Analiza matematyczna 1/Test 13: Całka nieoznaczona

From Studia Informatyczne

Całka nieoznaczona \displaystyle \displaystyle\int \mathrm{arctg}\, x dx wynosi

\displaystyle \displaystyle x\mathrm{arctg}\, x - \int\frac{x}{1+x^2}dx

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{1+x^2}+c

\displaystyle \displaystyle\mathrm{arctg}\, x - \int\frac{1}{1+x^2}dx


Stosując podstawienie \displaystyle \displaystyle\ln \frac{1}{x}=t do całki \displaystyle \displaystyle\int\frac{1}{x^2}\ln\frac{1}{x}dx, otrzymujemy całkę

\displaystyle \displaystyle-\int\ln t dt

\displaystyle \displaystyle-\int te^t dt

\displaystyle \displaystyle\int\ln t dt


Dane są dwie funkcje \displaystyle \displaystyle f(x)=e^{\cos x},\displaystyle \displaystyle g(x)=e^{\cos x}\sin x. Wówczas

\displaystyle f ma pierwotną, a \displaystyle g nie ma pierwotnej

\displaystyle g ma pierwotną, a \displaystyle f nie ma pierwotnej

\displaystyle f i \displaystyle g mają pierwotne


Dana jest funkcja \displaystyle \displaystyle f(x)=   \left\{   \begin{array} {lll}   \displaystyle x^2 & \textrm{dla} & x\leq 0\\   \displaystyle x+1 & \textrm{dla} &  x>0   \end{array}    \right.. Pierwotną funkcji \displaystyle f jest

\displaystyle \displaystyle   F(x)=   \left\{   \begin{array} {lll}   \displaystyle\frac{x^3}{3}   & \textrm{dla} & x\leq 0\\   \displaystyle\frac{x^2}{2}+x & \textrm{dla} & x>0   \end{array}    \right.

\displaystyle \displaystyle   F(x)=   \left\{   \begin{array} {lll}   \displaystyle\frac{x^3}{3}     & \textrm{dla} & x\leq 0\\   \displaystyle\frac{x^2}{2}+x+1 & \textrm{dla} & x>0   \end{array}    \right.

\displaystyle \displaystyle   F(x)=   \left\{   \begin{array} {lll}   \displaystyle\frac{x^3}{3}+1   & \textrm{dla} & x\leq 0\\   \displaystyle\frac{x^2}{2}+x   & \textrm{dla} & x>0   \end{array}    \right.


Całka \displaystyle \displaystyle\int x\ln x dx jest równa

\displaystyle \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\ln xdx

\displaystyle \displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x}{2}dx

\displaystyle \displaystyle x^2\ln x -x^2-\int (x\ln x-x)dx


Wyrażenie \displaystyle \displaystyle\int \cos^2x dx -\int(\sin^2x-1)dx jest równe

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x+x+1+c

\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x+x+c

\displaystyle \displaystyle\int 2\cos^2x dx