Analiza matematyczna 1/Test 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej

From Studia Informatyczne

Pochodna funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}} w przedziale \displaystyle (1,+\infty) jest równa

\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}

\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}+\sqrt {x+1}}

\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}.


Styczna do wykresu funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x w punkcie \displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac {\pi}{2}) ma równanie

\displaystyle \displaystyle y=x

\displaystyle \displaystyle y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}

\displaystyle \displaystyle y=x+\frac {\pi}{2}.


Funkcja

\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0, \\ 0, \ \ \text {dla} \ \ x=0, \end{array}


jest ciągła

ma pochodną w punkcie \displaystyle x=0

ma ciągłą pochodną w punkcie \displaystyle x=0.


Równanie \displaystyle \displaystyle x^e=ke^x

nie ma rozwiązań dla \displaystyle k\in(0,1)

nie ma rozwiązań dla \displaystyle k>1

ma dwa rozwiązania dla \displaystyle k=1.


Pochodna funkcji \displaystyle \displaystyle f(x)=x^{e^x} jest równa

\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}

\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x

\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}.


Niech \displaystyle x_0\in (a,b) i niech \displaystyle f będzie funkcją ciągłą w przedziale \displaystyle (a,b) taką, że istnieje granica

\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.

Wtedy

istnieje pochodna funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x_0 i \displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A

jeśli istnieje pochodna funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x_0, to \displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A

jeśli istnieje pochodna funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x_0, to \displaystyle \displaystyle f'(x_0)=\frac A2.