkcie swojej dziedziny, również w \displaystyle  x=0, mimo że jest to punkt krytyczny tej funkcji.

Twierdzenie o wartości średniej

Wnioskiem z twierdzenia Rolle'a jest następujące

Twierdzenie 9.36. [twierdzenie Cauchy'ego]

Niech \displaystyle  f,g: [a,b]\mapsto \mathbb{R} będą funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym \displaystyle  [a,b] i różniczkowalnymi w przedziale otwartym \displaystyle  (a,b). Wówczas istnieje punkt \displaystyle  \xi\in (a,b) taki, że

\displaystyle  \big(f(b)-f(a)\big)g'(\xi)=\big(g(b)-g(a)\big)f'(\xi).

Zwróćmy uwagę, że powyższą równość można zapisać w bardziej przejrzystej postaci (i łatwiejszej do zapamiętania):

\displaystyle  \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},

o ile \displaystyle  g(a)\neq g(b) oraz \displaystyle  g'(\xi)\neq 0. Twierdzenie Cauchy'ego głosi w tym przypadku, że istnieje wewnątrz przedziału \displaystyle  (a,b) punkt \displaystyle  \xi taki, że stosunek przyrostów wartości funkcji \displaystyle  f i \displaystyle  g między punktami \displaystyle  a i \displaystyle  b jest równy stosunkowi pochodnych tych funkcji w punkcie \displaystyle  \xi.

Dowód 9.36.

Rozważmy pomocniczo funkcję \displaystyle  h(t):=\big(f(b)-f(a)\big)g(t)-\big(g(b)-g(a)\big)f(t) określoną dla \displaystyle  t\in [a,b]. Funkcja \displaystyle  h jest ciągła w przedziale domkniętym \displaystyle  [a,b], różniczkowalna w przedziale otwartym \displaystyle  (a,b) o pochodnej równej

\displaystyle  \frac{d}{dt}h(t)=\big(f(b)-f(a)\big)\frac{d}{dt}g(t)-\big(g(b)-g(a)\big)\frac{d}{dt}f(t).

Ponadto \displaystyle  h(a)=h(b). Na mocy twierdzenia Rolle'a istnieje więc taki punkt \displaystyle  \xi\in (a,b), w którym zeruje się pochodna \displaystyle  h'(\xi)=0, skąd wynika teza twierdzenia.

image:End_of_proof.gif


Jako wniosek z twierdzenia Cauchy'ego otrzymujemy

Twierdzenie 9.37. [twierdzenie Lagrange'a]

Jeśli funkcja \displaystyle  f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} jest ciągła w przedziale domkniętym \displaystyle  [a,b] i różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego \displaystyle  (a,b), to istnieje punkt \displaystyle  \xi\in (a,b) taki, że

\displaystyle  \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi).

Dowód 9.37.

Wystarczy w twierdzeniu Cauchy'ego podstawić \displaystyle  g(t)=t. Wówczas \displaystyle  g(b)=b, \displaystyle  g(a)=a oraz \displaystyle  g'(t)=1. image:End_of_proof.gif


Styczna do wykresu w punkcie \xi (na czerwono) jest równolegla do siecznej (na zielono)

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach (skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia można zapisać też następująco:

\displaystyle  f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), \text{ dla pewnego } \xi\in (a,b).

Innymi słowy: przyrost wartości funkcji \displaystyle  f(b)-f(a) odpowiadający przyrostowi argumentu funkcji od \displaystyle  a do \displaystyle  b równy jest iloczynowi przyrostu argumentu \displaystyle  b-a i wartości pochodnej funkcji \displaystyle  f w pewnym punkcie pośrednim \displaystyle  \xi leżącym między punktami \displaystyle  a i \displaystyle  b.

Pamiętamy, że interpretacją geometryczną ilorazu różnicowego \displaystyle  \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} jest współczynnik kierunkowy siecznej wykresu funkcji \displaystyle  f przechodzącej przez punkty \displaystyle  (a, f(a)) i \displaystyle  (b, f(b)). Twierdzenie Lagrange'a orzeka więc, że między punktami \displaystyle  a i \displaystyle  b da się znaleźć taki punkt \displaystyle  \xi, że styczna do wykresu funkcji \displaystyle  f w punkcie \displaystyle  (\xi, f(\xi)) jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty \displaystyle  (a, f(a)) i \displaystyle  (b, f(b)).

Wnioskiem z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej jest twierdzenie, które wiąże monotoniczność funkcji ze znakiem pierwszej pochodnej.

Twierdzenie 9.38.

