Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

From Studia Informatyczne

Ciągi liczbowe



Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w \mathbb{R}, twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w \mathbb{R} (to znaczy w zbiorze liczbowym \displaystyle\mathbb{R} traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}.

Ponieważ w zbiorze liczbowym \displaystyle\mathbb{R} mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest malejący, jeśli \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge a_{n+1}.


(2) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest silnie malejący, jeśli \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>   a_{n+1}.

(3) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest rosnący, jeśli \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le a_{n+1}.

(4) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest silnie rosnący, jeśli \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n< a_{n+1}.

(5) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.



Ciąg malejący


Ciąg silnie malejący


Ciąg rosnący


Ciąg silnie rosnący


Ciąg zbieżny do granicy g

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy \displaystyle\mathbb{R} jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} jest ograniczony, jeśli \displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le M.
(2) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} jest ograniczony z dołu, jeśli \displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge M.
(3) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R} jest ograniczony z góry, jeśli \displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le M.

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w \displaystyle\mathbb{R}]

Jeśli \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest ciągiem to \displaystyle\{a_n\} jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle\{a_n\} jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w \displaystyle\mathbb{R} mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu \displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}, jeśli

\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-g|<\varepsilon
i piszemy

\begin{array}{lll} \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g \quad& \textrm{lub} & x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g \quad\textrm{lub}\\\\ x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} g \quad&\textrm{lub} & x_n\longrightarrow g \end{array}
(2) Mówimy, że ciąg \displaystyle\{x_n\} jest zbieżny, jeśli

\exists g\in \mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} ma granicę niewłaściwą +\infty, jeśli

\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\ge M.

Mówimy wówczas, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest rozbieżny do +\infty i piszemy \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty.
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} ma granicę niewłaściwą -\infty, jeśli

\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \ a_n\le M.

Mówimy wówczas, że ciąg \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest rozbieżny do -\infty i piszemy \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=-\infty.



Ciąg rozbieżny do +\infty


Ciąg rozbieżny do -\infty

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element \displaystyle\mathbb{R} (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do +\infty lub -\infty. O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R} są ciągami takimi, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 oraz \displaystyle\{b_n\} jest ograniczony, to \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.

Dowód 4.7.

Niech M>0 będzie stałą ograniczającą ciąg \displaystyle\{b_n\} (która istnieje z założenia), to znaczy

\forall n\in \mathbb{N}:\ |b_n|\le M.

Ustalmy \displaystyle\varepsilon>0. Ponieważ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0, więc

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}.

Zatem dla n\ge N mamy

|a_nb_n| \le\ \frac{\varepsilon}{M}\cdot M \ =\ \varepsilon.

Ponieważ \displaystyle\varepsilon>0 było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ |a_nb_n|\le\varepsilon,

czyli udowodniliśmy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.

image:End_of_proof.gif

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}.

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy \displaystyle a_n=\frac{1}{n} oraz \displaystyle b_n=\sin n dla n\in\mathbb{N}, to \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0 oraz ciąg \{b_n\} jest ograniczony, gdyż

\forall n\in\mathbb{N}:\ |\sin n| \ \le\ 1.

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R} są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz c\in\mathbb{R}, to
(1) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n\pm b_n) =\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n;
(2) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (c\cdot a_n) =c\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n;
(3) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n) =\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg);
(4) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n} (o ile b_n\ne 0 dla n\in\mathbb{N} oraz \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0);
(5) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n} =\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)^{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n} (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|;
(7) \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad \Longleftrightarrow\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a oraz \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b. Pokażemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n+b_n)=a+b.
W tym celu ustalmy \displaystyle\varepsilon>0. Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów \displaystyle\{a_n\} i \displaystyle\{b_n\} wiemy, że

\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}

oraz

\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}.

Niech N=\max\{N_1,N_2\}. Wówczas dla dowolnego n\ge N mamy:

\big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \le |a_n-a|+|b_n-b| \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon.

Ponieważ \displaystyle\varepsilon>0 było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:\ \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \ <\ \varepsilon,

czyli \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=a+b.
Analogicznie pokazuje się, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n-b_n)=a-b.
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

image:End_of_proof.gif

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (-1)^n\frac{2n+1}{3n^2};
(2) \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}.

