Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe

From Studia Informatyczne

Spis treści

Krzywe i bryły obrotowe

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy \displaystyle  C^1 jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

Długość krzywej

Definicja 15.1.

Niech \displaystyle  -\infty<a<b<+\infty. Krzywą nazywamy zbiór punktów

\displaystyle  K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\},

gdzie \displaystyle  \displaystyle\varphi,\psi\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb{R} są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

\displaystyle   K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}  \right. \qquad t\in[a,b].

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.


Krzywa


Parametryczny opis okręgu


Krzywa z punktem wielokrotnym (potrójnym)

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu \displaystyle  R>0 w \displaystyle  \displaystyle\mathbb{R}^2. Jeśli jako parametr \displaystyle  t przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu \displaystyle  \displaystyle (x,y) na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że \displaystyle  x=\cos t i \displaystyle  y=\sin t. Zatem następująca krzywa:

\displaystyle   K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=R\cos t\\ y=R\sin t \end{array}  \right. \qquad t\in[0,2\pi] opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt \displaystyle  \displaystyle (x,y)\in K jest punktem wielokrotnym krzywej \displaystyle  K, jeśli


\displaystyle  \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big).

Krzywą \displaystyle  K nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy


\begin{array}{ll} \displaystyle &  \bigg[ \big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big),\ t_1\le t_2 \bigg]\\\\ \Longrightarrow & \bigg[ \big(t_1= t_2\big)\quad\lor\quad \big(t_1=a\ \land\ t_2=b\big) \bigg].\end{array}



Krzywe zwyczajne

Definicja 15.4.

Niech

\displaystyle  a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b

będzie podziałem przedziału \displaystyle  \displaystyle [a,b]. Łamaną \displaystyle  p łączącą punkty:


\displaystyle  \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big)

nazywamy łamaną wpisaną w krzywą \displaystyle  K. Przez \displaystyle  l(p) oznaczamy długość łamanej \displaystyle  p (to znaczy sumę długości odcinków

wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej \displaystyle  K nazywamy liczbę:

\displaystyle  l(K) \ =\ \sup_p l(p),

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w \displaystyle  K.




Łamana wpisana w krzywą


Łamana wpisana w krzywą

Definicja 15.6.

Jeśli \displaystyle  l(K)<+\infty, to mówimy, że krzywa \displaystyle  K jest prostowalna.

Twierdzenie 15.7.

Niech \displaystyle  \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} będą klasy \displaystyle  C^1 oraz niech \displaystyle  K=K(\varphi,\psi) będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa \displaystyle  K jest prostowalna.



Łamana wpisana w krzywą

Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]

Niech \displaystyle  p będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą \displaystyle  K, to znaczy istnieje podział

\displaystyle  a \ =\ t_0 \ <\ t_1 \ <\ \ldots \ <\ t_n \ =\ b

taki, że \displaystyle  p jest łamaną o wierzchołkach \displaystyle  \displaystyle (x_i,y_i) dla \displaystyle  i=0,\ldots,n, gdzie

\displaystyle   \left\{ \begin{array} {l} x_i\ =\ \varphi(t_i)\\ y_i\ =\ \psi(t_i) \end{array}  \right. \qquad i\in\left\{0,\ldots,n\right\}.

Długość łamanej \displaystyle  p wyraża się wzorem:

\displaystyle  l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}.

Ponieważ \displaystyle  \displaystyle\varphi,\psi\in C^1\big([a,b];\mathbb{R}\big), więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

\displaystyle  x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),
\displaystyle  y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)\left(t_i-t_{i-1}\right),
gdzie
\tau_i\in \left(t_{i-1},t_i\right),\quad i=1,\ldots n,\quad \tau^*_i\in \left(t_{i-1},t_i\right),\quad i=1,\ldots n.

Zatem

\displaystyle  l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot\left(t_i-t_{i-1}\right).