Niech \displaystyle  f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \displaystyle  (a,b).

a) Jeśli \displaystyle  f'(x)\geq 0 dla wszystkich \displaystyle  x\in (a,b), to \displaystyle  f jest rosnąca w przedziale \displaystyle  (a,b).

a') Jeśli \displaystyle  f'(x)> 0 dla wszystkich \displaystyle  x\in (a,b), to \displaystyle  f jest ściśle rosnąca w przedziale \displaystyle  (a,b).

b) Jeśli \displaystyle  f'(x)=0 dla wszystkich \displaystyle  x\in (a,b), to \displaystyle  f jest stała w przedziale \displaystyle  (a,b).

c) Jeśli \displaystyle  f'(x)\leq 0 dla wszystkich \displaystyle  x\in (a,b), to \displaystyle  f jest malejąca w przedziale \displaystyle  (a,b).

c') Jeśli \displaystyle  f'(x)< 0 dla wszystkich \displaystyle  x\in (a,b), to \displaystyle  f jest ściśle malejąca w przedziale \displaystyle  (a,b).

Dowód 9.38.

Dla dowolnych punktów \displaystyle  x_1<x_2 z przedziału \displaystyle  (a,b) zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a potrafimy wskazać punkt \displaystyle  \xi\in (x_1, x_2) taki, że \displaystyle  f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1). Z równości tej wynikają powyższe implikacje.

image:End_of_proof.gif


Wnioskiem z tego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum w przypadku, gdy funkcja jest różniczkowalna.

Wniosek 9.39.

Niech \displaystyle  f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \displaystyle  (a,b). Jeśli w punkcie \displaystyle  x_0\in(a,b) pochodna funkcji \displaystyle  f zeruje się (tj. \displaystyle  f'(x_0)=0) oraz zmienia znak, to znaczy

a) jest dodatnia w przedziale \displaystyle  (a,x_0) i ujemna w \displaystyle  (x_0,b),

b) jest ujemna w przedziale \displaystyle  (a,x_0) i dodatnia w \displaystyle  (x_0,b),

to funkcja \displaystyle  f osiąga w punkcie \displaystyle  x_0 ekstremum, odpowiednio:

a) minimum lokalne,

b) maksimum lokalne.

Dowód 9.39.

a) Na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja \displaystyle  f jest ściśle rosnąca w przedziale \displaystyle  (a, x_0) i ściśle malejąca w przedziale \displaystyle  (x_0, b), osiąga więc maksimum lokalne w punkcie \displaystyle x_0. Dowód w przypadku b) jest podobny.

image:End_of_proof.gif


Zwróćmy uwagę, że nie potrzeba zakładać zerowania się pierwszej pochodnej funkcji w punkcie \displaystyle  x_0. Prawdziwy jest więc także

Wniosek 9.40.

Jeśli funkcja \displaystyle  f ciągła w przedziale \displaystyle  (a,b) jest różniczkowalna w przedziałach \displaystyle  (a, x_0) oraz \displaystyle  (x_0, b), przy czym pochodna \displaystyle  f' jest

a) dodatnia w przedziale \displaystyle  (a, x_0) i ujemna w \displaystyle  (x_0, b),

b) ujemna w przedziale \displaystyle  (a, x_0) i dodania w \displaystyle  (x_0, b),

to funkcja \displaystyle  f osiąga w punkcie \displaystyle  x_0 ekstremum, odpowiednio:

a) minimum lokalne,

b) maksimum lokalne.

Przykład funkcji \displaystyle  f(x)=|x|, która osiąga minimum w punkcie \displaystyle  x_0=0, a ma pochodną ujemną dla \displaystyle  x<0, a dodatnią dla \displaystyle  x>0 i wcale nie ma pochodnej w punkcie \displaystyle  x_0=0, stanowi ilustrację ostatniego wniosku.

Przykład 9.41.

Pochodna funkcji \displaystyle  f(x)=2x^3+3x^2 -12 x+7 wynosi

\displaystyle  f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1).

Stąd \displaystyle  f'(x)<0 w przedziale \displaystyle  (-2,1), a w obu przedziałach \displaystyle  (-\infty, -2) oraz \displaystyle  (1, +\infty) pochodna jest dodatnia. Na mocy wykazanego twierdzenia, funkcja \displaystyle  f jest ściśle rosnąca w przedziale \displaystyle  (-\infty, -2), następnie maleje w przedziale \displaystyle  (-2, 1) i znowu rośnie w przedziale \displaystyle  (1, \infty). Wobec tego w punkcie \displaystyle  x=-2 osiąga maksimum lokalne równe \displaystyle  f(-2)=27, a w punkcie \displaystyle  x=1 minimum lokalne równe \displaystyle  f(1)=0.



Rysunek do przykładu 9.41.


Rysunek do przykładu 9.42.(a)


Rysunek do przykładu 9.42.(b)
Uwaga 9.42.

