Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne

From Studia Informatyczne

Spis treści

Funkcje elementarne

Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy podstawowe własności funkcji odwrotnych.

Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne

Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji \displaystyle f: X \mapsto f(X) jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na \displaystyle f(X) o wartościach w zbiorze \displaystyle X.

Definicja 2.1.

Niech \displaystyle A\subset X i niech \displaystyle f:X\mapsto Y. Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji \displaystyle f do zbioru \displaystyle A nazywamy funkcję \displaystyle f_{|A} : A\mapsto Y równą funkcji \displaystyle f na zbiorze \displaystyle A, tzn. \displaystyle \forall x\in A : f_{|A} (x)=f(x).

Definicja 2.2.

Niech \displaystyle f:X\mapsto Y będzie funkcją. Mówimy, że funkcja \displaystyle g:Y\mapsto X jest funkcją odwrotną do funkcji \displaystyle f, jeśli dla dowolnego elementu \displaystyle x\in X zachodzi równość \displaystyle g(f(x))=x i dla dowolnego elementu \displaystyle y\in Y zachodzi równość \displaystyle f(g(y))=y.

Funkcję odwrotną do funkcji \displaystyle f:X\mapsto Y będziemy oznaczać często symbolem \displaystyle f^{-1}: Y\mapsto X, o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} rozumiemy funkcję \displaystyle \frac{1}{f}: X\ni x\mapsto \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{R}.

Uwaga 2.3.

Niech \displaystyle f, g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli \displaystyle g jest funkcją odwrotną do \displaystyle f, to w prostokątnym układzie współrzędnych \displaystyle XOY wykres funkcji \displaystyle g jest obrazem wykresu funkcji \displaystyle f w symetrii osiowej względem prostej \displaystyle y=x.

Definicja 2.4.

Mówimy, że funkcja \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale \displaystyle (a,b), jeśli

\displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x<y \implies f(x)\leq f(y)

(odpowiednio: \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x<y \implies f(x)< f(y)).

Definicja 2.5.

Mówimy, że funkcja \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale \displaystyle (a,b), jeśli

\displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x<y \implies f(x)\geq f(y)

(odpowiednio: \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x<y \implies f(x)>f(y)).

Definicja 2.6.

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Przykład 2.7.

Funkcja \displaystyle x\mapsto \mathrm{tg}\, x rośnie w każdym z przedziałów postaci \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\bigg) nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2},  \frac{\pi}{2}\bigg)\cup\bigg(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\bigg). Weźmy bowiem np. argumenty \displaystyle  x=\frac{\pi}{4}, \displaystyle  y=\frac{3\pi}{4}. Wówczas \displaystyle x<y, ale \displaystyle \mathrm{tg}\, x=1>-1=\mathrm{tg}\, y.

Uwaga 2.8.

Jeśli \displaystyle g: (c,d)\mapsto (a,b) jest funkcją odwrotną do funkcji \displaystyle f: (a,b)\mapsto (c,d), to

  • jeśli \displaystyle f jest rosnąca, to \displaystyle g jest także rosnąca;
  • jeśli \displaystyle f jest malejąca, to \displaystyle g jest również malejąca.

Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.

Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja 2.9.

Niech \displaystyle a,b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję \displaystyle x\mapsto ax+b nazywamy funkcją afiniczną.




Rysunek do definicji 2.9. i uwagi 2.10.


Rysunek do definicji 2.11. i uwagi 2.12.
Uwaga 2.10.
  • Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
  • Funkcja \displaystyle f(x)=ax+b jest ściśle rosnąca, gdy \displaystyle a>0 i ściśle malejąca, gdy \displaystyle a<0. Jest bijekcją zbioru \displaystyle \mathbb{R} na zbiór \displaystyle \mathbb{R}, gdy \displaystyle a\neq0.
  • Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
  • Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech \displaystyle a,b,c,d będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że \displaystyle ad-bc\neq 0. Funkcję \displaystyle  x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.
Uwaga 2.12.
  • Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
  • Wykresem funkcji homograficznej \displaystyle f jest prosta (jeśli \displaystyle f jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli \displaystyle f nie jest afiniczna).
  • Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
  • Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech \displaystyle a będzie stałą, niech \displaystyle n=0,1,2,3,... będzie liczbą

