Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic

From Studia Informatyczne

Spis treści

1 Obliczanie granic
2 Liczba e
3 Arytmetyka granic niewłaściwych
4 Granice specjalne
5 Granica górna i granica dolna

Obliczanie granic

Wykład ten jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego ciągów o wyrazach rzeczywistych. Wykład rozpoczynamy od definicji liczby $e$ jako granicy pewnego ciągu. Podajemy twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych i liczymy pewne granice specjalne. Wprowadzamy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu.

[Edytuj]

Liczba e

Zajmiemy się teraz pewnym przykładem ciągu zbieżnego, którego granica odgrywa ważną rolę w matematyce.

Twierdzenie 5.1. [Liczba $e$ , symbol $1^{\infty}$ ]

(1) Ciąg $\displaystyle\{e_n\}\subseteq\mathbb{R}$ o wyrazach $\displaystyle e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n$ jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez $e,$ przy czym

$e \ \approx\ 2,718281828458563411277850606202642376785584483618617451918618203\ldots.$

(2) Jeśli $\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$ jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty,$ to

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n} \ =\ e.$

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, którego dowód indukcyjny zostawiamy jako proste ćwiczenie.

Lemat 5.2.

Dla każdego $n\ge 3$ mamy $\displaystyle n!>2^{n-1}.$

Dowód 5.2.

(Ad (1))
Krok 1. Pokażemy, że ciąg $\displaystyle\{e_n\}$ jest rosnący. W tym celu dla dowolnego $n\in\mathbb{N}$ obliczymy iloraz:

$\frac{e_{n+1}}{e_n} \ =\ \frac{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n} \ =\ \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \frac{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1}}$

$\ =\ \frac{n+1}{n}\bigg[\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\bigg]^{n+1} \ =\ \frac{n+1}{n}\bigg[1-\frac{1}{(n+1)^2}\bigg]^{n+1}.$

Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię

Stosując nierówność Bernoullego

(patrz uwaga 2.16.) z $r=n+1\ge 2$ oraz $\displaystyle x=-\frac{1}{(n+1)^2}>-1,$ dostajemy

$\frac{e_{n+1}}{e_n} \ >\ \frac{n+1}{n} \bigg(1-\frac{n+1}{(n+1)^2}\bigg) \ =\ \frac{n+1}{n} \bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg) \ =\ \frac{n+1}{n}\cdot\frac{n}{n+1} \ =\ 1.$

Pokazaliśmy zatem, że

$\frac{e_{n+1}}{e_n} \ >\ 1 \qquad\forall\ n\ge 1,$

czyli ciąg $\displaystyle\{e_n\}$ jest rosnący.

Krok 2. Pokażemy, że ciąg $\displaystyle\{e_n\}$ jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich, więc wystarczy pokazać, że jest on ograniczony z góry. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), mamy

$\begin{array} {lll} \displaystyle e_n & = & \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n \ =\ \binom{n}{0} +\binom{n}{1}\frac{1}{n} +\binom{n}{2}\frac{1}{n^2} +\binom{n}{3}\frac{1}{n^3} +\ldots +\binom{n}{n-1}\frac{1}{n^{n-1}} +\binom{n}{n} \frac{1}{n^n}\\ & = & 1 +1 +\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2} +\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} +\ldots +\frac{1}{(n-1)!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot 2}{n^{n-1}}\\ & & +\ \frac{1}{n!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot 1}{n^n}\\ & = & 1 +1 +\frac{1}{2!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) +\frac{1}{3!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) +\ldots +\frac{1}{(n-1)!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\cdot\ldots\cdot\bigg(1-\frac{n-2}{n}\bigg)\\ && +\ \frac{1}{n!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\cdot\ldots\cdot\bigg(1-\frac{n-1}{n}\bigg)\\ & < & 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}. \end{array}$

Korzystając z Lematu lematu 5.2., mamy

$e_n \ <\ 1+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}.$

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz przyklad 1.12.), dostajemy

$e_n \ <\ 1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}} \ <\ 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \ =\ 3.$

Pokazaliśmy zatem, że

$\forall n\in\mathbb{N}:\ |e_n|<3,$

czyli że ciąg $\displaystyle\{e_n\}$ jest ograniczony.
Krok 3. Ponieważ ciąg $\displaystyle\{e_n\}$ jest rosnący i ograniczony, więc korzystając z twiedzenia 4.15., wnioskujemy, że jest on zbieżny.

