Analiza matematyczna 1/Wykład 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

From Studia Informatyczne

Spis treści

Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

Dowodzimy reguły de l'Hospitala pozwalającej efektywnie wyznaczać granice funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu \displaystyle \frac{0}{0} lub \displaystyle \frac{\infty}{\infty}. Definiujemy także symbole Landaua \displaystyle o małe i \displaystyle O duże. Porównujemy asymptotyczne zachowanie wybranych funkcji (m.in. logarytmu, funkcji wykładniczej, wielomianów) w zerze i w nieskończoności.

Reguła de l'Hospitala

Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu \displaystyle \frac{0}{0}, \displaystyle \frac{\infty}{\infty} często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.

Twierdzenie 11.1.

Niech \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \displaystyle (a,b), przy czym \displaystyle -\infty\leq a<b\leq \infty. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} i jest równa \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}}. Jeśli istnieją granice funkcji

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0 \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=0,

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \displaystyle a i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c.

Dowód 11.1.

(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych \displaystyle c\in\mathbb{R} jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że \displaystyle f(a)=g(a)=0. Niech \displaystyle h>0 będzie dowolną liczbą taką, że \displaystyle a+h<b. Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby \displaystyle \xi \in (a, a+h) zachodzi równość:

\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},

czyli

\displaystyle \frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, gdyż f(a)=g(a)=0.

Wartość \displaystyle \xi zależy od wyboru \displaystyle h. Jeśli punkt \displaystyle a+h zmierza do \displaystyle a, punkt pośredni \displaystyle \xi również będzie zmierzał do \displaystyle a. Wobec tego w granicy przy \displaystyle h\to 0 dostajemy równość:

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} w punkcie \displaystyle a, to istnieje również granica ilorazu funkcji \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} w tym punkcie i są one równe.

image:End_of_proof.gif
Uwaga 11.2.

Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka \displaystyle x\mapsto\frac{f(x)}{g(x)} spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.

- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu \displaystyle a,

- czy istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \dfrac{f'(x)}{g'(x)} w punkcie \displaystyle a,

- czy obie funkcje \displaystyle f oraz \displaystyle g zmierzają do zera w punkcie \displaystyle a.

Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.

W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu \displaystyle \frac{f}{g} w przypadku nieoznaczoności typu \displaystyle \frac{0}{0}. Prawdziwe jest również następujące twierdzenie

Twierdzenie 11.3.

Niech \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \displaystyle (a,b), przy czym \displaystyle -\infty\leq a<b\leq \infty. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} i jest równa \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}}. Jeśli istnieją granice funkcji

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=\infty,

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \displaystyle a i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.

\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c.

Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji \displaystyle \frac{f}{g} w przypadku nieoznaczoności typu \displaystyle \frac{0}{0}, możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu \displaystyle \frac{\infty}{\infty}. Wystarczy bowiem iloraz \displaystyle \frac{f}{g} zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji \displaystyle f, \displaystyle g, tj.

\displaystyle \frac{f}{g}=\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}},

gdyż iloraz \displaystyle\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}} jest symbolem typu \displaystyle \frac{0}{0}, gdy \displaystyle \frac{f}{g} jest symbolem nieoznaczonym typu \displaystyle \frac{\infty}{\infty}.

Przykład 11.4.

Dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n istnieje granica

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0.

Niech \displaystyle n=1. Iloraz \displaystyle \frac{x}{\exp x} spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w \displaystyle \mathbb{R}, iloraz \displaystyle \frac{x}{\exp x} stanowi symbol nieoznaczony \displaystyle \frac{\infty}{\infty} przy \displaystyle x\to\infty i istnieje granica ilorazu pochodnych

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x)'}{(\exp x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\exp x}=0.
Stąd istnieje
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0.
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle k\geq 1 prawdziwa jest implikacja
\displaystyle \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0\bigg]\implies \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0\bigg].

Skoro istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0, to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji \displaystyle x\mapsto x^{k+1} i \displaystyle x\mapsto \exp x, gdyż

\displaystyle \frac{(x^{k+1})'}{(\exp x)'}=(k+1)\frac{x^k}{\exp x}\to 0, gdy x\to\infty.

Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0. Na mocy zasady indukcji matematycznej granica \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0 istnieje dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n.

Wniosek 11.5.

Jeśli \displaystyle w jest dowolnym wielomianem, to \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0. Innymi słowy: funkcja wykładnicza \displaystyle \exp zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.

Dowód 11.5.

Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów \displaystyle w(x)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n. Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów

\displaystyle a_0 \frac{1}{\exp x}+a_1\frac{ x}{\exp x}+\dots +a_n \frac{x^n}{\exp x}

także zmierza do zera, gdy \displaystyle x\to \infty.

image:End_of_proof.gif


Rysunek do dowodu 11.6.

Wniosek 11.6.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle a istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0.

Dowód 11.6.

Dla dowolnej liczby \displaystyle a\in \mathbb{R} potrafimy znaleźć liczbę naturalną \displaystyle n większą od \displaystyle |a|. Wówczas dla \displaystyle x>1 mamy

\displaystyle 0\leq \frac{x^a}{\exp x} \leq \frac{x^n}{\exp x}.


Skoro \displaystyle \frac{x^n}{\exp x}\to 0, gdy \displaystyle x\to\infty, to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0. image:End_of_proof.gif

W poprzednim module rozważaliśmy funkcję

\displaystyle f(t)=\left\{ \aligned &\exp(-t^{-1}), &\text{ dla } t>0\\ &0, &\text{ dla } t\leq 0 \endaligned\right .

i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że

Uwaga 11.7.
Funkcja \displaystyle f ma w punkcie \displaystyle t=0 pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.

Dowód 11.7.

Dla \displaystyle h<0 iloraz różnicowy \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0. Z kolei dla \displaystyle h>0 mamy

\displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x}{\exp x},gdzie x=h^{-1}
.

Zauważmy, że \displaystyle x\to\infty, gdy \displaystyle h\to 0^{+}. Ponieważ istnieje granica \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0, więc istnieje również granica \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=0. Stąd istnieje \displaystyle f'(0)=0. Dla \displaystyle x\neq 0 wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)

\displaystyle f'(t)=\left\{ \aligned &t^{-2}\exp(-t^{-1}), &\text{ dla } t>0\\ &0, &\text{ dla } t\leq 0 \endaligned\right .

Rozważmy następnie iloraz różnicowy \displaystyle \dfrac{f'(0+h)-f'(0)}{h}. Dla \displaystyle h<0 mamy \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0, natomiast gdy \displaystyle h>0 zachodzi równość

\displaystyle \dfrac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\dfrac{h^{-2}\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x^3}{\exp x} gdzie x=h^{-1}.
Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica \displaystyle \lim_{x \to\infty}\frac{x^3}{\exp x}=0, więc istnieje również granica
\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=0.

Stąd istnieje \displaystyle f''(0)=0. Wobec tego, że dla \displaystyle t<0 mamy \displaystyle f''(t)=0, a dla dodatnich \displaystyle t>0 - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość

\displaystyle \aligned f''(t)&= \big(t^{-2}\exp(-t^{-1})\big)'\\ &=(t^{-2})'\exp(-t^{-1})+t^{-2}\big(\exp(-t^{-1})\big)'\\&= -2t^{-3}\exp(-t^{-1})+t^{-2}(t^{-2})\exp(-t^{-1})\\&=(-2t^{-3}+t^{-4})\exp(-t^{-1}).\endaligned

Wobec tego druga pochodna \displaystyle f'' istnieje w każdym punkcie \displaystyle t i wyraża się wzorem

