Analiza matematyczna 1/Test 3: Odległość i ciągi

From Studia Informatyczne

Odległość punktów \displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) i \displaystyle \displaystyle \bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2

jest większa w metryce \displaystyle d_1 niż w metryce \displaystyle d_2

jest większa w metryce \displaystyle d_2 niż w metryce \displaystyle d_{\infty}

jest większa w metryce \displaystyle d_{\infty} niż w metryce \displaystyle d_1


Ciąg \displaystyle \displaystyle\{a_n\}\subseteq (\mathbb{R}^2,d_2) dany wzorem \displaystyle \displaystyle a_n=\bigg((-1)^n\frac{1}{n},(-1)^n\bigg)

jest ciągiem Cauchy'ego

jest zbieżny w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2

ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego


Niech \displaystyle A będzie kulą o środku w punkcie \displaystyle \displaystyle (1,1) i promieniu \displaystyle 1 w \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 z metryką taksówkową \displaystyle d_1. kula ta zawiera się w kuli

o środku \displaystyle \displaystyle (0,0) i promieniu \displaystyle 2 w metryce taksówkowej \displaystyle d_1

o środku \displaystyle \displaystyle (0,0) i promieniu \displaystyle 2 w metryce euklidesowej \displaystyle d_2

o środku \displaystyle \displaystyle (0,0) i promieniu \displaystyle 2 w metryce maksimowej \displaystyle d_{\infty}


Ciąg \displaystyle \displaystyle\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25}, \frac{1}{36},\ldots jest podciągiem ciągu

\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}

\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n^2}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}

\displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{2n}\bigg\}_{n\in \mathbb{N}}


Zbiór \displaystyle \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg] jest równy

\displaystyle \displaystyle\{0\}

\displaystyle \displaystyle\emptyset

\displaystyle \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg)


Niech \displaystyle \displaystyle\{a_n\} będzie ciągiem w \displaystyle \displaystyle(\mathbb{R}^4,d_2) takim, że \displaystyle \displaystyle a_n=\bigg((-1)^n, \frac{1}{n}, (-1)^n\frac{1}{n},(-1)^{n+1}\bigg). Wtedy

\displaystyle a_n ma podciąg zbieżny do \displaystyle \displaystyle (1,0,0,1)

\displaystyle a_n ma podciąg zbieżny do \displaystyle \displaystyle (-1,0,0,1)

\displaystyle a_n jest rozbieżny