(Ad (2)) [Dowód nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle x_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1}$ oraz $\displaystyle y_n=\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^n.$ Zauważmy, że

$\begin{array}{lll} \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\cdot\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ e\cdot 1 \ =\ e,\\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} y_n & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}\cdot\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{-1} \ =\ e\cdot 1 \ =\ e. \end{array}$

Niech $\displaystyle\{a_n\}$ będzie dowolnym ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty.$ W celu udowodnienia naszego twierdzenia skorzystamy z twierdzenia 3.25.(5). W tym celu weźmy dowolny podciąg $\displaystyle\{a_{n_k}\}$ ciągu $\displaystyle\{a_n\}.$

Wybierzmy z kolei podciąg $\displaystyle\big\{a_{n_{k_l}}\big\}$ ciągu $\displaystyle\{a_{n_k}\},$ który jest monotonicznie rosnący do $+\infty$ oraz taki, że

$\forall l\in\mathbb{N}:\ l \ <\ a_{n_{k_l}} \quad\$ oraz $\quad a_{n_{k_l}}+1 \ \le\ a_{n_{k_{l+1}}}$

Dla każdego $l\in\mathbb{N}$ wyraz $a_{n_{k_l}}$ jest zawarty w pewnym przedziale $\displaystyle [N_l,N_l+1)$ o końcach naturalnych (przy czym ciąg $\displaystyle\{N_l\}_l$ jest silnie rosnący). Korzystając z monotoniczności funkcji potęgowej oraz funkcji wykładniczej (o podstawie większej od $1$ ), mamy

$\begin{array} {ccccccccc} \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{N_l+1}\bigg)^{N_l} & \le &\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{N_l} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{a_{n_{k_l}}} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{N_l+1} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{N_l}\bigg)^{N_l+1} \\ \downarrow & & & & & & & & \downarrow\\ e & & & & & & & & e \end{array}$

gdzie zbieżności ciągów $\displaystyle\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{N_l+1}\bigg)^{N_l}\bigg\}_{l\in\mathbb{N}}$ i $\displaystyle\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{N_l}\bigg)^{N_l+1}\bigg\}_{l\in\mathbb{N}}$ do liczby $e$ wynikają z faktów, iż są to podciągi ciągów $\displaystyle\{x_n\}$
i $\displaystyle\{y_n\}$ mających granicę $e.$ Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenia 4.11.), wnioskujemy, że $\displaystyle\lim_{l\rightarrow+\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{a_{n_{k_l}}}=e.$

Ponieważ wystartowaliśmy od dowolnego podciągu $\displaystyle\{a_{n_k}\}$ ciągu $\displaystyle\{a_n\},$ zatem korzystając z twierdzenia 3.25.(5), dostajemy, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n}=e.$

Kolejne twierdzenie będzie przydatne przy wyznaczaniu pewnych granic ciągów. Jego dowód jak i zastosowania pozostawione są na ćwiczenia (patrz zadanie 5.6.).

Twierdzenie 5.3.

Jeśli $\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$ jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy $\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>0$ ), to
(1) jeśli $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a<1,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0$ ;
(2) jeśli $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a>1,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty.$

[Edytuj]

Arytmetyka granic niewłaściwych

Analogicznie do twierdzeń o "arytmetyce" granic (twierdzenie 4.9.), można sformułować cały szereg twierdzeń dotyczący "arytmetyki" granic niewłaściwych. Poniższe twierdzenie zbiera informacje dotyczące granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów, gdy przynajmniej jeden z ciągów ma granicę niewłaściwą. Podamy dowód jednego z poniższych punktów. Pozostałe dowody można zrobić analogicznie.