\displaystyle f''(t)=\left\{ \aligned &(t^{-4}-2t^{-3})\exp(-t^{-1}), &\text{ dla } t>0\\ &0, &\text{ dla } t\leq 0. \endaligned\right .
Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle k pochodna rzędu \displaystyle k funkcji \displaystyle f wyraża się wzorem
\displaystyle f^{(k)}(t)=\left\{ \aligned &v(t^{-1})\exp(-t^{-1}), &\text{ dla } t>0\\ &0, &\text{ dla } t\leq 0, \endaligned\right .
gdzie \displaystyle x\mapsto v(x) jest pewnym wielomianem zmiennej \displaystyle x (podstawiamy \displaystyle x=t^{-1}). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu \displaystyle k funkcji \displaystyle f jest postaci
\displaystyle \frac{f^{(k)}(0+h)-f^{(k)}(0)}{h}=\left\{\aligned &0, &\text{ dla } h<0, \\&\frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}, &\text{ dla } h>0,\endaligned \right .
gdzie \displaystyle w: x\mapsto w(x) jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za \displaystyle t^{-1}=x, wobec istnienia

granicy \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 wnioskujemy o istnieniu granicy \displaystyle\lim_{t\to 0+}\frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}=0. W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy \displaystyle h\to 0^{-}, więc istnieje \displaystyle f^{(k+1)}(0)=0. Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc \displaystyle f^{(n)}(0)=0 dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n.

image:End_of_proof.gif

Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji \displaystyle x\mapsto x^a, gdy \displaystyle a>0. Wykażemy, że

Uwaga 11.8.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle a>0 istnieją granice

\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0 \ \text{ oraz } \lim_{x\to \infty} \frac{ \ln x}{x^a}=0.

Dowód 11.8.

Obie funkcje \displaystyle x\mapsto \ln x oraz \displaystyle x\mapsto x^{-a} są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice \displaystyle\lim_{x\to 0+} \ln x=-\infty oraz \displaystyle\lim_{x\to 0+} x^{-a}=\infty. Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji

\displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^{-a})'}=\frac{x^{-1}}{-ax^{-a-1}}=-a^{-1}x^{a}

zmierza do zera, gdy \displaystyle x\to 0+ dla dowolnej liczby \displaystyle a>0. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje

\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0.

Z kolei przy \displaystyle x\to\infty mamy \displaystyle \ln x\to \infty, \displaystyle x^a\to\infty dla \displaystyle a>0. Iloraz pochodnych tych funkcji

\displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^a)'}=\frac{x^{-1}}{ax^{a-1}}=\frac{1}{ax^a}
zmierza do zera przy \displaystyle x\to \infty dla dowolnej liczby \displaystyle a>0. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także
\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x^a}=0.
image:End_of_proof.gif

Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej \displaystyle x o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej \displaystyle x o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.

Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.

Twierdzenie 11.9.

Istnieją granice

a) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,

b) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2},

c) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1,

d) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp a, dla dowolnej liczby \displaystyle a\in\mathbb{R}.

Dowód 11.9.

a) Funkcje \displaystyle f(x)=\sin x i \displaystyle g(x)=x są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \displaystyle x zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \displaystyle\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\frac{\cos x}{1}\to 1, gdy \displaystyle x\to 0. Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

b) Funkcje \displaystyle f(x)=1- \cos x i \displaystyle g(x)=x^2 są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \displaystyle x zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \displaystyle\frac{(1-\cos x)'}{(x^2)'}=\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}\frac{\sin x}{x}\to \frac{1}{2} na mocy punktu a). Stąd istnieje także \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.

c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach \displaystyle f(x)=\ln (1+x) i \displaystyle g(x)=x są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \displaystyle x zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \displaystyle\frac{(\ln (1+x))'}{(x)'}=\frac{1}{x+1}\to 1, gdy \displaystyle x\to 0. Stąd istnieje \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1.

d) Wyrażenie \displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x stanowi przy \displaystyle x\to \infty symbol nieoznaczony typu \displaystyle 1^\infty. Przekształćmy je

\displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg).

Zauważmy, że wykładnik

\displaystyle x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)=a\cdot \frac{\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)}{\frac{a}{x}}\to a\cdot 1, \text{ gdy } x\to \infty,
gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz \displaystyle \frac{\ln(1+t)}{t} zmierza do jedynki, gdy \displaystyle t=\frac{a}{x} zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica
\displaystyle \lim_{x\to \infty}\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg)=\exp a.
image:End_of_proof.gif

Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu \displaystyle a_n = (1+\frac{1}{n})^n, nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji \displaystyle f(x)=\big(1+\frac{a}{x}\big)^x przy \displaystyle x\to \infty, stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.