całkowitą nieujemną, a \displaystyle x - zmienną. Wyrażenie algebraiczne \displaystyle a x^n nazywamy jednomianem zmiennej \displaystyle x. Jeśli \displaystyle a\neq 0,to liczbę \displaystyle n nazywamy stopniem jednomianu \displaystyle a x^n. Sumę \displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x_n skończonej liczby jednomianów zmiennej \displaystyle x nazywamy wielomianem zmiennej \displaystyle x. Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.


Rysunek do definicji 2.13.


Rysunek do definicji 2.13.

Definicja 2.14.

Funkcję \displaystyle x\mapsto w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x_n nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.
  • Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
  • Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu \displaystyle x\mapsto (1+x)^n za pomocą funkcji afinicznej \displaystyle x\mapsto 1+nx.

Jakob Bernoulli (1654-1705)Zobacz biografię
Enlarge
Jakob Bernoulli (1654-1705)
Zobacz biografię
Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej \displaystyle n=0,1,2,3, ... i dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle x\geq -1 zachodzi nierówność

\displaystyle (1+x)^n\ \geq\1+nx,

przy czym dla \displaystyle n> 1 równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla \displaystyle x=0.

Dowód 2.16.

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla \displaystyle n=0 i \displaystyle n=1. Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle k\geq 1prawdziwa jest implikacja

\displaystyle \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^k\geq 1+kx\bigg] \implies \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x\bigg].

Mamy bowiem:

\displaystyle  \aligned (1+x)^{k+1}&=(1+x)(1+x)^k\\ &\geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^2 \\ &\geq 1+(1+k)x.\endaligned

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej \displaystyle n=0, \ 1,\ 2,\ 3,\ .... Zauważmy, że składnik \displaystyle x\mapsto kx^2 dla \displaystyle k\geq 1 zeruje się wyłącznie w punkcie \displaystyle x=0, stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla \displaystyle x=0 zachodzi równość w tej nierówności.

image:End_of_proof.gif


f(x)= \displaystyle(1+x)^n


f(x)= \displaystyle x^{\frac{1}{n}}

Definicja 2.17.

Niech \displaystyle n\in\{2,3,4,...\} będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną \displaystyle y nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \displaystyle n z liczby nieujemnej \displaystyle x, jeśli \displaystyle x^n=y. Pierwiastek stopnia \displaystyle n z liczby \displaystyle x\geq 0 oznaczamy symbolem \displaystyle \root{n}\of{x}.
Uwaga 2.18.
  • Funkcja \displaystyle x\mapsto x^n jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle n jest liczbą nieparzystą.
  • Jeśli \displaystyle n>0 jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji \displaystyle f(x)=x^n do przedziału \displaystyle [0, \infty) jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia \displaystyle n g(x)=\root{n}\of{x} określona na przedziale \displaystyle [0,\infty) o wartościach w \displaystyle [0,\infty).
  • Jeśli \displaystyle n>0 jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja \displaystyle f(x)=x^n jest różnowartościowa na przedziale \displaystyle (-\infty,+\infty). Funkcją odwrotną do niej jest funkcja


\displaystyle  g(x) \ =\ \left\{ \aligned \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0\\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x< 0 \endaligned \right .

Uwaga 2.19.

Jeśli \displaystyle n jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji \displaystyle f(x)=x^n i oznacza się ją krótko \displaystyle  g(x)=\root{n}\of{x}, przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicja 2.20

Niech \displaystyle a>0 będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję \displaystyle x\mapsto a^x określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie \displaystyle a.
Uwaga 2.21.
  • Jeśli \displaystyle a>0,\ a\neq 1, funkcja wykładnicza \displaystyle x\mapsto a^x jest bijekcją zbioru \displaystyle \mathbb{R} na przedział \displaystyle (0, \infty). Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.
  • Jeśli \displaystyle a>1, funkcja \displaystyle x\mapsto a^x jest ściśle rosnąca, jeśli zaś \displaystyle 0<a<1, jest ściśle malejąca.
  • Jeśli \displaystyle a=1, funkcja \displaystyle x\mapsto a^x jest stała.


f(x)=a^x


f(x)=a^x

Definicja 2.22.