Twierdzenie 5.4. [O "arytmetyce" granic niewłaściwych]

(1) $a+\infty=+\infty,$ dla $-\infty<a\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty,$ gdzie $-\infty<a\le+\infty,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=+\infty.$

(2) $a-\infty=-\infty$ dla $-\infty\le a<+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty,$ gdzie $-\infty\le a<+\infty,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=-\infty.$

(3) $a\cdot(\pm\infty)=\pm\infty$ dla $0<a\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=\pm\infty,$ gdzie $0<a\le+\infty,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=\pm\infty.$

(4) $a\cdot(\pm\infty)=\mp\infty$ dla $-\infty\le a<0,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=\pm\infty,$ gdzie $-\infty\le a<0,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=\mp\infty.$

(5) $\displaystyle\frac{a}{\pm\infty}=0$ dla $a\in\mathbb{R},$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\mathbb{R}$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=\pm\infty$ oraz $b_n\ne 0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=0.$

(6a) $\displaystyle\frac{a}{0^+}=+\infty$ dla $0<a\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0,$ gdzie $0<a\le+\infty$ oraz $b_n>0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty.$

(6b) $\displaystyle\frac{a}{0^-}=-\infty$ dla $0<a\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0,$ gdzie $0<a\le+\infty$ oraz $b_n<0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty.$

(7a) $\displaystyle\frac{a}{0^+}=-\infty$ dla $-\infty\le a<0,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0,$ gdzie $-\infty\le a<0$ oraz $b_n>0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty.$

(7a) $\displaystyle\frac{a}{0^-}=+\infty$ dla $-\infty\le a<0,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0,$ gdzie $-\infty\le a<0$ oraz $b_n<0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty.$

(8a) $a^{+\infty}=0$ dla $0^+\le a<1,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty,$ gdzie $0\le a<1$ oraz $a_n>0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=0.$

(8b) $a^{-\infty}=+\infty$ dla $0^+\le a<1,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=-\infty,$ gdzie $0\le a<1$ oraz $a_n>0$ dla $n\in\mathbb{N},$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=+\infty.$

(9a) $a^{-\infty}=0$ dla $1<a\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=-\infty,$ gdzie $1<a\le+\infty,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=0.$

(9b) $a^{+\infty}=+\infty$ dla $1<a\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty,$ gdzie $1<a\le+\infty,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=+\infty.$

(10) $\displaystyle\infty^b=0$ dla $-\infty\le b<0,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b,$ gdzie $-\infty\le b<0,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=0.$

(11) $\displaystyle\infty^b=+\infty$ dla $0<b\le+\infty,$ to znaczy
jeśli $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ są ciągami liczbowymi takimi, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b,$ gdzie $0<b\le+\infty,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=+\infty.$

Dowód 5.4.

(Ad (1)) Załóżmy, że

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ a,\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n \ =\ b,\quad -\infty<a\le +\infty.$

Ustalmy dowolne $M\in\mathbb{R}.$ Ponieważ $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a$ (gdzie $-\infty<a\le +\infty$ ), więc ciąg $\displaystyle\{a_n\}$ jest ograniczony od dołu, to znaczy

$\exists \overline{M}\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge \overline{M}.$

Ponieważ $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty,$ więc

$\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M-\overline{M}.$

Zatem dla dowolnego $n\ge N$ mamy

$a_n+b_n \ \ge\ \overline{M}+(M-\overline{M}) \ =\ M.$

Ponieważ $M\in\mathbb{R}$ było wybrane dowolnie, więc pokazaliśmy, że

$\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n+b_n\ge M,$

zatem udowodniliśmy, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n+b_n)=+\infty.$

Uwaga 5.5. [Symbole nieoznaczone]

