Analiza matematyczna 1/Test 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

From Studia Informatyczne

Funkcja

\displaystyle x\mapsto \ln{\frac1x} jest wklęsła

\displaystyle x\mapsto \cosh{x} jest wypukła

\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-x^2} jest wypukła.


Funkcja \displaystyle f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym przedziale \displaystyle (0,+\infty). Wtedy:

Jeśli \displaystyle f jest wypukła, to \displaystyle f' jest rosnąca.

Jeśli \displaystyle f' jest malejąca, to \displaystyle f jest wklęsła.

Jeśli \displaystyle f''(1)=0, to \displaystyle f ma w \displaystyle 1 punkt przegięcia.


Funkcja \displaystyle f(x)=x^3+12\mathrm{arctg}\,{x} jest

wypukła w przedziale \displaystyle (1,+\infty)

wklęsła w przedziale \displaystyle (-\infty, -1)

wypukła w przedziale \displaystyle (-\frac12,\frac12).


Funkcja \displaystyle x\mapsto x\arcsin(\cos{x}) jest wypukła w przedziale

\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)

\displaystyle (-\frac{\pi}2,0)

\displaystyle (5\pi,6\pi).


Jeśli funkcja \displaystyle f jest wypukła w przedziale \displaystyle (0,1), to

funkcja \displaystyle f^2(x)=(f(x))^2 też jest wypukła w tym przedziale

funkcja \displaystyle f^3(x)=(f(x))^3 też jest wypukła w tym przedziale

funkcja \displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x) też jest wypukła w tym przedziale.


Niech \displaystyle x,y,z będą dowolnymi liczbami z przedziału \displaystyle (0,1). Prawdziwa jest nierówność

\displaystyle \displaystyle xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}

\displaystyle \displaystyle e^{\frac{2x+y}3}\leq \frac23(e^x+e^y)

\displaystyle 2\displaystyle \mathrm{ctg}\, \frac{ 2x+ y+ z}4 \leq \mathrm{ctg}\, x+\frac12(\mathrm{ctg}\, y +\mathrm{ctg}\, z).