Niech \displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty) będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji \displaystyle x\mapsto a^x nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie \displaystyle a i oznaczamy \displaystyle x\mapsto \log_{a} x.

Na ogół pomija się indeks \displaystyle a w oznaczeniu logarytmu liczby \displaystyle x i pisze się krótko \displaystyle \log x. Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. \displaystyle \log x=\log_2 x. Z kolei w naukach technicznych symbol \displaystyle \log x=\log_{10}x oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie \displaystyle e=2,71828182846... (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol \displaystyle \log x=\log_{e}x oznacza właśnie logarytm o podstawie \displaystyle e. My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie \displaystyle e będziemy oznaczać osobnym symbolem \displaystyle \ln x.

Definicja 2.23.

Symbolem \displaystyle \exp x będziemy oznaczać potęgę \displaystyle e^x.


f(x)= \displaystyle \log_{a} x

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej \displaystyle x nazywamy liczbę \displaystyle \ln x=\log_{e}x.
Uwaga 2.25.
  • Jeśli \displaystyle a>0, \ a\neq 1, funkcja logarytmiczna \displaystyle x\mapsto \log_{a}x jest bijekcją przedziału \displaystyle (0, \infty) na zbiór \displaystyle \mathbb{R}.
  • Jeśli \displaystyle a>1, funkcja \displaystyle x\mapsto \log_{a}x jest ściśle rosnąca, jeśli zaś \displaystyle 0<a<1, jest ściśle malejąca.
  • Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej \displaystyle x\mapsto\log_{a}x jest punkt \displaystyle x=1.
  • Jeśli \displaystyle a>1, to logarytm \displaystyle \log_a x jest dodatni w przedziale \displaystyle (1, \infty) i jest ujemny w przedziale \displaystyle (0,1). Jeśli zaś \displaystyle 0<a<1, to logarytm \displaystyle \log_a x jest ujemny w przedziale \displaystyle (1, \infty) i jest dodatni w przedziale \displaystyle (0,1).

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.
  • Dla \displaystyle a>0, \displaystyle x, y\in\mathbb{R} zachodzą równości

\displaystyle (a^x)^y=a^{xy} oraz a^x a^y=a^{x+y}.

  • Dla dodatnich liczb \displaystyle a,b,c, \displaystyle a\neq 1, \displaystyle c\neq 1 prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},
w szczególności, gdy \displaystyle c=e, mamy równość
\displaystyle \log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}.

  • Dla dowolnej liczby \displaystyle b\in \mathbb{R} i dodatnich \displaystyle a>0, \displaystyle c>0 zachodzi równość


\displaystyle a^b=c^{b\log_{c} a},
która w szczególnym przypadku, gdy \displaystyle c=e, ma postać

\displaystyle a^b=\exp(b \ln a).

Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.



Zacieśnienie funkcji \sin x do przedziału [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]


Zacieśnienie funkcji \cos x do przedziału [0, \pi]
Uwaga 2.27.
  • Funkcja \displaystyle f(x)=\sin x zacieśniona do przedziału \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg] jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
  • Funkcja \displaystyle f(x)=\cos x zacieśniona do przedziału \displaystyle [0, \pi] jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
  • Funkcja \displaystyle f(x)=\mathrm{tg}\, x zacieśniona do przedziału \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg) jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
  • Funkcja \displaystyle f(x)=\mathrm{ctg}\, x zacieśniona do przedziału \displaystyle (0, \pi) jest różnowartościowa, ściśle malejąca.


Zacieśnienie funkcji \displaystyle \mathrm{tg}\, x do przedziału \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg)


Zacieśnienie funkcji \displaystyle \mathrm{ctg}\, x do przedziału \displaystyle (0, \pi)

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle x suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}: \cos^2 x+\sin^2 x=1.