Dla pewnych działań na ciągach nie można z góry przewidzieć, jaka jest granica "wynikowa" mimo, że znane są granice poszczególnych ciągów. Dla przykładu rozważmy dwa ciągi $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\}$ rozbieżne do $+\infty$ i zbadajmy ich różnicę $\displaystyle\{a_n-b_n\}.$ Okazuje się, że w zależności od konkretnych ciągów $\displaystyle\{a_n\}$ i $\displaystyle\{b_n\},$ ich różnica może mieć granicę właściwą lub niewłaściwą lub nie mieć granicy. Mówimy wówczas, że $\displaystyle\infty-\infty$ jest symbolem nieoznaczonym. Oznacza to w szczególności, że dla takiego symbolu nie możemy sformułować twierdzenia analogicznego do twierdzenia 5.4..
Mamy siedem takich symboli nieoznaczonych:

$\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 1^{\infty},\quad \infty^0,\quad 0^0.$

Przykład 5.6.

Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przykłady ciągów mających granicę, dających w wyniku wykonania wskazanych działań ciągi o różnych granicach $g\in\overline{\mathbb{R}}$ lub bez granicy.

$\begin{array}{lll}\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}b_n=+\infty \quad & \displaystyle\infty-\infty \\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad &\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=0\\ \displaystyle a_n=n^2 \quad &\displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=+\infty\\ \displaystyle a_n=n \quad &\displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=-\infty\\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=(n-a)\quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=a \quad (\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R})\\ \displaystyle a_n=n+(-1)^n \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n-b_n\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array}$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty\ & \displaystyle 0\cdot\infty\\ \displaystyle a_n=\frac{-1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=-\infty\\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=+\infty\\ \displaystyle a_n=\frac{a}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n\cdot b_n)=a \quad(\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R})\\ \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n\cdot b_n\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array}$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle \frac{0}{0}\\ \displaystyle a_n=\frac{-1}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}\quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=-\infty\\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}\quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty\\ \displaystyle a_n=\frac{a}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n}\displaystyle \quad & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a\in\mathbb{R})\\ \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}\quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \bigg\{\frac{a_n}{b_n}\bigg\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array}$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty \quad & \displaystyle \frac{\infty}{\infty}\\ \displaystyle a_n=n^2 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty\\ \displaystyle a_n=an \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie} a\in\mathbb{R})\\ \displaystyle a_n=n+\frac{(-1)^nn}{2} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \bigg\{\frac{a_n}{b_n}\bigg\}\quad \textrm{nie ma granicy} \end{array}$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=1 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty \quad & \displaystyle 1^{\infty}\\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n^2 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=+\infty\\ \displaystyle a_n=1 \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=1\\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=e\\ \displaystyle a_n=1+\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=n\ln a \quad & \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a>1)\\ \displaystyle a_n=1+\frac{(-1)^n}{n} \quad & \displaystyle b_n=n \quad & \displaystyle \{a_n^{b_n}\} \quad \textrm{ nie ma granicy} \end{array}$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\infty \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle \infty^0\\ \displaystyle a_n=2^{n^2} \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=+\infty\\ \displaystyle a_n=n \quad & \displaystyle b_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=1\\ \displaystyle a_n=\frac{1}{a^n} \quad & \displaystyle b_n=\frac{-1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=a \quad (\textrm{gdzie } a\in(0,1))\\ \displaystyle a_n=a^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}= a \quad (\textrm{gdzie } a>1)\\ \displaystyle a_n=(3+(-1)^n)^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \{a_n^{b_n}\} \quad \textrm{nie ma granicy} \end{array}$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0 \quad & \displaystyle 0^0\\ \displaystyle a_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=1\\ \displaystyle a_n=0 \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}=0\\ \displaystyle a_n=a^n \quad & \displaystyle b_n=\frac{1}{n} \quad & \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}= a \quad (\textrm{gdzie } a\in (0,1)) \end{array}$

[Edytuj]

Granice specjalne

Rysunek do dowodu lematu 5.7.

W następnym lemacie podamy pewne nierówności liczbowe przydatne w następnym twierdzeniu.

Lemat 5.7.