Ponieważ \displaystyle  \displaystyle\varphi',\psi'\in C\big([a,b];\mathbb{R}\big) i przedział \displaystyle  \displaystyle [a,b] jest zwarty, więc funkcje \displaystyle  \displaystyle\varphi',\psi' są ograniczone.
Definiujemy

\displaystyle  M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t),

\displaystyle  m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t).

Zatem

\displaystyle  \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a).

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej \displaystyle  p wpisanej w krzywą \displaystyle  K, więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy

\displaystyle  \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a),

a zatem krzywa \displaystyle  K jest prostowalna.

image:End_of_proof.gif
Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy \displaystyle  C^1. (to znaczy \displaystyle \varphi,\psi, są klasy C^1) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy \displaystyle  C^1, to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy \displaystyle  C^1 (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy \displaystyle  C^1 stosują się także do krzywych kawałkami klasy \displaystyle  C^1.



Krzywa K(t)

Definicja 15.9.

Niech \displaystyle  K=K(\varphi,\psi) będzie krzywą. Zdefiniujmy:

\displaystyle  K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\},

oraz

\displaystyle   s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad (długośćkrzywejK(t)) \displaystyle   .

W szczególności \displaystyle  s(b)=l(K).

Twierdzenie 15.10.

Niech \displaystyle  \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} będą klasy \displaystyle  C^1 oraz niech \displaystyle  K=K(\varphi,\psi) będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

\displaystyle  s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\  t\in[a,b].

Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]

Niech \displaystyle  t_0,t_0+h\in[a,b]. Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:

\displaystyle  \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h,

gdzie

\displaystyle  M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t),

\displaystyle  m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t).

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez \displaystyle  h, dostając:

\displaystyle  \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}.

Ponieważ funkcje \displaystyle  \displaystyle\varphi' i \displaystyle  \displaystyle\psi' są ciągłe, więc dostajemy

\displaystyle  \aligned  M_h   &  \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ m_h   &  \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \varphi'(t_0),\\ M_h^* &  \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0),\\ m_h^* &  \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} & \psi'(t_0). \endaligned

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

\displaystyle  s'(t_0) \ =\ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}.

image:End_of_proof.gif

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech \displaystyle  \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} będą klasy \displaystyle  C^1 oraz niech \displaystyle  K=K(\varphi,\psi) będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

\displaystyle  l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau.

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji \displaystyle  y=f(x), dla \displaystyle  x\in[a,b], to

\displaystyle  l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt.

Dowód 15.11.

\displaystyle  l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}\limits_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau.

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję \displaystyle  f możemy zapisać w postaci parametrycznej

\displaystyle   \left\{ \begin{array} {l} x(t)=t\\ y(t)=f(t) \end{array}  \right., \qquad t\in[a,b]

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

image:End_of_proof.gif

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

\displaystyle  r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta].

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

\displaystyle   \left\{ \begin{array} {l} x\ = \ r\cos\vartheta\ =\ g(\vartheta)\cos\vartheta\\ y\ = \ r\sin\vartheta\ =\ g(\vartheta)\sin\vartheta. \end{array}  \right.

Liczymy

\begin{array}{lll}\displaystyle \quad x'(\vartheta)^2+y'(\vartheta)^2& = & \big[g'(\vartheta)\cos\vartheta-g(\vartheta)\sin(\vartheta)\big]^2 + \big[g'(\vartheta)\sin\vartheta+g(\vartheta)\cos(\vartheta)\big]^2\\\\ & = & g'(\vartheta)^2\cos^2\vartheta -2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\sin^2\vartheta\\\\ &+&g'(\vartheta)^2\sin^2\vartheta +2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\cos^2\vartheta\\\\ &= & g'(\vartheta)^2 +g(\vartheta)^2, \end{array}

Zatem

\displaystyle  l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta.



Krzywa we współrzędnych biegunowych


Cykloida


Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt \displaystyle  0 na okręgu toczącym się po prostej \displaystyle  l.