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale \displaystyle [-1,1] o wartościach w przedziale \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg], odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg],nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem \displaystyle x\mapsto \arcsin x.



Rysunek do definicji 2.29.


Rysunek do definicji 2.30.

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale \displaystyle [-1,1] o wartościach w przedziale \displaystyle [0, \pi], odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału \displaystyle [0, \pi], nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem \displaystyle x\mapsto \arccos x.

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale \displaystyle (-\infty,\infty) o wartościach w przedziale \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg), odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg), nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem \displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x.

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale \displaystyle (-\infty, \infty) o wartościach w przedziale \displaystyle (0, \pi), odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału \displaystyle (0, \pi), nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem \displaystyle x\mapsto \mathrm{arc\,ctg}\, x.



Rysunek do definicji 2.31.


Rysunek do definicji 2.32.

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: \displaystyle \sin\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\cos x oraz \displaystyle \mathrm{tg}\,\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\mathrm{ctg}\, x wynika, że

Uwaga 2.34.
  • Dla dowolnej liczby \displaystyle -1\leq x\leq 1 zachodzi równość \displaystyle \arccos x=\frac{\pi}{2}+\arcsin(-x).
  • Dla dowolnej liczby \displaystyle -\infty< x <\infty zachodzi równość \displaystyle \mathrm{arc\,ctg}\, x=\frac{\pi}{2}+\mathrm{arctg}\,(-x).

Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.



Sinus hiperboliczny


Cosinus hiperboliczny

Definicja 2.35.

Niech \displaystyle x\in(-\infty, +\infty).

  • Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję \displaystyle \sinh :x\mapsto\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}).
  • Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję \displaystyle \cosh :x\mapsto\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}).
  • Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję \displaystyle \mathrm{tgh} :x\mapsto\frac{\sinh x}{\cosh x}.
  • Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję \displaystyle \mathrm{ctgh} :x\mapsto\frac{1}{\mathrm{tgh} x}.


Tangens hiperboliczny


Cotangens hiperboliczny

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

\displaystyle  \forall x\in\mathbb{R} : \cosh^2 x- \sinh^2 x=1.

Dowód 2.36.

Z definicji funkcji \displaystyle \sinh i \displaystyle \cosh mamy:

\displaystyle \aligned 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ &=\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ &=\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) \ =\ 4, \endaligned

stąd

\displaystyle  \forall x : \cosh^2 x-\sinh^2 x=1.

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

\displaystyle \sin(x+y) \ =\ \sin x\cos y+\cos x\sin y
\displaystyle \cos(x+y) \ =\ \cos x \cos y-\sin x\sin y.

image:End_of_proof.gif

Twierdzenie 2.37.

Niech \displaystyle x,y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y +\cosh x\sinh y,
\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

\begin{array}{lll} \displaystyle \cosh 2x & = &\displaystyle  \cosh^2 x+\sinh^2 x=2\cosh^2 x-1=1+2\sinh^2 x,\\ \sinh 2x & = &\displaystyle  2\sinh x\cosh x. \end{array}

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

\begin{array}{lll} \displaystyle \cos 2x &  =  & \displaystyle\cosh^2 x- \sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x,\\ \sin 2x &  =  & \displaystyle 2\sin x\cos x. \end{array}

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39
  • Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją \displaystyle \mathbb{R} na \displaystyle \mathbb{R}. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
  • Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na \displaystyle \mathbb{R} i przyjmuje wartości w przedziale \displaystyle [1, \infty). Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału \displaystyle [0, \infty) jest funkcją ściśle rosnącą.
  • Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją \displaystyle \mathbb{R} na przedział \displaystyle (-1,1). Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
  • Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru \displaystyle (-\infty,0)\cup (0,+\infty) na zbiór \displaystyle (-\infty,-1)\cup(1,+\infty). Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale \displaystyle (-\infty, 0) i w przedziale \displaystyle (0, \infty) .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.



Rysunek do definicji 2.40.


Rysunek do definicji 2.40.

Definicja 2.40.

  • Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy \displaystyle  x\mapsto {\rm arsinh\, } x.
  • Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału \displaystyle [0, \infty) nazywamy area cosinusem hiperbolicznym
    i oznaczamy \displaystyle  x\mapsto {\rm arcosh\, } x.
  • Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy \displaystyle  x\mapsto {\rm artgh\, } x.
  • Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy \displaystyle  x\mapsto{\rm arctgh\, } x.


Rysunek do definicji 2.40.


Rysunek do definicji 2.40.

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) \displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} dla \displaystyle |x|\leq 1,
b) \displaystyle  \cosh({\rm arsinh\, } x)=\sqrt{1+x^2} dla \displaystyle -\infty<x<\infty.

Dowód 2.41.

a) Niech \displaystyle y=\arcsin x. Wówczas dla \displaystyle -1\leq x\leq 1 mamy \displaystyle  -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}, czyli \displaystyle 0\leq \cos y \leq 1. Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

\displaystyle \cos y \ =\ \sqrt{1-\sin^2 y} \ =\ \sqrt{1-x^2}.

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

image:End_of_proof.gif

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) \displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) dla \displaystyle -\infty<x<\infty,
b) \displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) dla \displaystyle 1\leq x< \infty,
c) \displaystyle {\rm artgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dla \displaystyle -1<x<1,
d) \displaystyle {\rm arctgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} dla \displaystyle |x|>1.

Dowód 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną \displaystyle y z równania: \displaystyle  x=\sinh y.Mamy

\displaystyle x \ =\ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \ =\ \frac{e^{2y}-1}{e^{y}}.

Stąd \displaystyle  e^y=x+\sqrt{x^2+1}, czyli \displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) dla wszystkich \displaystyle -\infty<x<\infty.

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną \displaystyle y z równania \displaystyle  x=\cosh y i otrzymujemy \displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2-1}, czyli \displaystyle  {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}), dla \displaystyle x\geq 1.

c) Z równania \displaystyle  x={\rm artgh\, } x dostajemy \displaystyle  e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}, czyli

\displaystyle  {\rm artgh\, } x \ =\ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},

dla \displaystyle |x|<1.

d) Pamiętając, że \displaystyle\ctgh x=\frac{1}{\tgh x}, podstawiamy w poprzedniej tożsamości \displaystyle\frac{1}{x} w miejsce zmiennej \displaystyle x i otrzymujemy:

\displaystyle  {\rm arctgh\, } x \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}},

dla \displaystyle |x|>1.

image:End_of_proof.gif

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.



Wielomian Czebyszewa
Uwaga 2.43.
  • Dla dowolnej liczby \displaystyle n=0,1,2,... funkcja

\displaystyle T_n (x) \ =\ \cos (n\arccos x), \ \ -1\leq x\leq 1,

jest wielomianem zmiennej \displaystyle x.

  • Dla dowolnej liczby \displaystyle n=0,1,2,... funkcja

\displaystyle  U_n (x) \ =\ \cosh (n{\rm arcosh\, } x), \quad  x\geq 1,

jest wielomianem zmiennej \displaystyle x.

  • Dla dowolnej liczby \displaystyle n=0,1,2,... funkcje \displaystyle T_n oraz \displaystyle U_n są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów \displaystyle [-1,1] oraz \displaystyle [1,+\infty) tego samego wielomianu \displaystyle W_n zmiennej \displaystyle x, to znaczy dla dowolnej liczby \displaystyle n=0,1,2,... istnieje funkcja wielomianowa

\displaystyle W_n : x\mapsto W_n(x) taka, że zachodzą równości

\displaystyle  \aligned W_n(x)&=T_n(x) &&\text{ dla } -1\leq x\leq 1,\\ W_n(x)&=U_n(x) &&\text{ dla } +1\leq x \leq \infty.\endaligned

Definicja 2.44.

Wielomian \displaystyle W_n, o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału \displaystyle [-1,1] jest funkcja \displaystyle T_n : x\mapsto \cos (n\arccos x), nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia \displaystyle n, \displaystyle n=0,1,2,....