Zachodzą następujące nierówności liczbowe:
(1) $\displaystyle\forall x\ge 0:\ \sin x\le x,$
(2) $\displaystyle \forall 0<|x|<\frac{\pi}{2}:\ \bigg|\frac{\sin x}{x}-1\bigg|<x^2.$

Dowód 5.7. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Wobec rysunku znajdującego się obok mamy następujące nierówności między polami:

$P_{\triangle OAB} \ <\ P_{\vartriangleleft OAB} \ <\ P_{\triangle OAC},$

gdzie:
$P_{\triangle OAB}$ oznacza pole trójkąta $OAB,$
$P_{\vartriangleleft OAB}$ oznacza pole wycinka koła $OAB,$
$P_{\triangle OAC}$ oznacza pole trójkąta $OAC.$

Podstawiając wzory na poszczególne pola, dostajemy:

$\frac{1\cdot \sin x}{2} \ <\ \frac{x}{2\pi}\cdot\pi \ <\ \frac{1\cdot\mathrm{tg}\, x}{2}.$

Zatem

$\sin x \ <\ x \ <\ \mathrm{tg}\, x \quad\textrm{dla}\ 0<x<\frac{\pi}{2}.$

Zatem dla $\displaystyle x\in \bigg(0,\frac{\pi}{2}\bigg)$ nierówność (1) jest udowodniona. Zauważmy, że dla $x=0$ zachodzi równość, natomiast dla $x>1$ nierówność jest oczywista, gdyż $\displaystyle\sin x\le 1<x.$ Zatem pokazaliśmy nierówność (1) dla dowolnego $x\ge 0.$
(Ad (2)) Powróćmy raz jeszcze do wyprowadzonych w pierwszej części nierówności

$\sin x \ <\ x \ <\ \mathrm{tg}\, x \quad\textrm{dla}\ 0<x<\frac{\pi}{2}.$

Pierwsza z powyższych nierówności implikuje, że

$0 \ \le\ 1-\frac{\sin x}{x}.$

Druga z powyższych nierówności implikuje, że

$x\cos x \ \le\ \frac{\sin x}{\cos x}\cos x$

$x\cos x\le \sin x$

$1-\frac{\sin x}{x} \ \le\ 1-\cos x.$

Zatem łącząc dwie otrzymane nierówności, dostajemy

$0 \ \le\ 1-\frac{\sin x}{x} \ \le\ 1-\cos x,$

przy czym

$1-\cos x \ =\ 2\sin^2\frac{x}{2} \ <\ 2\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^2 \ <\ x^2$

(gdzie wykorzystaliśmy udowodnioną już nierówność $\displaystyle\sin x<x$ ). Zatem ostatecznie

$0 \ \le\ 1-\frac{\sin x}{x} \ <\ x^2,$

skąd dostajemy dowodzoną nierówność

$\bigg|\frac{\sin x}{x}-1\bigg| \ <\ x^2 \quad\textrm{dla}\ 0<|x|<\frac{\pi}{2}.$

Podamy teraz granice pewnych funkcji specjalnych. Znajomość tych granic będzie przydatna do rozwiązywania zadań.

Twierdzenie 5.8. [Granice specjalne]

(1)

$\displaystyle\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n^p= \left\{ \begin{array} {ll} +\infty &\quad p>0,\\ 1 &\quad p=0,\\ 0 &\quad p<0; \end{array} \right.$

(2) jeśli $a>1$ oraz $\displaystyle\alpha\ge 0,$ to $\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{\alpha}}{a^n}=0$ ;

Wykres ciągu $\bigg\{\frac{1}{\sqrt{n}}\bigg\}$

Wykres ciągu $\bigg\{\frac{\sqrt{n}}{2^n}\bigg\}$

(3) jeśli $a\in\mathbb{R}$ to $\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^n}{n!}=0$ ;

(4) jeśli $a>0,$ to $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a}=1$ ;

Wykres ciągu $\bigg\{\frac{2^n}{n!}\bigg\}$

Wykres ciągu $\{\sqrt[n]{2}\}$

(5) $\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{n}=1$ ;

(6) jeśli $a>0,$ to $\displaystyle\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a^n= \left\{ \begin{array} {ll} \textrm{nie\ istnieje} &\quad a\le -1,\\ 0 &\quad |a|<1,\\ 1 &\quad a=1,\\ +\infty &\quad a>1. \end{array} \right.$

Wykres ciągu $\{\sqrt[n]{n}\}$

Wykres ciągu $\bigg\{\frac{1}{2^n}\bigg\}$

(7) $\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$ .