Cykloida

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Oznaczenia:
\displaystyle  a - promień okręgu;
\displaystyle  O - początkowy punkt styczności okręgu i prostej \displaystyle  l;
\displaystyle  N - nowy punkt styczności;
\displaystyle  M - nowe położenie punktu \displaystyle  O;
\displaystyle  \displaystyle t=\sphericalangle NDM - parametr określający położenie punktu \displaystyle  M.

Liczymy współrzędne punktu \displaystyle  M(x,y):

\displaystyle  x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t,

\displaystyle  y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t.

Zatem

\displaystyle   \left\{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t) \end{array}  \right. \qquad t\in [0,2\pi] \quad( lub \displaystyle   \ t\in\mathbb{R}).

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:

\displaystyle   \left\{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t) \end{array}  \right. \qquad t\in [0,2\pi].

\begin{array}{lll} \displaystyle  \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} &=& \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t}\\ & =&\displaystyle  \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\bigg|\sin\frac{t}{2}\bigg|.\end{array}

Zatem

\displaystyle  \begin{array}{lll}l(K) &=&\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg|\sin\frac{t}{2}\,\bigg|dt\\ &=& 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\8a. \end{array}

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

\displaystyle  x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}}.

Równanie parametryczne asteroidy, to:

\displaystyle   \left\{ \begin{array} {l} x=a\cos^3 t\\ y=a\sin^3 t \end{array}  \right. \qquad t\in [0,2\pi].

Liczymy

\displaystyle  \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\  t\in[0,2\pi].

Zatem

\displaystyle  l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a.



Asteroida


Asteroida


Asteroida

Całka krzywoliniowa

Niech \displaystyle  K będzie krzywą klasy \displaystyle  C^1:

\displaystyle  K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\},

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła \displaystyle  f\colon K\ni M\longmapsto f(M)\in\mathbb{R}, to znaczy funkcja, która każdemu punktowi \displaystyle  M krzywej \displaystyle  K przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą \displaystyle  f(M). Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji \displaystyle  f po krzywej \displaystyle  K.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)Zobacz biografię
Enlarge
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) \displaystyle  K zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie \displaystyle  M(x,y) danej funkcją ciągłą \displaystyle  \displaystyle\varrho(M), to masa tego pręta wyraża się wzorem

\displaystyle  m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds.

Współrzędne środka ciężkości pręta \displaystyle  \displaystyle (x_0,y_0) możemy policzyć ze wzorów

\displaystyle  \aligned x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds,\\ x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds. \endaligned

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego \displaystyle  K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=R^2,\ y\ge 0\} o gęstości \displaystyle  \displaystyle\varrho(x,y)=y^2.

Masa krzywej o gęstości \displaystyle  \displaystyle\varrho dana jest wzorem

\displaystyle  m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds.

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

\displaystyle   K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array}  \right. \qquad t\in[0,\pi],

mamy

\begin{array}{lll} \displaystyle  m &=& \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt\\ &=& R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}.\end{array}

Odpowiedź:

Masa pręta wynosi \displaystyle  \displaystyle \frac{R^3\pi}{2}
.

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka \displaystyle  K łączącego punkt \displaystyle  \displaystyle (0,0) z punktem \displaystyle  \displaystyle (1,1) o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej \displaystyle  \displaystyle\sqrt{2} w punkcie \displaystyle  \displaystyle (1,1).

Skoro gęstość \displaystyle  \displaystyle\varrho jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi \displaystyle  \displaystyle\sqrt{2} w punkcie \displaystyle  \displaystyle (1,1), to

\displaystyle  \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad oraz \displaystyle   \quad \varrho(1,1)=c\sqrt{2}=\sqrt{2},

stąd \displaystyle  c=1. Parametryzacją odcinka jest na przykład

\displaystyle   K=K(\varphi,\psi):\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t\\ y=\psi(t)=t \end{array}  \right. \qquad t\in[0,1],

zatem masa wynosi

\displaystyle  m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1.

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

\displaystyle  x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}.

Z symetrii zadania wynika, że \displaystyle  y_0=\frac{2}{3}.

Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy \displaystyle  C^1. Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).