Równość asymptotyczna

Niech \displaystyle a\in \bar{\mathbb{R}}. Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=C oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu \displaystyle a funkcje \displaystyle f oraz \displaystyle C g są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie \displaystyle a\in \mathbb{R} dla dowolnej liczby \displaystyle \epsilon>0 istnieje

\displaystyle \delta >0 taka, że
\displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}-C\big|<\epsilon, o ile x\in (a-\delta, a+\delta),

co jest równoważne nierówności

\displaystyle C-\epsilon <\frac{f(x)}{g(x)}<C+\epsilon,

czy też

\displaystyle (C-\epsilon)g(x)<f(x)<(C+\epsilon)g(x)

w pobliżu punktu \displaystyle a. Podobnie, gdy \displaystyle a=\infty, istnienie skończonej granicy \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=C oznacza, że dla dużych wartości argumentu \displaystyle x obie funkcje \displaystyle f oraz \displaystyle C g są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla \displaystyle \epsilon>0 potrafimy wskazać taką liczbę \displaystyle M, że na prawo od niej, tj. w przedziale \displaystyle (M, +\infty) iloraz \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} różni się od stałej \displaystyle C o nie więcej niż \displaystyle \epsilon. Innymi słowy dla \displaystyle x>M mamy nierówność \displaystyle (C-\epsilon)g(x)<f(x)<(C+\epsilon)g(x).

Niech \displaystyle f, g będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu \displaystyle a (tj. w przedziale postaci \displaystyle (a, a+h) lub \displaystyle (a-h, a), dla pewnego \displaystyle h>0, gdy \displaystyle a jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci \displaystyle (M, \infty), \displaystyle (-\infty, M), gdy \displaystyle a=\infty lub \displaystyle a=-\infty).

Definicja 11.10.

Mówimy, że funkcja \displaystyle f jest rzędu \displaystyle o(g(x)) w punkcie \displaystyle a, jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu \displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)} w punkcie \displaystyle a i jest równa zeru.

Jeśli iloraz \displaystyle \big|\dfrac{f(x)}{g(x)}\big| jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu \displaystyle a, to mówimy, że funkcja \displaystyle f jest rzędu \displaystyle O(g(x)) w punkcie \displaystyle a.

Symbole \displaystyle o(g(x)) oraz \displaystyle O(g(x)) nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od \displaystyle g(x).

Zauważmy, że jeśli \displaystyle f(x)=o(g(x)) w punkcie \displaystyle a, to \displaystyle f(x)=O(g(x)) w tym punkcie, ale nie na odwrót.

Uwaga 11.11.

Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli \displaystyle o małe i \displaystyle O duże.

\displaystyle \aligned &o+o=o \ \ & \ &o\cdot o=o\\ &o+O=O \ \ & \ &o\cdot O=o\\ &O+O=O \ \ & \ &O\cdot O=O.\endaligned

Często spotyka się symbole \displaystyle o małe i \displaystyle O duże w następujących przypadkach:

\displaystyle f(x)=g(x)+o(x^n), \ x\to a,

co oznacza, że iloraz \displaystyle \dfrac{f(x)-g(x)}{x^n} zmierza do zera przy \displaystyle x\to a

lub
\displaystyle f(x)=g(x)+O(x^n), \ x\to a,

gdy iloraz \displaystyle \big|\dfrac{f(x)-g(x)}{x^n}\big| jest ograniczony przy \displaystyle x\to a.

W szczególności zapis
\displaystyle f(x)=g(x)+o(1)
oznacza po prostu, że
\displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=0,

zaś

\displaystyle f(x)=g(x)+O(1)
piszemy, gdy różnica
\displaystyle |f(x)-g(x)|
jest ograniczona przy \displaystyle x\to a.

Definicja 11.12.