(8)

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin x_n}{x_n}=1,$ gdzie $\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}\setminus\{0\}$ jest dowolnym ciągiem takim, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0.$

Wykres ciągu $\{2^n\}$

Wykres ciągu $\bigg\{\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\bigg\}$

Dowód 5.8. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Gdy $p>0,$ to mamy do czynienia z symbolem $\displaystyle\infty^p$ (z $p>0$ ). Z twierdzenia 5.4. (11) wynika, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n^p=+\infty.$

Gdy $p=0,$ to ciąg jest stały oraz $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n^0=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1=1.$

Gdy $p<0,$ to mamy do czynienia z symbolem $\displaystyle\infty^p$ (z $p<0$ ). Z twierdzenia 5.4. (10) wynika, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n^p=0.$
(Ad (2)) Niech $\displaystyle c_n=\frac{n^{\alpha}}{a^n}$ dla $n\in\mathbb{N}.$ Liczymy

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)^{\alpha}a^n}{a^{n+1}n^{\alpha}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{\alpha}\cdot\frac{1}{a} \ =\ \frac{1}{a}.$

Ponieważ $a>1,$ więc $\displaystyle \frac{1}{a}<1.$ Korzystając z twierdzenia 5.3., wnioskujemy, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=0.$
(Ad (3)) Na początku policzmy granicę ciągu $\displaystyle\{c_n\},$ gdzie $\displaystyle c_n=\bigg|\frac{a^n}{n!}\bigg|$ (gdzie $a\in\mathbb{R}$ ). Policzmy

$\frac{c_{n+1}}{c_n} \ =\ \frac{|a|}{n+1} \ =\ |a|\cdot\frac{1}{n+1}.$

Z (1) wiemy, że ostatni ciąg dąży do $0,$ zatem $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=0.$ Korzystając z Twierdzenia twierdzenia 5.3., wnioskujemy, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=0.$ Z kolei korzystając z twierdzenia 4.9. (7), wnioskujemy, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^n}{n!}=0.$
(Ad (4)) Przypadek $1^o.$ Gdy $0<a\le 1.$

Wówczas $\displaystyle\{\sqrt[n]{a}\}$ jest ciągiem niemalejącym i ograniczonym, zatem zbieżnym (z twierdzenia 4.15.) oraz

$g \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a} \ =\ \sup_{n\in\mathbb{N}}\sqrt[n]{a} \ \le\ 1$

(patrz twierdzenie 4.14.). Zatem $\displaystyle\sqrt[n]{a}\le g,$ a więc

$\forall n\in\mathbb{N}:\ a\le g^n.$

Pokażemy, że $g=1.$ Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $g<1.$ Wówczas przechodząc do granicy w powyższej nierówności dostajemy

$a \ \le\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} g^n \ =\ 0,$

sprzeczność z założeniem, że $a>0.$ Zatem $g=1$ i $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a}=1.$
Przypadek $1^o.$ Gdy $a>1.$

Wówczas $\displaystyle 0<\frac{1}{a}<1,$ więc z udowodnionej już części dostajemy, że

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{a}} \ =\ 1,$

skąd wynika, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a}=1.$

(Ad (5)) Ustalmy dowolny $\displaystyle\varepsilon>0.$ Oznaczmy $\displaystyle\eta\ \stackrel{df}{=}\ \sqrt{1+\varepsilon}>1.$ Ponieważ

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+1}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ 1,$

zatem

$\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ \frac{n+1}{n}<\eta.$

Korzystając z (4), wiemy, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{N_1}=1,$ zatem