Założenie, że pochodna \displaystyle  f'(x)\geq 0 (odpowiednio \displaystyle  f'(x)>0, \displaystyle  f'(x)=0 itd) w każdym punkcie przedziału \displaystyle  (a,b) jest istotne.

a) Rozważmy funkcję: \displaystyle  f(x)=[x], gdzie \displaystyle  [x] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej \displaystyle  x, czyli największą liczbę całkowitą nie większą od \displaystyle  x. Wówczas \displaystyle  f jest różniczkowalna w zbiorze \displaystyle  \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} (czyli wszędzie poza zbiorem liczb całkowitych) i w zbiorze tym pochodna \displaystyle  f'(x)=0, mimo że funkcja \displaystyle  f jest rosnąca.

b) Funkcja \displaystyle  g(x)=x-[x] jest różniczkowalna w zbiorze \displaystyle  \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} i w każdym punkcie tego zbioru jej pochodna \displaystyle  g'(x)=1. Jednak funkcja ta nie jest ściśle rosnąca w zbiorze \displaystyle  \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}. Jest natomiast ściśle rosnąca w każdym z przedziałów postaci \displaystyle  (n, n+1), gdzie \displaystyle  n\in\mathbb{Z}.

Podane funkcje są ciągłe poza zbiorem liczb całkowitych. Można jednak skonstruować przykład funkcji ciągłej, rosnącej o zerowej pochodnej w prawie każdym punkcie, to znaczy w każdym punkcie przedziału \displaystyle  (0,1) poza punktami trójkowego zbioru Cantora

\displaystyle  C:=\big\{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}, \ \ a_k\in\{0,2\}\big\}.

Przypomnijmy, że zbiór ten rozważaliśmy w ramach pierwszego modułu.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)Zobacz biografię
Enlarge
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)Zobacz biografię


Rysunek do przykładu 9.43.

Przykład 9.43.

Niech \displaystyle  \displaystyle x=(0,a_1 a_2 a_3 a_4 \dots)_{(3)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} będzie dowolną liczbą z przedziału \displaystyle  [0,1] zapisaną w systemie trójkowym za pomocą ciągu cyfr \displaystyle  a_n=a_n(x)\in\{0,1,2\}. Niech \displaystyle  N=N(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której \displaystyle  a_n=1. Innymi słowy: niech \displaystyle  N=N(x) będzie pozycją pierwszej jedynki w zapisie trójkowym liczby \displaystyle  x, licząc od przecinka pozycyjnego w prawo. Jeśli nie ma takiej liczby, przyjmujemy \displaystyle  N(x)=\infty. Określmy ciąg

\displaystyle  b_n=\left\{\aligned \frac{1}{2}a_n, \text{ dla } n<N(x)\\ 1, \text{ dla } n=N(x)\\ 0, \text{ dla } n>N(x)\endaligned \right .,

za pomocą którego definiujemy funkcję Cantora (zwaną także diabelskimi schodami) wzorem

\displaystyle  \displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{N(x)} \frac{b_k}{2^k}.

Łatwo sprawdzić, że \displaystyle  f(0)=0, \displaystyle  f(1)=1, a na odcinkach, które usuwamy kolejno z przedziału \displaystyle  [0,1] podczas kolejnych etapów konstrukcji trójkowego zbioru Cantora, funkcja ta jest stała:


\displaystyle  f(x)=\frac{1}{2} \text{ dla } x\in\big(\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3}\big),

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} \text{ dla } x\in\big(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\big) \text{ oraz }  f(x)=\frac{3}{4}\text{ dla } x\in\big(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\big),

\displaystyle f(x)=\frac{1}{8} \text{ dla } x\in \big(\frac{1}{27},\frac{2}{27}\big), \ f(x)=\frac{3}{8} \text{ dla } x\in\big(\frac{7}{27}, \frac{8}{27}\big),


\displaystyle f(x)=\frac{5}{8} \text{ dla } x\in \big(\frac{19}{27},\frac{20}{27}\big), f(x)=\frac{7}{8} \text{ dla } x\in\big(\frac{25}{27},\frac{26}{27}\big),

i tak dalej. Można wykazać, że funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie przedziału \displaystyle  [0,1]. Zauważmy, że funkcja Cantora jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru \displaystyle  [0,1]\setminus C (tj. w każdym punkcie przedziału \displaystyle  (0,1) poza punktami trójkowego zbioru Cantora \displaystyle  C). Pochodna funkcji Cantora jest w tych punktach równa zeru, a mimo to (co nietrudno zauważyć) funkcja

Cantora jest rosnąca (niemalejąca) w przedziale \displaystyle  [0,1].