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech \displaystyle a_n=(-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}. Policzmy najpierw granice modułów:

\aligned  \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n| & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n+1}{3n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2n}{3n^2}+\frac{1}{3n^2}\bigg) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigg)\\ & = & \frac{2}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}+ \frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 0 \ =\ 0.  \endaligned

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0, więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.

(Ad (2)) Ponieważ

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ 2

oraz

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^n} \ =\ 0

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}} \ =\ 2^0 \ =\ 1.



Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu \displaystyle\{b_n\} leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów \displaystyle\{a_n\} i \displaystyle\{b_n\} (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę g (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg \displaystyle\{b_n\} ma tę samą granicę g.

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli \displaystyle\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R} są ciągami takimi, że

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}} \quad\textrm{oraz}\quad
\exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n,
to
\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy g\in\mathbb{R}. Załóżmy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g oraz \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n.

Należy pokazać, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g. W tym celu ustalmy dowolne \displaystyle\varepsilon>0. Z definicji granicy ciągu mamy

\aligned  && \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|<\varepsilon, \quad \textrm{czyli} \quad g-\varepsilon<a_n < g+\varepsilon,\  &&\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g|<\varepsilon, \quad  \textrm{czyli} \quad g-\varepsilon<c_n < g+\varepsilon.\  \endaligned

Niech N_3=\max\{N,N_1,N_2\}. Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

\forall n\ge N_3:\ g-\varepsilon\ <\ a_n \ \le\ b_n\ \le\ c_n\ <\ g+\varepsilon,
zatem
\forall n\ge N_3:\ |b_n-g|<\varepsilon,

co dowodzi, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.

image:End_of_proof.gif

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.

Niech \displaystyle x_n=[2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.

Zauważmy, że x_n=y_n b_n, gdzie y_n =2+(-1)^n oraz \displaystyle b_n=\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}. W celu obliczenia \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n zauważmy, że

\displaystyle\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4}  \le  \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{3n^2+2n^2}{4n^4}
\displaystyle\frac{3n^2}{8n^4} \le  \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{5n^2}{4n^4}
\displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} \le  \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}

granica ciągu \displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} oraz \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2} wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n} \ =\ \frac{3}{8}\cdot 0\cdot  0 \ =\ 0

i podobnie \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}=0.

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0.

Odnośnie ciągu \displaystyle\{y_n\} zauważmy, że

\forall n\in\mathbb{N}:\ 1 \ \le\ y_n \ \le\ 3,

a zatem ciąg \displaystyle\{y_n\} jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0.

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli \{a_n\} i \{b_n\} są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu \{b_n\} są większe lub równe od wyrazów ciągu \{a_n\}, to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu \{b_n\} jest silnie większa od granicy ciągu \{a_n\}, to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów \{a_n\} i \{b_n\}, przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli \displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R} są ciągami takimi, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}} oraz \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}, to prawdziwe są implikacje:

(1) \displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[b=+\infty\bigg];

(2) \displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a=-\infty\bigg];

(3) \displaystyle\bigg[\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a\le b\bigg];

(4) \displaystyle\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n< b_n\bigg].

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty oraz \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.
Ustalmy dowolne M>0. Ponieważ \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty, więc

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\ge M.

Zatem dla dowolnego n\ge N mamy

b_n \ \ge\ a_n \ \ge\ M.

Ponieważ M>0 było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall M>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ b_n\ge M,

a to oznacza, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty.
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}} oraz \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.
"Przypadek 1^o." Niech a,b\in\mathbb{R}.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że a>b. Ustalmy \displaystyle\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0. Z definicji granicy ciągu mamy

\aligned  && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2},  \endaligned

i w szczególności

\aligned  && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2},  \endaligned

Niech k=\max \{N_1,N_2\}. Wówczas dla wyrazów a_k i b_k mamy

a_k \ >\ \frac{a+b}{2} \ >\ b_k,

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że a\le b.

"Przypadek 2^o." a=+\infty lub b=-\infty. Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek 3^o." a=-\infty lub b=+\infty. Wówczas zawsze zachodzi nierówność a\le b.