$\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall N\ge N_2:\ \sqrt[n]{N_1}<\eta.$

Niech $N\ \stackrel{df}{=}\ \max\{N_1,N_2\}.$ Wówczas dla dowolnego $n\ge N$ mamy

$1 \ \le\ \sqrt[n]{n} \ =\ \sqrt[n]{N_1}\sqrt[n]{\frac{N_1+1}{N_1}\cdot\frac{N_1+2}{N_1+1}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n-1}} \ <\ \eta\cdot\sqrt[n]{\eta^{n-N_1}} \ <\ \eta^2 \ =\ 1+\varepsilon,$

czyli

$\forall n\ge N:\ |\sqrt[n]{n}-1| \ <\ \varepsilon.$

Ponieważ $\displaystyle\varepsilon>0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |\sqrt[n]{n}-1| \ <\ \varepsilon,$

zatem $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{n}=1.$
(Ad (6)) Gdy $|a|<1,$ to mamy znany nam ciąg geometryczny zbieżny do zera (patrz przykład 3.22.).

Gdy $a=1,$ to ciąg $\displaystyle\{1^n\}$ jest ciągiem stałym, którego wszystkie wartości wynoszą $1,$ zatem $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a^n=1.$

Gdy $a>1,$ to dla dowolnej liczby $M>0,$ ustalając $N>log_aM$ dla każdego $n\ge N,$ mamy

$a^n \ \ge\ a^N \ \ge\ a^{\log_aM} \ =\ M,$

zatem pokazaliśmy, że

$\forall M>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a^n\ge M,$

co oznacza, że $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a^n=+\infty.$

Gdy $a\le -1,$ to zauważmy, że $a^{2k}\ge 1$ oraz $a^{2k-1}\le -1$ (dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$ ). Zatem ciąg $\displaystyle\{a^n\}$ nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej).
(Ad (7)) Wykorzystamy tu lemat 5.7. Podstawiając $x=\frac{1}{n}$ w nierówności z lematu, mamy

$\forall n\in\mathbb{N}:\ \bigg|\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}-1\bigg| \ <\ \frac{1}{n^2}.$

Ponieważ $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}=0,$ więc korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, mamy

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}-1\bigg) \ =\ 0,$

a zatem

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \ =\ 1,$

co należało dowieść.
(Ad (8)) Ponieważ $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0,$ więc od pewnego miejsca wyrazy ciągu $\displaystyle\{x_n\}$ są w przedziale $\displaystyle \bigg(\-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg),$ to znaczy

$\exists N\in\mathbb{N}:\ x_n\in \bigg(\-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg)\setminus\{0\}.$

Z lematu 5.7 wnioskujemy zatem, że

$\forall n\ge N:\ \bigg|\frac{\sin x_n}{x_n}-1\bigg| \ <\ x_n^2.$

Ponieważ mamy $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n^2=0,$ więc korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, mamy

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(\frac{\sin x_n}{x_n}-1\bigg) \ =\ 0,$

a zatem

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\sin x_n}{x_n} \ =\ 1,$

co należało dowieść.

[Edytuj]

Granica górna i granica dolna

Ciąg mający trzy punkty skupienia

Jak już wiemy nie wszystkie ciągi mają granicę. Na przykład ciągi $a_n=(-1)^n$ i $b_n=(-1)^nn$ nie mają granic nawet niewłaściwych. Zauważmy jednak, że z tych ciągów można wybrać podciągi, które mają granice (właściwe lub niewłaściwe) (na przykład $\{a_{2n}\}$ i $\{b_{2n}\}$ ).

Co więcej, z poprzedniego wykładu (patrz wniosek 4.18.) wiemy, że z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą). Takie $a\in\overline{\mathbb{R}}$ , które są granicami jakichś podciągów danego ciągu będziemy nazywać punktami skupienia wyjściowego ciągu.

Postawmy następującą definicję. Definicja 5.9.