Jeśli istnieją stałe \displaystyle a, b takie, że \displaystyle f(x)=ax+b+o(1), przy \displaystyle x\to\infty (lub \displaystyle x\to-\infty), to prostą o równaniu \displaystyle y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną funkcji \displaystyle f przy \displaystyle x zmierzających do \displaystyle \infty (lub \displaystyle -\infty). W szczególnym przypadku, gdy \displaystyle a=0 mówimy, że funkcja \displaystyle f ma asymptotę poziomą o równaniu \displaystyle y=b.

Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie \displaystyle a\in \mathbb{R} istnieje granica nieskończona \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) (lub \displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)), to mówimy, że funkcja \displaystyle f ma w punkcie \displaystyle a asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) \displaystyle x=a. Jeśli prosta \displaystyle x=a jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji \displaystyle f (czyli obie granice jednostronne \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) oraz \displaystyle \lim_{x\to a-}f(x) istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja \displaystyle f ma asymptotę pionową \displaystyle x=a.

Uwaga 11.13.
Jeśli funkcja \displaystyle f ma asymptotę ukośną \displaystyle y=ax+b w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną \displaystyle y=\alpha x+\beta w minus nieskończoności), to
\displaystyle a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz } b=\lim_{x\to\infty} (f(x)-ax)
i odpowiednio:
\displaystyle \alpha =\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz }\beta=\lim_{x\to -\infty} (f(x)-\alpha x)

Dowód 11.13.

Jeśli \displaystyle f(x)=ax+b+o(1), to \displaystyle \frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}\to 0, gdy \displaystyle x\to\infty. Stąd \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to a.

Skoro \displaystyle f(x)-ax=b+o(1), to \displaystyle f(x)-ax\to b, przy \displaystyle x\to \infty. W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne. image:End_of_proof.gif


Rysunek do przykładu 11.14.(a)


Rysunek do przykładu 11.14.(b)

Przykład 11.14.

a) Funkcja \displaystyle f(x)=\exp x ma asymptotę poziomą \displaystyle y=0 przy \displaystyle x\to-\infty, czyli \displaystyle \exp x=0+o(1), gdy \displaystyle x\to -\infty. Nie ma asymptoty przy \displaystyle x\to \infty.

b) Funkcja \displaystyle f(x)=\mathrm{arctg}\, x ma przy \displaystyle x\to-\infty asymptotę poziomą \displaystyle y=-\frac{\pi}{2}, a przy \displaystyle x\to \infty asymptotę poziomą \displaystyle y=\frac{\pi}{2}. Możemy to też zapisać w postaci \displaystyle \mathrm{arctg}\, x=\frac{\pi}{2}+o(1) przy \displaystyle x\to\infty oraz \displaystyle \mathrm{arctg}\, x=-\frac{\pi}{2}+o(1) przy \displaystyle x\to-\infty.

c) Funkcja \displaystyle f(x)=\sqrt{4x^2-1} ma przy \displaystyle x\to\infty asymptotę ukośną \displaystyle y=2x, a przy \displaystyle x\to-\infty asymptotę ukośną \displaystyle y=-2x, czyli \displaystyle \sqrt{4x^2-1}=2x+o(1) przy \displaystyle x\to\infty oraz

\displaystyle \sqrt{4x^2-1}=-2x+o(1) przy \displaystyle x\to-\infty.


Rysunek do przykładu 11.14.(c)


Rysunek do przykładu 11.14.(d)

d) Funkcja \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} ma przy \displaystyle x\to\infty oraz przy \displaystyle x\to-\infty asymptotę poziomą \displaystyle y=0, czyli \displaystyle \frac{\sin x}{x}=0+o(1) przy \displaystyle |x|\to \infty.

e) Zauważmy także, że \displaystyle \sinh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1) przy \displaystyle x\to\infty oraz \displaystyle \sinh x=-\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1) przy \displaystyle x\to-\infty.



Rysunek do przykładu 11.14.(e)


Rysunek do przykładu 11.14.(f)

f) Podobnie \displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1) przy \displaystyle x\to\infty oraz \displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1) przy \displaystyle x\to-\infty.


Z powyższych przykładów wynika, że

Uwaga 11.15.