(Ad (4)) "Przypadek 1^o." Niech a,b\in\mathbb{R}. Ustalmy \displaystyle \varepsilon=\frac{b-a}{2}. Ponieważ b>a, więc \varepsilon>0. Z definicji granicy ciągu mamy

\aligned  && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}.  \endaligned

Niech N=\max\{N_1,N_2\}. W szczególności mamy

\forall n\ge N:\ a_n \ <\ \frac{a+b}{2} \ <\ b_n,

co należało pokazać.

"Przypadek 2^o." a=-\infty. Niech \displaystyle\varepsilon=1 i M=b-1. Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

\aligned  && \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\ && \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2: |b_n-b|<1.  \endaligned

Niech N=\max\{N_1,N_2\}. W szczególności mamy

\forall n\ge N:\ a_n \ <\ b-1 \ <\ b_n,

co należało pokazać.

"Przypadek 3^o." b=+\infty. Dowód jest analogiczny jak w przypadku 2^o.

image:End_of_proof.gif

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest ciągiem, to
(1) jeśli \displaystyle\{a_n\} jest rosnący, to \displaystyle\{a_n\} ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\};

(2) jeśli \displaystyle\{a_n\} jest malejący, to \displaystyle\{a_n\} ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}.


Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest ciągiem rosnącym oraz niech

g\ \stackrel{df}{=}\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem \displaystyle\mathbb{R} lub wynosi +\infty, gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że g jest granicą ciągu \displaystyle\{a_n\}.
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek 1^o. Niech g\in\mathbb{R}. Ustalmy dowolne \displaystyle\varepsilon>0. Z własności supremum mamy, że

\exists N\in\mathbb{N}:\ g-\varepsilon<a_N

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów N istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg \displaystyle\{a_n\} jest rosnący oraz \displaystyle\forall n\in N:\ a_n\le g (z definicji supremum), więc

\forall n\ge N:\ g-\varepsilon<a_N\le a_n\le g.

Ponieważ \displaystyle\varepsilon>0 był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|\ <\ \varepsilon.

zatem pokazaliśmy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.
Przypadek 2^o. Niech g=+\infty. Ustalmy M\in\mathbb{R}. Z definicji supremum mamy, że

\exists N\in\mathbb{N}: M<a_N

(bo w przeciwnym razie byłoby g\le M, sprzeczność).

Ponieważ ciąg \displaystyle\{a_n\} jest rosnący, więc

\forall n\ge N:\ M<a_N\le a_n.

Ponieważ M\in\mathbb{R} było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ M\ <\ a_n.

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

image:End_of_proof.gif


Ciąg rosnący i ograniczony z góry

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg \displaystyle\{a_n\} jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz


\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \ =\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}.

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc


\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\} \ <\ +\infty,

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

image:End_of_proof.gif
Karl Weierstrass (1815-1897)Zobacz biografię
Enlarge
Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu \displaystyle\{a_n\} zdefiniujmy następujący zbiór:

Z \ \stackrel{df}{=}\  \bigg\{ n\in\mathbb{N}:\ \forall m\in\mathbb{N} \ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big] \bigg\}.

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli \displaystyle\# Z=\infty (to znaczy zbiór Z jest nieskończony), to możemy z ciągu \displaystyle\{a_n\} wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu \displaystyle\{a_n\}, których indeksy należą do zbioru Z).
Jeśli \displaystyle\# Z<\infty (to znaczy zbiór Z jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech n_1\in\mathbb{N} będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru Z. Ponieważ n_1\not\in Z, więc

\exists n_2>n_1:\ a_{n_2}\le a_{n_1}.

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy n_1<\ldots <n_k, to z definicji zbioru Z i faktu, że n_k\not\in Z wynika, że

\exists n_{k+1}>n_k:\ a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}.

Skonstruowany w ten sposób podciąg \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} jest malejący.

image:End_of_proof.gif


Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech \displaystyle\{a_n\}\in\mathbb{R} będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}. Oczywiście podciąg \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg \displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} jest zbieżny.

image:End_of_proof.gif

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu \displaystyle\{a_n\} można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest +\infty lub -\infty.

image:End_of_proof.gif