Niech $\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$ będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że $a\in\overline{\mathbb{R}}$ jest punktem skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\},$ jeśli istnieje podciąg $\displaystyle\{a_{n_k}\}$ taki, że $\displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} a_{n_k}=a.$
(2) Granicą dolną ciągu $\displaystyle\{a_n\}$ nazywamy

$\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ \mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \inf S,$

gdzie $S\subseteq\overline{\mathbb{R}}$ jest zbiorem punktów skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\}.$
(3) Granicą górną ciągu $\displaystyle\{a_n\}$ nazywamy

$\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ \stackrel{df}{=}\ \sup S,$

gdzie $S\subseteq\overline{\mathbb{R}}$ jest zbiorem punktów skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\}.$

Wykres ciągu $\bigg\{(2+(-1)^n)\cdotn\cdot \sin\frac{1}{n}\bigg\}$

{{przyklad|5.10.||

Obliczyć granicę dolną i górną dla ciągu $\displaystyle\{a_n\},$ gdzie $\displaystyle a_n=(2+(-1)^n)n\sin\frac{1}{n}.$

Ponieważ $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\sin\frac{1}{n}=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$ (patrz twierdzenie 5.8. (7)), $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_{2n}=3$ oraz $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_{2n+1}=1,$ zatem jedynymi punktami skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\}$ są liczby $1$ i $3.$ Zatem

$\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ 1, \qquad \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ 3.$

Dla ciągów zbieżnych zarówno granica górna jak i granica dolna są równe granicy. Okazuje się, że jest również na odwrót, to znaczy, jeśli policzymy granicę dolną i granicę górną i okaże się, że są sobie równe, to ten ciąg jest zbieżny. Dokładniej, zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 5.11.

Jeśli $\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$ jest ciągiem liczbowym, to $\displaystyle\{a_n\}$ ma granicę $g\in\overline{\mathbb{R}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=g.$

Dowód 5.11. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}$ będzie ciągiem liczbowym.
" $\displaystyle\Longrightarrow$ ":
Jeśli $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}},$ to dla dowolnego podciągu $\displaystyle\big\{a_{n_k}\big\}$ ciągu $\displaystyle\{a_n\}$ także $\displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} a_{n_k}=g$ (patrz twierdzenie 3.25.). Zatem jedynym punktem skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\}$ jest $g$ oraz

$\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ \mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ g,$

co należało pokazać.
" $\displaystyle\Longleftarrow$ ":
Załóżmy teraz, że $\displaystyle\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=g\in\overline{\mathbb{R}}.$ Oznacza to w szczególności, że $g$ jest jedynym punktem skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\}.$
Przypadek $1^o.$ Załóżmy, że $g\in\mathbb{R}.$
Należy pokazać, że

$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon).$

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

$\exists \varepsilon>0\ \forall N\in\mathbb{N}\ \exists n\ge N:\ a_n\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon).$

Możemy wówczas skonstruować podciąg $\displaystyle\big\{a_{n_k}\big\}$ ciągu $\displaystyle\{a_n\},$ którego elementy nie leżą w przedziale $\displaystyle (g-\varepsilon,g+\varepsilon),$ w następujący sposób:

$\aligned \exists n_1\ge 1 & & a_{n_1}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon),\\ \exists n_2> n_1 & & a_{n_2}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon),\\ \exists n_3> n_2 & & a_{n_3}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon),\\ \ldots && \endaligned$

Z Wniosku wniosek 4.18. wiemy, że z tego ciągu można wybrać podciąg mający granicę $\displaystyle\overline{g}$ (właściwą lub niewłaściwą). Oczywiście $\displaystyle\overline{g}\not\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon)$ , czyli $\displaystyle\overline{g}\ne g.$ Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z faktem, że $g$ jest jedynym punktem skupienia ciągu $\displaystyle\{a_n\}.$

Przypadek $2^o$ i $3^o.$ Załóżmy, że $g=+\infty$ lub $g=-\infty.$
Dowód w tych dwóch przypadkach jest podobny do dowodu przypadku $1^o$ i pozostawiamy go jako ćwiczenie.