Pole między wykresami funkcji

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

\displaystyle  y=f_1(x) \quad i \displaystyle   \quad y=f_2(x) \quad x\in[a,b],

to pole tego trapezu wynosi:

\displaystyle  |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

\displaystyle  K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}  \right., \qquad dla \displaystyle   \ t\in[\alpha,\beta],

wynosi

\displaystyle  |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt.

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.



Pole obszaru ograniczonego półprostymi i krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych


Trójkąt krzywoliniowy

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami \displaystyle  OA i \displaystyle  OB (gdzie \displaystyle  O=(0,0)) oraz krzywą \displaystyle  AB daną w postaci biegunowej

\displaystyle  r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2],

to pole tego obszaru wynosi:

\displaystyle  |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta.

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez \displaystyle  P_{ABC} pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

\displaystyle  P_{ABC} \approx \frac{1}{2}\cdot g(\vartheta)\cdot g(\vartheta)\cdot\sin\Delta\vartheta \approx \frac{1}{2} g(\vartheta)^2\Delta\vartheta

(dla małych kątów \displaystyle  \displaystyle\Delta\vartheta zachodzi \displaystyle  \displaystyle\Delta\sin\vartheta\approx\Delta\vartheta). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

\displaystyle  K:\ y=f(x), \quad dla \displaystyle   \ x\in[a,b]

wokół osi \displaystyle  Ox:

\displaystyle  |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx.

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

\displaystyle  K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}  \right. \quad dla \displaystyle   \ t\in[\alpha,\beta]

wokół osi \displaystyle  Ox:

\displaystyle  |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.



Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi Ox


Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi Ox


Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi Ox


Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi Ox

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

\displaystyle  K:\ y=f(x), \quad dla \displaystyle   \ x\in[a,b]

wokół osi \displaystyle  Ox:

\displaystyle  |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx.

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka \displaystyle  \displaystyle [a,b]:

\displaystyle  P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji \displaystyle  y=f(x) dla \displaystyle  x\in[x_{i-1},x_i]. Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy \displaystyle  f(x_i) i wysokości \displaystyle  \displaystyle\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, czyli \displaystyle  \displaystyle\pi f(x_i)^2\Delta x_i. Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

\displaystyle  K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}  \right. \quad dla \displaystyle   \ t\in[\alpha,\beta]

wokół osi \displaystyle  Ox:

\displaystyle  |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt.

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.



Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi Ox


Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi Ox


Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi Oy

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

\displaystyle  K:\ y=f(x) \quad dla \displaystyle    x\in[a,b]

wokół osi \displaystyle  Oy:

\displaystyle  |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx.

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka \displaystyle  \displaystyle [a,b]:

\displaystyle  P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji \displaystyle  y=f(x) dla \displaystyle  x\in[x_{i-1},x_i] wokół osi \displaystyle  Oy. Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa \displaystyle  2\pi x_i f(x_i)-2\pi x_{i-1}f(x_i)=2\pi\Delta x_i f(x_i). Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na \displaystyle  |V_y|.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

\displaystyle  K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}  \right. \quad dla \displaystyle   \ t\in[\alpha,\beta]

wokół osi \displaystyle  Oy:

\displaystyle  |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt.



Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi Ox


Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi Ox


Torus

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

\displaystyle  x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0<r<a)

wokół osi \displaystyle  Ox.

\begin{array}{lll} \displaystyle  |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx\\ & \stackrel{(\bigstar)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array}

gdzie wykorzystano następującą całkę:

\displaystyle  \aligned  (\bigstar)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \endaligned

\displaystyle  I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c.

Teraz liczymy całkę \displaystyle  I inaczej:

\begin{array}{lll} \displaystyle I& = &\int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części}\\=\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array}

Porównując to z \displaystyle  \displaystyle (\bigstar), otrzymujemy:

\displaystyle  r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2,

stąd

\displaystyle  2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2},

zatem

\displaystyle  I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}.

Wstawiając do \displaystyle  \displaystyle (\bigstar), otrzymujemy:

\displaystyle  \aligned  I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \endaligned