Funkcja \displaystyle f może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu \displaystyle \frac{f(x)}{x} osobno przy \displaystyle x\to\infty i

\displaystyle x\to-\infty.

Przykład 11.16.

Wykazaliśmy już, że \displaystyle \frac{\sin x}{x}=1+o(1), co można też zapisać \displaystyle \sin x=x+o(x), przy \displaystyle x\to 0. Można też wykazać, że

\displaystyle \aligned \sin x&=1-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \\&=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\&=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\&=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^7)\endaligned

Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że

Uwaga 11.17.
Jeśli \displaystyle f jest funkcją \displaystyle (n+1) razy różniczkowalną w otoczeniu punktu \displaystyle a, to
\displaystyle \aligned f(a+h)&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n)\\&=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+O(h^{n+1}), \text{ przy } h\to 0. \endaligned

Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala

Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.

Rozważmy następujący

Przykład 11.18.

Sprawdźmy, czy istnieje granica

\displaystyle \lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}.
Zauważamy, że iloraz funkcji \displaystyle f(t)=8t-\sqrt{63+t} oraz \displaystyle g(t)=4-\root{3}\of{63+t} stanowi w punkcie \displaystyle t=1 symbol nieoznaczony \displaystyle \frac{0}{0}. Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \frac{f'(t)}{g'(t)} w punkcie \displaystyle t=1. Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie \displaystyle u:=\root{6}\of{63+t} sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica


\displaystyle \frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}=\frac{8(u^6-63)-u^3}{4(u^6-63)-u^2}


ilorazu dwóch wielomianów \displaystyle F(u)=8(u^6-63)-u^3 oraz \displaystyle G(u)=4(u^6-63)-u^2 w punkcie \displaystyle u=2, ponieważ \displaystyle u(t)=\root{6}\of{63+t}\to 2, gdy \displaystyle t\to 1. Iloraz \displaystyle \frac{F(u)}{G(u)} stanowi symbol nieoznaczony \displaystyle \frac{0}{0} w punkcie \displaystyle u=2. Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste

\displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{48u^5-3u^2}{24u^5-2u} =\frac{48u^4-3u}{24u^4-2}\to \frac{381}{191}, gdy u\to 2.

Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica \displaystyle\lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}} i jest równa \displaystyle \dfrac{381}{191}.

Przykład 11.19.

Zbadajmy, czy funkcja \displaystyle f(x)=(x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big) ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to e, gdy \displaystyle x\to\infty. Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy \displaystyle f(x)-ex przy \displaystyle x\to \infty. Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu \displaystyle \infty-\infty. Przekształćmy je:

\displaystyle \aligned f(x)-ex&= (x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-ex\\ &=x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg)\\ &=\frac{\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e}{\frac{1}{x}}. \endaligned

Ułamek o liczniku \displaystyle  \big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e oraz mianowniku \displaystyle  \frac{1}{x} stanowi symbol nieoznaczony typu \displaystyle \frac{0}{0} przy \displaystyle x\to \infty. Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu \displaystyle (M, \infty), dla pewnego \displaystyle M. Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=:u nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem

\displaystyle \aligned f(x)-ex&=x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg)\\ &=\frac{u+1}{u-1}\bigg[\big(1+2\frac{u-1}{u+1}\big)\exp u-e\bigg]\\ &=\frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1}. \endaligned
Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu
\displaystyle \frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1} przy u\to 1
(ponieważ \displaystyle u(x)=\frac{x+1}{x-1}\to 1, gdy \displaystyle x\to\infty) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji
\displaystyle F(u)=(3u-1)\exp u-(u+1)e oraz G(u)=u-1
stanowi symbol nieoznaczony typu \displaystyle \frac{0}{0} w punkcie \displaystyle u=1; obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę
\displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{3\exp u+(3u-1)\exp u -e}{1}\to 4e, gdy u\to 1.
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu \displaystyle \lim_{u\to 1}\frac{F(u)}{G(u)} i jest równa \displaystyle 4e. Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta \displaystyle y=ex+4e jest asymptotą ukośną funkcji \displaystyle f przy \displaystyle x\to \infty. Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji \displaystyle f przy \displaystyle x\to -\infty.